Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории и расчета тонкостенных стержней открытого профиля на устойчивость. Учебное пособие
.pdf
1
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Д.Б. Демченко, И.А. Маяцкая
ОСНОВЫ ТЕОРИИ И РАСЧЕТА
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Учебное пособие
Ростов-на-Дону
ДГТУ
2020
2
УДК 69:02:725
Д31
Рецензент
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой
«Техническая механика»
Донского государственного технического университета
Л.Н. Панасюк
Д31
Демченко, Денис Борисович.
Основы теории и расчета тонкостенных стержней открытого
профиля на устойчивость : учебное пособие / Д.Б. Демченко,
И.А. Маяцкая ; Донской государственный технический университет. – Ростов-на-Дону : ДГТУ, 2020. – 71 с.
ISBN 978-5-7890-1831-6
Представлены основные теоретические положения теории расчета
тонкостенных стержней открытого профиля на устойчивость. Рассмотрены
примеры решения задач.
Предназначено для студентов очной формы обучения технических
направлений подготовки (специальностей), изучающих дисциплины,
связанные с расчетом на прочность тонкостенных стержней открытого
профиля на устойчивость, а также при самостоятельном выполнении
индивидуальных работ. Может быть полезно преподавателям при
проведении практических занятий и руководстве выпускными работами
магистров.
УДК 69:02:725
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Донского государственного технического университета
ISBN 978-5-7890-1831-6
© Демченко Д.Б., Маяцкая И.А., 2020
© Донской государственный
технический университет, 2020
3
ВВЕДЕНИЕ
Тонкостенными стержнями называются конструктивные элементы,
длина которых много больше габаритных размеров поперечного сечения, а
толщина – много меньше. Поэтому тонкостенные стержни обладают
одновременно как свойствами стержня, так и свойствами оболочки, что
обуславливает устойчивость тонкостенных конструкций под нагрузкой.
Тонкостенные стержни находят широкое применение в строительных
конструкциях в качестве несущих или подкрепляющих элементов.
И вопросы устойчивости данных элементов очень важны при сооружении
зданий и других сооружений.
Различают два типа тонкостенных стержней:
а) стержни закрытого профиля, у которых (рис. 1) поперечное сечение
представляет замкнутый контур (срединная линия – замкнутая кривая);
б) стержни открытого профиля (рис. 2), у которых поперечное сечение
представляет собой незамкнутый контур (срединная линия – незамкнутая
кривая).
Рис. 1
Рис. 2
4
Сопоставляя габаритные размеры, получаем условие, присущее
тонкостенным стержням: , где: l – размер стержня
вдоль его продольной оси; a – характерный размер сечения; L – длина
контурной линии поперечного сечения стержня; – толщина стенки.
Стержень относится к тонкостенным, если выполняется условие:
.
Толщины отдельных частей поперечного сечения
стержня могут быть или одинаковыми, или различными. Могут быть и такие
случаи, когда в пределах одной части сечения толщина изменяется
непрерывно, как это имеет место, например, в полках швеллерных или
двутавровых прокатных балок. В дальнейшем будут рассматриваться лишь
такие стержни, у которых толщина в пределах каждого участка
поперечного сечения постоянна.
В тех же случаях, когда толщина непрерывно изменяется, она
приближенно заменяется постоянной толщиной, равной средней величине в
пределах каждого участка поперечного сечения стержня.
Особенность работы стержней открытого профиля состоит в том, что
потеря несущей способности может происходить как при общей, так и при
местной потере устойчивости. В пособии рассматриваются вопросы общей
потери устойчивости.
la
lL
1,0;1,0
l
a
a
......,,,
21
5
1. КРУТИЛЬНАЯ ФОРМА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ
ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ СЖАТИИ
В работе тонкостенного стержня на стесненное кручение
существенным фактором является депланация поперечных сечений. Этот
фактор оказывает также влияние и на устойчивость прямолинейной формы
равновесия тонкостенного стержня при его сжатии.
Известно, что тонкостенный стержень под действием равномерного
осевого сжатия может иногда потерять устойчивость в крутильной форме, а
его продольная ось остается прямой. На рис. 1.1 показан пример такого
выпучивания для стержня, имеющего четыре одинаковых полки.
