Основы теории игр. Учебное пособие

l1 : y c11p c21(1 p), l2 : y c12 p c22(1 p), l3 : y c13 p c23(1 p)

и их нижнюю огибающую L min{l1,l2,l3} (рис. 5). Из рисунка находим точку (p10,v), которая и будет являться решением игры.

y

Найдем теперь оптимальную стратегию игрока B. Для этого снова используем теорему 5.2. При нахождении оптимальной стратегии игрока B необходимо учитывать как расположение точки

(p10,v) на плоскости, так и ее единственность (или неединствен-

ность).

Рассмотрим возможные варианты [5], [6], [7]:

1. Точка (p10,v) единственна. В этом случае точка максимума огибающей L является точкой пересечения двух прямых. Например, на рис. 5 такими прямыми являются прямые l1 и l2, которые соот-

ветствуют первому и второму столбцу матрицы выигрышей C . По теореме 5.2 активными будут только стратегии B1 и B2, а их вероятности войдут в уравнение (5.3) для нахождения оптимальной смешанной стратегии игрока B.

2. Точка (p10,v) не является единственной, то есть нижняя огибающая L содержит целый горизонтальный участок, например,

31

как на рис. 6. Тогда для игрока B оптимальной является стратегия Bk0 , соответствующая прямой lk0 , а для игрока A существует бес-

конечно много оптимальных смешанных стратегий, в которых вероятности p10 находятся между значениями p1 и p1 (см. рис. 6).

y

lk0

Пример 7.1. В новом микрорайоне имеются две автомойки, прибыль которых зависит от количества обратившихся в них автовладельцев, проживающих в данном районе. Причем суммарная прибыль обеих автомоек остается неизменной и равной 5 млн р.

вгод. Стратегии ценовой политики автомойки выбирают один раз

внеделю. У первой автомойки (игрока A) две стратегии: A1 – поддерживать одинаковый уровень цен для всех клиентов, A2 – установить систему скидок для постоянных клиентов при увеличении стоимости услуг на 10% для остальных. У второй автомойки (игрока B) три стратегии. Причем стратегии B1 и B2 аналогичны стратегиям A1 и A2 соответственно, а стратегия В3 заключается в установлении дополнительных бонусов: например, каждая пятая мойка машины для автовладельца будет бесплатной. Найти оптимальные стратегии игроков, если платежная матрица имеет вид

Матрица C характеризует прибыль, получаемую первой автомойкой при применении i-й стратегии (i 1, 2) при условии, что вторая

автомойка придерживается j-й стратегии ( j 1, 2,3).

32

Решение. Для нахождения нижней и верхней цен игры составим таблицу

Тогда max{1;0} 1, min{2;3; 4} 2. Так как , то игра не

имеет седловой точки. Найдем оптимальные смешанные стратегии игроков при многократном повторении игры. Составим матрицы смешанных стратегий

Будем решать задачу графически. Вычислим средний выигрыш игрока A при условии, что игрок B выбирает только чистые стратегии. Имея в виду формулы (5.5), находим:

c12 p c22(1 p) 1 p 2 (1 p) 2 p, c11p c21(1 p) 3 p 1 (1 p) 1 2p, c13p c23(1 p) 4 p 0 (1 p) 4p.

Теперь построим в системе координат (p; y) три прямые: l1 : y 2 p ;

l2 : y 1 2p ;

l3 : y 4p

и нижнюю огибающую L min{l1,l2,l3} (рис. 7). Цена игры v бу-

дет ординатой наивысшей точки (p10, ) ломаной L.

Ломаная L выделена на рис. 7 жирной линией. Из рисунка видно, что точка (p10, ) является точкой пересечения прямых l1 и l3, поэтому ее координаты удовлетворяют системе линейных

уравнений

y 2 p ,y 4p.

33

Таким образом, первая автомойка должна с вероятностью 52, то

есть в 40 % случаев, придерживаться политики скидок, а с вероят-

34

ностью 53, то есть в 60 % случаев, не снижать цену. В то же время вторая автомойка с вероятностью 54, то есть в 80 % случаев, должна

придерживаться системы скидок, а с вероятностью 15, то есть при-

мерно в 20 % случаев, придерживаться бонусной системы. Этой автомойке стратегию B2 использовать не рекомендуется. При таком

выборе стратегий выигрыш (прибыль) автомойки A составит 1,6 млн р. в год. А так как суммарная прибыль автомоек – 5 млн р., то прибыль автомойки B составит 3,4 млн р. в год.

