Основы теории игр. Учебное пособие

такую стратегию Bj, при которой величина его проигрыша была бы наименьшей.

Определение. Число

min max cij

1 j n 1 i m

называется верхней ценой игры, а стратегия игрока B, соответствующая числу , называется минимаксной.

Если игрок B применит свою минимаксную стратегию, то при любых действиях игрока A игрок B проиграет не более чем .

Принцип, по которому игрок A выбирает максиминную стратегию, а игрок B – минимаксную, называется принципом минимакса, а соответствующие стратегии называются минимаксными. Другими словами, необходимо выбирать ту стратегию, чтобы при «наихудшем поведении» противника получить максимальный выигрыш.

Пример 2.1. Две строительные фирмы привлечены к строительству жилого комплекса. Фирма A выставила на конкурс три варианта проекта: A1, A2, A3, а фирма B приготовила четыре варианта: B1, B2, B3, B4. Заказчик анализирует проекты. Средства распределяют между фирмами пропорционально набранным баллам, причем общее количество набранных фирмами баллов всегда равно десяти. Предположим, что матрица выигрышей игрока A (значения выражены в баллах) имеет вид

Найти нижнюю и верхнюю цены игры.

Решение. Для каждой строки матрицы C найдем ее наимень-

ший элемент min cij , который запишем справа от строки. Для каж-

1 j n

дого столбца матрицы C найдем его наибольший элемент max cij ,

1 i m

который запишем снизу от столбца. В результате получим расширенную матрицу

11

Выбирая из последнего столбца его наибольший элемент, находим нижнюю цену игры:

max 2;5;0 5.

Выбирая из последней строки ее минимальный элемент, находим верхнюю цену игры:

min 7;6;8;5 5.

Итак, в данной задаче верхняя и нижняя цены игры совпадают и равны пяти.

Замечание. В общем случае не обязательно совпадает с . Значения и не зависят от выбора игроками конкретных стратегий, а определяются исключительно платежной матрицей.

Проверь себя. Игроки A и B одновременно и независимо друг от друга записывают одно из трех чисел: 5, 10 или 15. Если сумма записанных чисел четная, то B отдает эту сумму в условных единицах игроку A; если она нечетная, то, наоборот, A платит эту сумму. Составить платежную матрицу игры и найти ее верхнюю и нижнюю цены.

Ответ: 15, 20.

12

§ 3. Игры с седловой точкой

Определение. Игра называется игрой с седловой точкой, если нижняя и верхняя цены этой игры совпадают, то есть

1maxi m 1minj n cij 1minj n 1maxi m cij .

Элемент ci0 j0 платежной матрицы, для которого ci0 j0 ,

называется седловым элементом, а соответствующая этому элементу пара стратегий (Ai0 , Bj0 ) – седловой точкой игры.

Определение. Для игр с седловой точкой число v

называется ценой игры.

В примере 2.1 цена игры v 5. Максиминной стратегией игрока A является стратегия A2, а минимаксной стратегией игрока B является стратегия B4. Причем элемент c24 5 является седловым

элементом.

При наличии в игре седловой точки (Ai0 , B j0 ) выбор игроком A стратегии Ai0 , а игроком B стратегии Bj0 является самым разум-

ным (оптимальным). Такой выбор обеспечивает игроку A выигрыш не менее v , а игроку B проигрыш не более v , то есть выигрыш не менее v. Отклонение от этих стратегий невыгодно обоим игрокам: выигрыш для игрока A может только уменьшиться, а проигрыш для игрока B – только увеличиться.

Поясним название «седловая точка». Рассмотрим в пространстве поверхность, заданную уравнением z y2 x2 (рис. 2).

13

§ 4. Игры без седловой точки

Очевидно, что не всякая матричная игра будет иметь седловую точку.

Пример 4.1. Рассмотрим игру двух игроков A и B с платежной матрицей

Вычислим для нее наименьшие элементы в строках и наибольшие в столбцах. Имеем

Тогда нижняя цена игры

Таким образом, в этой игре 1, а 0, то есть нижняя и верх-

няя цены игры не совпадают, а значит, в ней нет седловой точки. Здесь стратегия A2 является максиминной для игрока A, а стратегия B2 будет минимаксной для игрока B.

