Основы теории игр. Учебное пособие

i 1

X (x1,...,xm ). В силу (9.2)

v F(1X ).

Следовательно, функцию F(X ) надо минимизировать. Таким обра-

зом, приходим к следующей далее задаче линейного программирования. Найти минимум функции

Рассмотрим теперь игру игрока B. Его смешанная стратегия обеспечит ему средний проигрыш, не больший чем v , при любой

преобразуем систему (9.5) к виду

n

Рассмотрим функцию G(Y ) y j , где Y (y1,..., yn ). В силу (9.6)

j1

vG(1Y ) .

к задаче линейного программирования: найти максимум функции

Из курса линейного программирования известно (см. также [8]), что задачи (9.3)–(9.4) и (9.7)–(9.8) представляют собой пару двой-

ственных задач и имеют оптимальные решения X 0 (x10, x20, , xm0 )

и Y 0 (y10, y20, , yn0).

42

Таким образом, приходим к результату, представленному в теореме 9.1.

Теорема 9.1. Решение матричной игры с положительной матрицей выигрышей C (cij ), i 1,m, j 1,n , равносильно решению

двойственных задач линейного программирования (9.3)–(9.4), (9.7)– (9.8). При этом цена игры v удовлетворяет равенству

Алгоритм решения матричной игры с помощью решения двойственных задач линейного программирования следующий:

1.Ко всем элементам платежной матрицы C прибавим одно

ито же положительное число γ так, чтобы все ее элементы стали положительными.

2.Составим пару двойственных задач линейного программи-

рования (9.3)–(9.4) и (9.7)–(9.8) и найдем их решения xi0, y0j . В ка-

честве контроля правильности решения задач можно использовать равенство

F(X 0) G(Y 0).

3. Построим оптимальные смешанные стратегии игроков:

Пример 9.1. Решить матричную игру из примера 7.1 методами линейного программирования с матрицей выигрышей

Решение. В примере 7.1 было получено: 1, 2. Прибавим число 1 ко всем элементам матрицы D и рассмотрим матрицу

Будем искать решение в смешанных стратегиях. Составим прямую и двойственную задачу линейного программирования. Прямая задача имеет вид

Для решения задачи можно использовать симплекс-метод. Компьютерная реализация симплекс-метода имеется во многих программах и прикладных пакетах, например Excel, Mathcad, Maple, Mathematica и др.

44

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока A будет иметь вид

ацена игры, как следует из формулы (9.10):

vF (1X 0) G (1Y 0) 135 1 153.

Взаключение отметим совпадение результатов при решении матричной игры из примера 7.1 разными способами.

45

Проверь себя. 1. Решить матричную игру с матрицей выигрышей

2. Решить задачу с платежной матрицей из примера б) в разделе «Проверь себя» § 7, используя методы линейного программирования. Сравнить полученный результат.

46

§ 10. Биматричные игры

Не всегда интересы двух игроков противоположны, как это имеет место в антагонистических играх. Часто встречаются ситуации, в которых интересы участников взаимодействия не являются противоположными. Проиллюстрируем это на классическом примере, называемом «Дилемма заключенного» (см., например, [9]).

Дилемма заключенного 1. Двое подозреваемых (A и B) в совершении преступления арестованы, помещены в одиночные камеры и не имеют возможности передавать друг другу какие-либо сообщения. Их допрашивают поодиночке. Если оба признаются в совершении преступления, то им грозит (с учетом их признания) тюремное заключение сроком по 6 лет каждому. Если оба не признаются, то они получат по 1 году тюремного заключения. Если же один из них сознается, а другой – нет, то первый, за содействие следствию, будет вовсе освобожден от наказания, тогда как второй будет приговорен к максимально возможному за данное преступление наказанию – 10-летнему тюремному заключению.

Описанная ситуация может быть представлена следующей игрой с матрицами выигрышей для заключенных A и B соответственно:

Здесь первые строки матриц выигрышей соответствуют стратегии заключенного A «молчать», а вторые строки – стратегии «сознаться». При этом первые столбцы матриц выигрышей соответствуют стратегии заключенного B «молчать», а вторые столбцы – стратегии «сознаться».

