Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории и расчета тонкостенных стержней открытого профиля на устойчивость. Учебное пособие
.pdf
41
3. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ СЖАТИИ
Вначале рассмотрим случай, когда стержень подвержен действию
центрально приложенной сжимающей силы F и изгибающих моментов My и
Mz, приложенных к концам (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Предположим, что влиянием силы F на величину изгибных
напряжений можно пренебречь. В таком случае нормальное напряжение в
любой точке поперечного сечения не зависит от продольной координаты x
и может быть выражено уравнением:
y
y
z
z
I
zM
I
yM
A
F
, (3.1)
в котором y и z являются главными центральными осями поперечного
сечения. Начальный прогиб стержня, вызванный моментами My и Mz,
принимаем очень малым. Предполагая, что возникли дополнительные
прогибы v
ц.и.
и w
ц.и
оси центров изгиба одновременно с поворотом
относительно этой оси, запишем уравнения равновесия для этой новой
формы, слегка отличной от первоначально изогнутой формы, получившейся
от действия изгибающих моментов My и Mz. При составлении этих уравнений
можно пренебречь малыми начальными прогибами и. поступить, как и в
случае, когда ось стержня вначале была прямой. Тогда составляющие
42
прогиба любого продольного волокна стержня, определяемого координатами
y и z, будут найдены по уравнениям (2.13):
zzvvv
ицM
0..
;
yywww
ицM
0..
.
Беря вторые производные полученных выражений по x и рассматривая
элемент dx волокна (см. рис. 1.1, рис. 2.2, а), найдем, что сжимающие
усилия
dA
, действующие на слегка повернутое сечение элемента dx,
дают следующие составляющие усилий в направлениях y и z:
dxzzvdAdq
y
0ц.и.
;
dxyywdAdq
z
0ц.и.
. (3.2)
Беря моменты составляющих сил относительно оси центров изгиба,
получим для элемента
dA
следующие крутящие усилия на единицу длины
стержня:
yyyywdAzzzzvdAdm
x
00ц.и.00ц.и.
. (3.3)
Проинтегрируем полученные выражения (3.2) и (3.3) по всему поперечному
сечению стержня:
A
z
A
y
yywdAqzzvdAq
0ц.и.0ц.и.
;
AA
x
dAyyyywdAzzzzvm
00ц.и.00ц.и.
(3.4)
Подставляя в выражения (3.4) значения из (3.1) и интегрируя, получим:
.
0ц.и.
0ц.и.0ц.и.
0ц.и.0ц.и.
0ц.и.0ц.и.
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yz
z
z
z
z
z
z
z
z
y
A A
y
y
z
z
AA
y
y
z
z
y
I
I
M
Sz
I
M
Sv
I
M
I
I
M
Sz
I
M
Sv
I
M
S
A
F
zFvF
dAzzv
I
zM
dAzzv
I
yM
dAzzv
A
F
dAzzv
I
zM
I
yM
A
F
q
Так как оси y и z – главные центральные оси поперечного сечения, то
статические моменты и центробежный момент инерции равны нулю.
Окончательно получим:
yyy
MzFvFMzFvFq
0ц.и.0ц.и.
.
Аналогично найдем:
zzz
MyFwFMyFwFq
0ц.и.0ц.и.
;
43
A
z
z
z
A
z
y
y
z
A
z
z
A
y
y
yyy
A
z
z
A
z
z
A
y
y
A A A
y
y
A
z
z
A A
z
z
y
y
A A
y
y
A
AA
x
dAy
I
M
yM
wMzdAy
I
M
I
A
F
FyywFdAyz
I
M
dAz
I
M
zMvMI
A
F
FzzvF
dAyy
I
yM
dAyyw
I
yM
dAyy
I
zM
dAyyw
I
zM
dAyy
A
F
dAyyw
A
F
dAzz
I
yM
dAzzv
I
yM
dAzz
I
zM
dAzzv
I
zM
dAzz
A
F
dAzzv
A
F
dAyyyywdAzzzzvm
.2
2
3
0
ц.и.
22
00ц.и.
2
3
0ц.и.
2
00ц.и.
2
00ц.и.
2
0
0ц.и.
2
00ц.и.
2
00ц.и.
2
0
0ц.и.
2
00ц.и.
00ц.и.00ц.и.
