Основы теории игр. Учебное пособие

n

max cij q0j . (5.5)

i j 1

Другими словами, если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Теорема 5.2, доказательство которой приведено в [4], является основой для различных методов решения матричных игр.

Условия, при которых применяются смешанные стратегии, следующие:

а) игра не имеет седловой точки; б) игра повторяется много раз в одинаковых условиях;

в) во время игр игроки не информированы о намерениях друг друга;

г) выигрыш вычисляется усреднением результатов игр.

Проверь себя. 1. Вычислить средний выигрыш для игры, заданной платежной матрицей

в случае, когда игроки используют следующие смешанные стратегии:

P (0,4; 0,6), Q (0,2;0,4;0,4). Ответ: v (C, P,Q) 1,2.

2. Вычислить средний выигрыш для игры, заданной платежной матрицей

в случае, когда игроки используют следующие смешанные стратегии:

P (0,3;0,1;0,6), Q (0,2;0,3;0,1;0,4). Ответ: v (D, P,Q) 3,09.

21

§ 6. Решение матричной игры 2×2 в смешанных стратегиях

Рассмотрим простейшую игру 2 2, которая описывается мат-

Предполагаем, что в этой игре отсутствует седловая точка, а сама игра повторяется многократно (игры с седловой точкой были разобраны в § 3).

Пусть смешанные стратегии игроков A и B имеют вид

При этом вероятности p10 и p20 удовлетворяют условиям

0 p10 1, 0 p20 1.

Поэтому, приравнивая левые части первых двух уравнений и учитывая, что из последнего уравнения p20 1 p10 , получим

или

p10(c11 c21 c12 c22) c22 c21 .

22

Следовательно,

Тогда, подставляя это выражение в последнее уравнение системы

(6.1), найдем:

Используя найденное значение цены игры v , можно вычислить оптимальную смешанную стратегию игрока B. Исходя из условия (5.3), имеем

c11q10 c12q20 v .

Учитывая, что q20 1 q10, получим

c11q10 c12(1 q10) v,

23

откуда

где с11 с12.

Для игры 2 2 можно рассмотреть и графический вариант решения. Чтобы решить игру графически, выберем систему координат (p, y) и выполним следующие построения (рис. 3):

y

Рис. 3

1.На оси абсцисс отложим отрезок единичной длины p 1.

2.Построим прямые y c11p c21(1 p) и y c12 p c22(1 p). Используем обычный метод построения прямой линии по двум

точкам. При этом выберем значения p 0 и p 1. Соответствующими значениями ординат для первой прямой будут c21 и c11, а для второй прямой будут c22 и c12. Следует отметить, что число c21, отложенное на оси ординат, соответствует выигрышу первого иг-

24

рока при стратегии A2. Число c11, отложенное на вертикальной прямой p 1, является величиной выигрыша при использовании стратегии A1.

3. Соединим полученные пары точек с координатами (0;c21)

и(1;c11), (0;c22) и (1;c12).

4.Из формулы (6.2) следует, что цена игры v равна ординате

точки пересечения прямых, а абсцисса этой точки равна вероятности p10 оптимальной смешанной стратегии игрока A.

Аналогично в системе координат (q, y) можно построить прямые y c11q c12(1 q) и y c21q c22(1 q). При этом абсцисса

Следовательно, нижняя цена игры max 2;1 2, а верхняя цена игры min 3; 4 3. Так как , то игра не имеет седловой

точки. Найдем оптимальные смешанные стратегии игроков при многократном повторении игры. Используя формулы (6.3), находим:

Для игрока B по формулам (6.4) найдем:

В итоге получаем оптимальные стратегии обоих игроков

Графическое решение задачи для игрока A представлено на рис. 4.

y

Рис. 4

Возникает вопрос: как должны поступать игроки, исходя из полученного результата? При многократном повторении игры игрок A может, например, выбирать стратегии A1 или A2, подбрасывая монету, у которой, как известно, «герб» или «решетка» выпадают с одинаковой вероятностью 0,5. Игрок B, для того чтобы поступать в соответствии с рекомендуемой стратегией SB, может подбрасывать две монеты: если выпадут два «герба», то игрок B должен выбирать стратегию B2, в противном случае выбирается стратегия B1.

Замечание. Следует обратить внимание на важность построения разумного механизма случайного выбора конкретных стратегий с учетом полученных вероятностей в смешанных стратегиях.

26

Рассмотрим еще один способ решения матричной игры 2 2. Вспомним, что цена игры v вычисляется по формуле

i 1 j 1

Рассмотрим игру 2 2 без седловой точки с матрицей выигрышей

Для игры 2 2 смешанные стратегии игроков можно представить в виде

Тогда функцию выигрышей (6.5) можно записать как произведение трех матриц:

двух переменных p и q . Тогда из равенств (5.2) следует, что эта функция удовлетворяет условиям

p

Из теории математического анализа известно, что точка (p0,q0), удовлетворяющая условиям (6.6), определяется из системы уравнений

27

Находя частные производные функции v (C, p, q) по переменным p и q :

pv 3 4q , qv 2 4p ,

получим систему уравнений для нахождения значений p0 и q0

3 4q0 0,

2 4p0 0.

Отсюда находим

q0 0,75,

p0 0,5.

Таким образом, получаем оптимальные смешанные стратегии

При этом функция выигрышей

v (C, p0, q0) 2 0,75 3 0,5 4 0,5 0,75 1 2,5.

28

Полученный результат совпадает с решением данной задачи предыдущим методом.

Проверь себя. Найти оптимальные смешанные стратегии игроков A и B и их средние выигрыши всеми тремя способами, рассмотренными в этом параграфе, если платежная матрица имеет вид:

Придумать механизм случайного выбора стратегий с учетом полученных вероятностей.

29

§ 7. Матричные игры 2×n

Рассмотрим многоразовую игру 2 n с матрицей выигрышей

В такой игре игрок A имеет две стратегии: A1 и A2, а игрок B – n стратегий: B1, B2, …, Bn. Пусть смешанные стратегии игроков A и B имеют вид

Предполагаем, что седловая точка в игре отсутствует. В силу равенства (5.5), имеем

графический метод. Для этого в плоскости (p, y) построим прямые

p (0,1). Тогда ордината y верхней точки ломаной L даст значение

чение v и будет ценой игры.

В качестве примера рассмотрим случай n 3. Построим три прямые:

30