Теорема. Для любой антагонистической игры с матрицей вы-

то есть .

15

Доказательство. Рассмотрим элементы c1j , c2 j , c3j , ,cmj j-го

столбца матрицы C. Так как любой элемент этого столбца не превосходит максимального в этом столбце, то очевидно, что при любых значениях i справедливо неравенство

cij max cij .

1 i m

Так как это неравенство выполняется при всех j, то, беря минимум от обеих частей неравенства по индексу j, получим

1minj n cij 1minj n 1maxi m cij .

Последнее неравенство выполняется при всех i. Беря максимум от обеих частей неравенства по индексу i, получим

Таким образом, из определений нижней и верхней цен игры и последнего неравенства следует, что . Теорема доказана.

Замечание. Для матричной игры без седловой точки справедливо строгое неравенство .

Проверь себя. Определить максиминную и минимаксную стратегии для одноразовой игры, заданной платежной матрицей

Ответ: максиминной стратегией для игрока A является стратегия A1, а минимаксной стратегией для игрока B – стратегия B2.

16

§5. Многократно повторяемые игры. Смешанные стратегии

Впредыдущих параграфах рассматривались так называемые одноразовые игры. Стратегии игроков A и B, однозначно выбирае-

мые игроками в этих играх, называют чистыми стратегиями. В одноразовых играх выгоднее всего придерживаться принципа «минимакса». При этом безразлично, имеет ли игра седловую точку или нет.

Возникает вопрос: если такая игра будет повторяться многократно, то каких стратегий игрокам лучше всего придерживаться?

Если игра имеет седловую точку, то игрокам невыгодно менять свои стратегии. Но если игра без седловой точки, то повторение минимаксной стратегии одним из игроков становится невыгодным для него. Поясним это на примере.

Пример 5.1. Рассмотрим игру с платежной матрицей

Для нахождения нижней и верхней цен игры составим таблицу

42 3

стратегией для игрока A будет стратегия A2, а минимаксная стратегия для игрока B – это стратегия B2. Так как c22 2 0, то для иг-

рока A игра разрешится его выигрышем, равным 2. Допустим, что при следующей игре игрок A опять применит стратегию A2, а игрок B будет об этом информирован. Тогда игрок B может применить, например, стратегию B1. Так как c21 1< 0, то игрок B вместо

проигрыша будет иметь выигрыш, равный c21 1. Отсюда можно сделать вывод о том, что при многократном повторении игры, если

17

Пусть теперь игроки выбирают пару стратегий (Ai , Bj ) с вероятностями pi и q j соответственно. Как и ранее, предполагаем, что при таком выборе стратегий величина выигрыша составляет cij .

Тогда средний выигрыш игрока A есть математическое ожидание случайной величины, равной выигрышу игрока A и заданной на множестве пар стратегий (Ai , Bj ):

m n

v (C, P,Q) cij piq j ,

i 1 j 1

где обозначили P (p1, p2, , pm ) и Q (q1, q2, , qn ) – векторы вероятностей. Следующее понятие является важнейшим в теории игр.

Определение. Стратегии с вероятностями P0 (p10, p20, , pm0 )

и Q0 (q10, q20, , qn0) называются оптимальными смешанными стратегиями игроков, если выполняется двойное неравенство

Для антагонистической игры левое неравенство в (5.1) означа-

ет, что отклонение от стратегии P0 для игрока A неразумно, так как его выигрыш при этом может только уменьшиться (при условии,

что игрок B придерживается оптимальной стратегии Q0). Правое

неравенство в (5.1) означает, что отклонение от стратегии Q0 нера-

зумно для игрока B, так как при отклонении от этой стратегии его проигрыш может только увеличиться (при условии, что игрок A

придерживается оптимальной стратегии P0).

Условие оптимальности (5.1) можно представить в виде

(P0,Q0,v) – решением матричной игры.

19