Остальные интегралы обращаются в нуль вследствие того, что оси y и
z – главные центральные. Введем обозначения:
0
23
2z
I
zdAydAz
y
A A
z
;
0
23
2y
I
ydAzdAy
z
A A
y
; (3.5)
A
II
zyr
zy
2
0
2
0
2
0
.
Тогда
2
0ц.и.0ц.и.0
FrMMwMFyvMFzm
yzzyzyx
.
Полученное выражение для mx подставим в (1.4):
0
2
0ц.и.0ц.и.01
FrMMwMFyvMFzGIIE
yzzyzyk
IV
,
или
0
ц.и.0ц.и.0
2
01
wMFyvMFzFrMMGIIE
zyyzzyk
IV
. (3.6)
Дважды продифференцируем уравнения:
zz
MvIE
ц.и.1
;
yy
MwIE
ц.и.1
.
В результате получаем:
.;
ц.и1
.
IV
ц.и.1 z
IV
yyz
qwIEqvIE
(3.7)
Подставляя найденные выражения для qy и qz в дифференциальные
уравнения (3.7) и объединяя с уравнением (3.6), получим:
0
0ц.и.
.
IV
ц.и.1
yz
MzFvFvIE
;
44
0
0ц.и.ц.и1
z
IV
y
MyFwFwIE
; (3.8)
0
ц.и.0ц.и.0
2
01
wMFyvMFzFrMMGIIE
zyyzzyk
IV
.
Уравнения (3.8) являются общими уравнениями равновесия для
выпученной формы тонкостенного стержня. Используя эти уравнения,
можно вычислить критические значения внешних сил при заданных
краевых условиях.
Рассмотрим случай, когда сжимающая сила F приложена
внецентренно с координатами точки ее приложения yF и zF. Внецентренное
приложение силы создает дополнительные осевые моменты, изгибающие
стержень:
y F
M F z
;
z F
M F y
. (3.9)
Подставляя (3.9) в (3.8), получим:
0
0ц.и.
.
IV
ц.и.1
Fz
zzFvFvIE
;
0
0ц.и.ц.и1
F
IV
y
yyFwFwIE
; (3.10)
0
ц.и.0ц.и.0
2
01
wyyFvzzFFrFyFzGIIE
FFyFzFk
IV
.
Рассмотрим различные способы закрепления концов стержня.
Вариант 1. Процесс интегрирования системы уравнений (3.10)
выполним для простейшего случая закрепления концевых сечений стержня,
исключающего их смещение вдоль осей y и z, а также вращение
относительно оси x (шарнирное закрепление – рис. 2.4, а). В этом случае
концевые условия (
0x
;
lx
) будут
0v; 0w; 0
;
0v; 0
w; 0
.
В качестве функций, определяющих решение системы уравнений
(3.10) и соответствующих принятым краевым условиям, возьмем
выражения:
l
x
Av
иц
sin
1..
;
l
x
A
l
v
иц
sin
1
2
2
..
;
l
x
A
l
v
IV
иц
sin
1
4
4
.
;
l
x
Aw
иц
sin
2..
;
l
x
A
l
w
иц
sin
2
2
2
..
;
l
x
A
l
w
IV
иц
sin
2
4
4
.
; (3.11)
l
x
A
sin
3
;
l
x
A
l
sin
3
2
2
;
l
x
A
l
iV
sin
3
4
4
.
Подставляя (3.11) в (3.10), получим:
0sin
03
2
2
1
2
2
.
1
4
4
1
x
l
zzA
l
FA
l
FA
l
IE
Fz
;
0sin
03
2
2
2
2
2
2
4
4
1
x
l
yyA
l
FA
l
FA
l
IE
Fy
;
x
l
FrFyFzGIA
l
A
l
IE
yFzFk
sin
2
03
2
2
3
4
4
1
0sin
02
2
2
01
2
2
x
l
yyA
l
FzzA
l
F
FF
.
45
Упрощая, получим следующую однородную, в отношении
коэффициентов
321
,, AAA
, систему уравнений:
0
301
2
2
1
AzzFA
l
IEF
Fz
;
0
302
2
2
1
AyyFA
l
IEF
Fy
; (3.12)
0
3
2
0
2
2
12010
AFrFyFzGI
l
IEAyyFAzzF
yFzFkFF
.
