Основы теории игр. Учебное пособие

то формулы (10.5) примут вид

H A (p,q) H A (1,q) Cq(p 1) c(p 1),

H A (p,q) H A (0,q) Cpq cp p(Cq c).

Так как в точке равновесия (P0,Q0) выполняются неравенства

в биматричной игре 2 2 тогда и только тогда, когда выполняется система неравенств

где C , c , D , d вычисляются по формулам (10.6) и (10.7) и могут принимать любые значения.

52

Пример 10.1 (Заказчик – исполнитель). Строительная ком-

пания (игрок A) сдает дом, который принимает заказчик (игрок B). У строительной компании две стратегии: A1 – безупречно подготовить дом к сдаче, исправив все недостатки, и стратегия A2 – замаскировать некоторые недостатки и попытаться «договориться» с заказчиком принять дом в таком виде.

Узаказчика тоже две стратегии: B1 – подписать все документы

осдаче дома, B2 – не подписывать документы, требуя устранить все недоделки. Требуется решить данную биматричную игру. Сначала формализуем ситуацию.

Исход игры для заказчика:

Количественно выигрыши игроков можно выразить в виде матриц, например, так:

Игру можно задать также матрицей

53

Вычислим параметры C, c, D, d по формулам (10.6) и (10.7):

C 2 ( 1) 1 0 2; c 0 1 1;

D 1 ( 2) ( 3) 1 5; d 1 ( 2) 1.

Тогда неравенства (10.8) примут следующий вид:

Решим первую систему:

1)если p 1, то 2q 1 0, откуда q 12;

2)если p 0, то 2q 1 0, откуда q 12;

3)если 0 p 1, то q 12.

Найденные решения первой системы показаны на плоскости (p,q) (рис. 9) в виде ломаной, выделенной жирно.

q

1

1

2

Рис. 9

54

Решим теперь вторую систему:

1)если q 1, то 5p 1 0, откуда p 15;

2)если q 0, то 5p 1 0, откуда p 15;

3)если 0 q 1, то p 15.

Графически решение второй системы показано на рис. 10 также в виде ломаной, выделенной жирно.

q

1

Таким образом, решения системы (10.8) – это точки M1, M2, M3 пересечения ломаных, построенных на рис. 9 и 10 (рис. 11).

q

5

Рис. 11 55

Так как ломаные пересекаются в трех точках, то имеются три равновесные ситуации. Найдем выигрыши игроков для каждой равновесной точки.

1. Рассмотрим точку равновесия M1(0, 0). Ей соответствуют стратегии игроков

То есть игроки каждый раз применяют свои чистые стратегии A2 и B2, следовательно, их средние выигрыши H A (0, 0) a22 0,

HB (0, 0) b22 1.

2.Точке M 2 1,1 соответствуют смешанные стратегии

5 2

В данном случае средние выигрыши находим по формулам

(10. 2): H A 15,12 0,5; HB 15,12 1,4.

3. Точке M3(1,1) соответствуют чистые стратегии A1 и B1,

а значит, H A (1,1) a11 2, HB (1,1) b11 1.

Получаем, что наибольший выигрыш обе стороны будут иметь при p q 1, то есть когда весь дом будет полностью по-

строен и принят заказчиком.

Замечание. В задачах такого рода имеется очевидная трудность перехода от качественных оценок к количественным. Если матрицы A и B изменить, то получатся, вообще говоря, другие точки равновесия игры.

Пример 10.2 (Борьба за рынки) [9]. Фирма (игрок) A хочет продать партию товара на одном из двух рынков, которые уже захвачены другой крупной фирмой (игроком) B. Для реализации своего плана фирма A разворачивает рекламную компанию на одном

56

из этих рынков. Фирма B вполне может воспрепятствовать этому на одном из рынков. Если фирма A встречает противодействие, то она терпит поражение на этом рынке. В противном случае она захватывает рынок.

Предположим, что захват первого рынка для фирмы A более выгодный, но и поражение на нем принесет бóльшие убытки, чем на втором рынке. Допустим, что эта ситуация может повторяться многократно.

Решим биматричную игру. Каждая из фирм имеет по две стратегии: A1 и A2 – захват фирмой A первого и второго рынков соответственно; B1 и B2 – захват фирмой B этих рынков.

Оценки сложившейся ситуации могут быть выражены, напри-

Из условия задачи видно, что если обе фирмы выберут один и тот же рынок, то выиграет фирма B. Если же фирмы выбирают разные рынки, тогда в выигрыше окажется фирма A. Найдем равновесные ситуации в смешанных стратегиях игроков. Для этого вычислим значения C, c, D, d по формулам (10.6) и (10.7):

Неравенства (10.8) при условии, что 0 p 1, 0 q 1, имеют вид

57

Из первой системы имеем:

1)если p 1, то 15q 5 0, откуда q 13;

2)если p 0, то 15q 5 0, откуда q 13;

3)если 0 p 1, то q 13.

Из второй системы имеем:

1)если q 1, то 9p 2 0, откуда p 92;

2)если q 0, то 9p 2 0, откуда p 92;

3)если 0 q 1, то p 92.

Графически решения систем в плоскости (p,q) показаны на рис. 12 (жирные ломаные).

q

1

1

3

Рис. 12

Из рисунка видно, что точка равновесия в данной игре только одна. Для нее p 92, q 13. Таким образом, получаем следующие

58

Соответствующие средние выигрыши фирм A и B:

H A (p0,q0) a11pq a12 p(1 q) a21(1 p)q a22(1 p)(1 q) 23, HB (p0,q0) b11pq b12 p(1 q) b21(1 p)q b22(1 p)(1 q) 13.

Проведем анализ полученных результатов с экономической точки зрения. Если возможен многократный захват рынков в опи-

санных условиях, то фирма A должна с вероятностью 92, то есть

примерно в 22 % случаев, пытаться проникнуть на первый рынок, а в остальных 78 % – на второй. При этом в среднем она не проиг-

рает больше чем 2 условных единиц. В то же время фирма B долж- 3

на с вероятностью 13, то есть примерно в 33 % случаев, противо-

действовать фирме A на первом рынке, а в остальных 67 % – на втором. При этом средний выигрыш фирмы B составит не менее

1 условных единиц.

3

Заметим, что в данной задаче – одна точка равновесия. Но, конечно, в других ситуациях таких равновесных точек может быть и больше. В этом случае выбор одной из них должен осуществляться из каких-то других качественных условий конфликта. Такой выбор бывает сделать довольно сложно, и это представляет собой определенную проблему в экономической науке.

В данной задаче можно также заметить, что точка равновесия определяется числами C, c, D, d, а именно:

p0 Dd , q0 Cc .

59

Причем в равновесной ситуации выбор одного игрока полностью определяется матрицей выигрышей другого и не зависит от собственной матрицы. Другими словами, равновесная ситуация определяется усилиями игроков держать под контролем другого игрока.

Проверь себя. Решить биматричную игру с матрицей выигрышей

60