Очевидно, что стратегия «молчать» является строго доминируемой для каждого игрока (так как ни один из них не знает, что предпримет другой), поэтому каждый игрок выберет стратегию «сознаться». В результате оба заключенных получат по 6 лет тюремного заключения. При этом мы сразу же сталкиваемся с очевидной проблемой: получающийся результат игры очень плохой – он дает максимальный суммарный срок заключения. Этот факт послужил толчком к многочисленным исследованиям данной игры,

47

поскольку, например, естественным желанием было бы получить в качестве результата игры (или ее модификаций) выбор стратегий «молчать», дающий каждому заключенному лишь по одному году заключения.

Такая же проблема возникает и в следующей экономикополитической задаче (в силу схожести специфики с предыдущей задачей мы сохраняем прежнее название).

Дилемма заключенного 2. Рассмотрим нефтедобывающие страны A и B. Эти страны могут кооперироваться, договариваясь об объемах ежедневной добычи нефти, ограничиваясь, например, добычей 2 млн баррелей нефти в день для каждой страны. Но страны могут действовать и некооперативно, добывая, например, по 4 млн баррелей в день. Таким образом, считаем, что у игроков A и B по две стратегии: A1, B1 – договориться об ограничениях по добыче нефти; A2, B2 – добывать нефть без всяких ограничений. Такая ситуация может быть представлена игрой со следующими матрицами выигрышей для стран A и B соответственно:

Вматрицах указаны прибыли (млн долларов в день) стран

взависимости от их объемов добычи нефти. Очевидно, что у каждой страны есть стимул отклониться от договора, чтобы за счет увеличения объемов производства получить дополнительную прибыль. Мы видим, что и здесь у каждого из игроков есть доминирующая стратегия – «не кооперироваться». В итоге страны получают прибыль 32 и 24 (млн долларов в день), что гораздо меньше, чем

вситуации кооперативного поведения.

Таким образом, мы сталкиваемся с ситуацией, аналогичной предыдущей: оба игрока выбирают свои доминирующие стратегии, увеличивая тем самым свои выигрыши, но исход для каждого из них хуже, чем в ситуации, когда оба следуют доминируемым стратегиям.

Рассмотрим конфликт, в котором участвуют игроки A и В. Пусть игрок A имеет стратегии A1, A2, …, Am, а игрок B – стратегии B1, B2, …, Bn. При этом выбранной игроками стратегии {Ai , Bj } со-

48

ответствуют выигрыши aij и bij игроков A и B соответственно. Вообще говоря, aij bij . Таким образом, в такой игре существуют две различные матрицы выигрышей:

для игроков A и B соответственно. В этом случае игру называют биматричной. Очевидно, что антагонистические игры являются частным случаем биматричных игр в случае, когда bij aij для

всех i 1,m, j 1,n . Иногда биматричную игру представляют од-

Неравенства (10.1) означают, что отклонение игроков от равновесной ситуации (P0,Q0) может только уменьшить их выигры-

ши. Возникает вопрос: всегда ли существует равновесная ситуация? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 10.1 (Дж. Нэш). Любая биматричная игра имеет хотя бы одну точку равновесия в чистых или смешанных стратегиях.

Замечание. Равновесие по Нэшу в биматричных играх – это обобщение понятия седловой точки (оптимального решения) в играх с нулевой суммой.

Рассмотрим примеры нахождения точки равновесия. Сначала изучим самую простую биматричную игру 2 2 с матрицами выигрышей

Пусть смешанные стратегии игроков имеют вид

Тогда средние выигрыши HA и HB игроков A и B будут зависеть только от двух переменных: p и q. При использовании стратегий SA и SB средние выигрыши игроков

H A (p,q) a11pq a12 p(1 q) a21(1 p)q a22(1 p)(1 q),

(10.2)

HB (p,q) b11pq b12 p(1 q) b21(1 p)q b22(1 p)(1 q).

50