В системе уравнений (3.12) введем обозначения:
2
2
11
l
IEF
z
;
2
2
12
l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
1
, (3.13)
где
yFzF
yzr
2
0
2
.
Тогда:
0
3011
AzzFAFF
F
;
0
3022
AyyFAFF
F
; (3.14)
0
33
2
2010
AFFAyyFAzzF
FF
.
Приравнивая к нулю детерминант уравнений (3.14)
0
0
0
3
2
00
02
01кр
FF
yyFzzF
yyFFF
zzFFF
FкрFкр
Fкркр
Fкр
,
получим кубическое уравнение для вычисления F
кр
:
2
2
01
2
02
2
321
3
кр
2
2
0
2
0 крFFFF
FyyFzzFFFFFzzyy
0
321
2
323121
2
FFFFFFFFFF
кр
. (3.15)
Величины F1, F2, F3,
2
, входящие в уравнения (3.15), определяются из
(3.13).
Вариант 2. Если концы стержня защемлены (рис. 2.5, а), то краевые
условия будут:
0v
;
0w
;
0
;
0v
;
0w
;
0
при x=0 и x=l.
Уравнения (3.10) и концевые условия будут выполняться, если в
качестве функций
v, w
, возьмем:
x
l
Av
2
cos1
1ц.и.
;
x
l
Aw
иц
2
cos1
2..
;
x
l
A
2
cos1
3
.
В итоге придем к тому же уравнению (3.15), но при условии, что
2
2
11
4
l
IEF
z
;
2
2
12
4
l
IEF
y
; (3.16)
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
41
;
yFzF
yzr
2
0
2
.
46
Вариант 3. Один конец стержня жестко защемлен, а другой
свободен.
Краевые условия:
0v
;
0w
;
0
;
0v
;
0w
;
0
при x=0;
0
B
01
IE
0
.
Уравнения (3.10) и концевые условия будут выполняться, если в
качестве функций
v, w
,
возьмем:
x
lAv2
cos1
1ц.и.
;
x
l
Aw
иц
2
cos1
2..
; (3.17)
x
lA2
cos1
3
.
В итоге снова придем к уравнениям (3.15), но при условии, что
2
2
11
4l
IEF
z
;
2
2
12
4l
IEF
y
; (3.18)
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
4
1
;
yFzF
yzr
2
0
2
.
В частном случае, когда сжимающая сила F действует вдоль оси
центров изгиба (
0
yyF
;
0
zzF
), то уравнения (3.10) значительно
упрощаются:
0
ц.и.
.
IV
ц.и.1
vFvIE
z
;
0
ц.и.ц.и1
wFwIE
IV
y
; (3.19)
0
2
0001
FrFyFzGIIE
yzk
IV
.
Каждое из этих равнений содержит только одну переменную
величину. Боковые выпучивания в двух главных плоскостях не зависят друг
от друга и не зависят от кручения. В результате получаем три критических
значения F, из которых два определяются формулами Эйлера, а одно
соответствует крутильному выпучиванию.
В случае шарнирного закрепления концов стержня это приводит
уравнения (3.19) к следующему виду:
2
2
11
l
IEF
z
;
2
2
12
l
IEF
y
; (3.20)
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
1
;
yFzF
yzr
2
0
2
.
47
В случае жесткого защемления концов стержня уравнения (3.20) принимают
вид:
2
2
11
4
l
IEF
z
;
2
2
12
4
l
IEF
y
; (3.21)
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
41
;
yFzF
yzr
2
0
2
.
В случае, когда один конец стержня жестко защемлен, а другой
свободен, уравнения (3.20) принимают вид:
2
2
11
4l
IEF
z
;
2
2
12
4l
IEF
y
; (3.22)
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
4
1
;
yFzF
yzr
2
0
2
.
А. Стержень имеет одну ось симметрии, например, ось y (z0=0,
0
z
).
Вариант 1. Сжимающая сила приложена в произвольной точке
поперечного сечения (
0
F
y;0
F
z
).
В этом случае уравнения (3.10) принимают вид:
0
ц.и.
.
IV
ц.и.1
Fz
FzvFvIE
;
0
0ц.и.ц.и1
F
IV
y
yyFwFwIE
; (3.23)
0
ц.и.0ц.и.