Рис. 1.1
Волокно, совпадающее с осью x, остается прямым при этом
выпучивании, а момент Mx сжимающих сил, приложенных на конце,
превращается в нуль для каждого поперечного сечения стержня. Для
определения крутящего момента, вызывающего кручение (см. рис. 1.1),
необходимо рассмотреть прогибы полок при выпучивании.
Вначале рассмотрим простой случай выпучивания сжатого стержня
(рис. 1.2, а). Первоначально стержень имеет прямолинейную форму
равновесия и на него действует только центрально сжимающая сила F.
6
Рис. 1.2
Сделаем предположение, что эта сила F получает критическое
значение и что стержень примет слегка изогнутую форму равновесия.
Вследствие получившегося прогиба в стержне возникнут определенные
изгибные напряжения, которые накладываются на первоначальные
равномерно распределенные напряжения сжатия. В то же время начальные
напряжения будут действовать на слегка повернутые поперечные сечения
(рис. 1.2, б). При этом каждый элемент изогнутого стержня между двумя
смежными поперечными сечениями находится в состоянии равновесия и,
следовательно, можно полагать, что изгибные напряжения, возникающие
при выпучивании сжатого стержня, уравновешивают начальные
сжимающие напряжения, действующие на слегка повернутые поперечные
сечения. Так как угол между двумя смежными поперечными сечениями
(см. рис. 1.2, б) равен
dxdxwd22/
, то можно считать, что действие
сжимающих сил F на повернутые поперечные сечения эквивалентно
действию на каждый элемент стержня поперечной нагрузки
dxdxwdF
22
/
(рис. 1.2, в).
Отсюда следует, что упругая ось стержня и соответствующие
изгибные напряжения могут быть найдены при допущении, что стержень
находится под действием фиктивной нагрузки интенсивностью
dxdxwdF
22
/
. Дифференциальное уравнение упругой оси в этом случае
имеет вид:
42
1
42
y
d w d w
E I F
dx dx
. (1.1)
Из этого уравнения можно получить обычным путем известное из
общего курса сопротивления материалов критическое значение сжимающей
силы Fкр.
Возвращаясь к задаче о крутильной форме потери устойчивости
(см. рис. 1.1), можно констатировать, что в критическом состоянии
потерявшая устойчивость форма равновесия поддерживается продольными
7
сжимающими напряжениями, действующими на повернутые сечения
волокон. Считая толщину полок малой и принимая во внимание, что
площадка поперечного сечения
d
находится на расстоянии от оси
вращения, видим, что вследствие крутильного выпучивания прогиб оси
равен
w
.
Возьмем элемент полосы, заключенный между двумя смежными
поперечными сечениями, находящимися на расстоянии dx и, учитывая
действие начальной сжимающей силы
d
на слегка повернутые
поперечные сечения полосы (см. рис. 1.1), получим силу:
dx
dx
d
d
dx
wd
d
2
2
2
2
. (1.2)
Момент этой силы относительно оси x равен
ddxdxd
222
/
.
Складывая эти моменты и распространяя суммирование на все поперечное
сечение, получим крутящий момент, действующий на элемент выпученного
стержня, заключенный между двумя смежными поперечными сечениями.
Используя ранее принятое обозначение mx для крутящего момента на
единицу длины стержня, получим:
b
b
x
I
dx
d
dx
d
dx
d
d
dx
d
m
0
0
2
2
2
2
0
3
2
2
2
2
2
3
4
3
44
, (1.3)
где
3
0
3
4
bI
– полярный момент инерции поперечного сечения стержня
относительно центра кручения, совпадающего в данном случае с центром
тяжести поперечного сечения. При выводе уравнения для стержня,
потерявшего устойчивость, используем дифференциальное уравнение для
угла закручивания:
xk
IV
mGIIE
1
. (1.4)
Подставляя вместо mx его значение из (1.3), получим:
01
IGIIE
k
IV
,
или
001
IGIIE
k
IV
. (1.5)
В случае, рассмотренном на рис. 1.1, средние линии всех полок
пересекаются в одной точке и жесткость депланации
IE
1
равна нулю
0
I
.