Проверь себя. Найти оптимальные стратегии и средний выиг-

35

§ 8. Доминирующие и доминируемые стратегии

Рассмотрим матричную игру двух игроков: A и B. Пусть игрок A имеет стратегии A1, A2, …, Am, а у игрока B имеются стратегии

B1, B2, …, Bn.

Определение. Будем говорить, что стратегия Ai доминирует над стратегией Ak (стратегия Ak доминируется стратегией Ai), если для элементов платежной матрицы C выполняются неравенства

cij ckj , j 1,n ,

то есть элементы k-й строки матрицы C не превосходят соответствующих элементов ее i-й строки и хотя бы для одного значения j неравенство является строгим.

Будем говорить, что стратегия Bj доминирует над стратегией Bl (стратегия Bl доминируется стратегией Bj), если

cij cil , i 1,m ,

то есть элементы j-го столбца матрицы C не превосходят соответствующих элементов ее l-го столбца и хотя бы для одного значения i неравенство является строгим.

Справедливо очевидное утверждение.

Утверждение 8.1. Если платежная матрица C имеет доминируемые стратегии (строки или столбцы), то оптимальное решение такой игры совпадает с оптимальным решением игры с платежной матрицей C*, полученной из матрицы C отбрасыванием доминируемых строк (столбцов).

Замечания. 1. При отбрасывании доминируемых строк (столбцов) размер матрицы C уменьшается. Этот процесс упрощения игры можно продолжать до тех пор, пока не останется доминируемых стратегий.

2. Если платежная матрица содержит несколько одинаковых строк (столбцов), то оставляют только одну из таких строк (столбцов), а остальные отбрасывают.

36

Пример 8.1. Упростить платежную матрицу

Решение. В данной матрице все элементы первой строки (стратегия A1) больше соответствующих элементов второй строки (стратегия A2). Поэтому стратегия A1 доминирует над стратегией A2, а значит, в матрице C можно вычеркнуть вторую строку. Получим матрицу

Так как элементы первого и четвертого столбцов больше соответствующих элементов третьего столбца, то игроку B, стремящемуся проиграть как можно меньше, выгоднее использовать стратегию B3, чем B1 и B4. Поэтому можно вычеркнуть первый и четвертый столбцы. В итоге получается матрица

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 8.2. Если элементы двух платежных матриц C (cij ) и D (dij ), где i 1,m; j 1,n , связаны соотношениями

cij dij ,

где 0; γ – произвольное число, то оптимальные стратегии этих игр совпадают, а цены игр связаны равенством

Требуется найти цены vC и vD этих игр.

37

Решение. Для игры с платежной матрицей C составим таблицу:

, то в данной игре седловая точка отсутствует. Будем искать оптимальные смешанные стратегии

игроков A и B. Для решения используем графический метод. Построим прямые:

l1 : y c11p c21(1 p) 1 p 4 (1 p) 4 3p , l2 : y c12 p c22(1 p) 5 p 1 (1 p) 1 4p, l3 : y c13 p c23(1 p) 3 p 2 (1 p) 2 p

и нижнюю огибающую L min{l1,l2,l3} (рис. 8). y

Рис. 8

38

Из рис. 8 видно, что оптимальная точка – это точка пересечения прямых l1 и l3, то есть она определяется из системы

y 4 3p,y 2 p.

Решив систему, получим:

p0 12, 1 p0 12, v 4 3p 4 3 12 2,5.

Таким образом, оптимальная стратегия игрока A имеет вид

Теперь найдем цену игры D. Заметим, что элементы матриц C

Проверь себя. Упростить платежную матрицу

39

§ 9. Применение методов линейного программирования при решении матричных игр m n

Рассмотрим игру двух лиц с платежной матрицей (матрицей

общности, можем считать, что матрица C положительна. В противном случае к элементам матрицы C следует добавить одно и то же положительное число, применяя утверждение 8.2.

Пусть смешанная стратегия игрока A имеет вид

Тогда средний выигрыш игрока A при использовании игроком B чистой стратегии Bj составит

m

cij pi . i 1

Обозначим через v минимальный средний выигрыш игрока A при любой чистой стратегии игрока B, то есть

m

v min cij pi .

j i 1