Тогда уравнение (1.5) принимает вид:
00IGI
k
.
8
Полученное уравнение удовлетворяется при условии, что выражение
в скобках равно нулю, когда
кр
. Отсюда, учитывая, что момент
инерции
k
I
с достаточной точностью может вычисляться по формуле:
k
kk
hI
3
k
3
1
,
где hk и
k
– длина и толщина каждой отдельной полосы, из которых
составлено поперечное сечение стержня, – поправочный коэффициент,
получаем значение критической силы:
2
2
3
3
0
3
4
3
1
4
b
G
b
bG
I
GI
k
кр
. (1.6)
Из (1.6) следует, что критическое значение сжимающего напряжения
не зависит от длины стержня и от формы потери устойчивости,
определяемой углом . Такой результат получился потому, что в исходном
уравнении (1.4) жесткость депланации была принята равной нулю, т. е. не
была учтена сопротивляемость полок изгибу в направлении,
перпендикулярном полке.
Для того чтобы учесть сопротивляемость полок изгибу, необходимо
рассмотреть каждую полку как равномерно сжатую пластину, шарнирно
опертую вдоль трех сторон и полностью свободную для выпучивания по
четвертой стороне.
Вначале рассмотрим случай прямоугольной шарнирно опертой
пластины, сжатой силами px =Nx=const, py=Ny=const (рис. 1.3).
Рис. 1.3
9
В качестве базисных функций примем тригонометрические функции
x
a
m
xX
m
sin
;
y
b
n
yY
n
sin
, удовлетворяющие граничным условиям
шарнирного опирания пластины. Для w(x,y) имеем ряд:
1 1
sinsin,
m n
mn
y
b
n
x
a
m
Cyxw
. (1.7)
Дифференциальный оператор от w(x,y) (1.7) будет иметь следующий вид:
m n
mn
y
b
n
x
a
m
CL
sinsin
m n
yxmn
y
b
n
x
a
m
b
n
p
a
m
p
b
n
a
m
DC
sinsin
2
22
2
22
2
2
2
2
2
4
,
где
2
3
112
Eh
D
– цилиндрическая жесткость пластины.
В силу ортогональности синусов по координате x
a
km
a
km
x
a
k
x
a
m
0
при
2
при0
sinsin
и аналогичного свойства по координате y, система уравнений (1.7)
распадается на независимые для каждого Сmn однородные уравнения.
Каждая из функций
x
a
m
sin
,
y
b
n
sin
может быть формой безразличного
равновесия. Полагая
0
mn
C
, получаем характеристические уравнения
(m=1,2,3,….., n=1,2,3,…….):
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
n
p
a
m
p
b
n
a
m
D
yx
. (1.8)
Для квадратной пластины (a=b) из (1.8) следует, что минимальной нагрузке
соответствует потеря устойчивости при m=n=1 – по одной полуволне
синусоиды в обоих направлениях (рис. 1.4).
Выражение для критической нагрузки можно записать в виде:
2
2
кр
4bDpp
yx
. (1.9)
Для квадратной пластины, подвергнутой действию равномерного давления
в ее срединной плоскости (
ba
,
pNN
yx
), будем иметь:
2
2
2bD
p
кр
. (1.10)
10
Рис. 1.4
Рассмотрим случай сжатия пластины вдоль ее длинной стороны при
py=0, px=const (рис. 1.5). Для прямоугольной пластины, вытянутой вдоль оси
x (a>b), потеря устойчивости может происходить по различным формам в
зависимости от отношения a/b.
Рис. 1.5
Обозначим px=p. Из (1.8), с учетом принятых обозначений, получим:
4
4
22
22
4
4
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
b
n
ba
nm
a
m
m
ba
b
D
b
n
a
m
m
a
Dp
,
или
2
2
2
2
mb
an
a
mb
b
Dp
. (1.11)
Поскольку n стоит в числителе формулы (1.11), то минимальное
значение p
min
будет при n=1. Физически это означает, что пластина
выпучивается таким образом, что может быть несколько полуволн в
направлении сжатия, но только одна полуволна в перпендикулярном
направлении.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]