2
01
wyyFvFzFrFyGIIE
FFyFk
IV
.
В случае шарнирного закрепления концов стержня уравнения (3.23)
принимают вид:
0
311
AFzAFF
F
;
0
3022
AyyFAFF
F
; (3.24)
0
33
2
201
AFFAyyFAFz
FF
.
В итоге получим кубическое уравнение для вычисления F
кр
:
2
2
01
2
2
2
321
3
кр
2
22
0 крFFFF
FyyFzFFFFFzyy
0
321
2
323121
2
FFFFFFFFFF
кр
, (3.25)
где
2
2
11
l
IEF
z
;
2
2
12
l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
1
;
yF
yr
2
0
2
.
В случае жесткого закрепления концов стержня придем к уравнению
(3.25), но при этом:
2
2
11
4
l
IEF
z
;
2
2
12
4
l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
41
;
yF
yr
2
0
2
.
В случае, когда один конец стержня жестко защемлен, а другой
свободен, также приходим к уравнению (3.25), но при этом:
2
2
11
4l
IEF
z
;
2
2
12
4l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
4
1
;
yF
yr
2
0
2
.
48
Вариант 2. Сжимающая сила F приложена в плоскости симметрии
(zF=0).
Уравнения (3.23) принимают вид:
0
ц.и.
.
IV
ц.и.1
vFvIE
z
;
0
0ц.и.ц.и1
F
IV
y
yyFwFwIE
; (3.26)
0
ц.и.0
2
01
wyyFFrFyGIIE
FyFk
IV
.
Из первого уравнения (3.26) следует, что выпучивание в плоскости
симметрии не зависит от кручения и, следовательно, критическая сила равна
эйлеровой.
Выпучивание в плоскости xz и кручение взаимно связаны, а
соответствующие критические силы получим, приравнивая к нулю
детерминант второго и третьего из уравнений (3.26).
В случае шарнирного закрепления концов стержня это приводит
уравнения (3.26) к следующему виду:
011 AFF
;
0
3022
AyyFAFF
F
;
0
33
2
20
AFFAyyF
F
.
Отсюда
1кр,1
FF
;
0
3
2
0
02.
FFyyF
yyFFF
крFкр
Fкркр
.
Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение:
0
32
2
32
22
2
0
2
FFFFFFyy
кркрF
.
Отсюда
2
0
2
32
2
0
22
2
32
2
2
32
2
3,2,
2
4
F
F
kp
yy
FFyyFFFF
F
; (3.27)
2
2
12
l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
1
;
yF
yr
2
0
2
.
В случае жесткого защемления концов стержня в уравнениях (3.27)
принимаем:
2
2
11
4
l
IEF
z
;
2
2
12
4
l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
41
.
В случае, когда один конец стержня жестко защемлен, а другой свободен, в
уравнениях (3.27) принимаем:
2
2
11
4l
IEF
z
;
2
2
12
4l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
4
1
.
49
Вариант 3. Сжимающая сила F приложена в центре изгиба (
0
yyF
;
0
F
z
).
Уравнения (3.26) принимают вид:
0
ц.и.
.
IV
ц.и.1
vFvIE
z
;
0
ц.и.ц.и1
wFwIE
IV
y
; (3.28)
0
2
001
FrFyGIIE
yk
IV
.
В случае шарнирного закрепления концов стержня это приводит
уравнения (5.92) к следующему виду:
011 AFF
;
022 AFF
;
0
33
2
AFF
. (3.29)
Отсюда
2
2
11,
l
IEF
zкр
;
2
2
12,
l
IEF
yкр
;
kкр
GI
l
IEF
2
2
1
2
3,
1
;
y
yr
0
2
0
2
. (3.30)
В случае жесткого защемления концов стержня уравнения (3.30)
принимают вид:
2
2
11,
4
l
IEF
zкр
;
2
2
12,
4
l
IEF
yкр
;
kкр
GI
l
IEF
2
2
1
2
3,
41
;
y
yr
0
2
0
2
. (3.31)
В случае, когда один конец стержня жестко защемлен, а другой
свободен, уравнения (3.30) принимают вид:
2
2
11,
4l
IEF
zкр
;
2
2
12,
4l
IEF
yкр
;
kкр
GI
l
IEF
2
2
1
2
3,
4
1
;
y
yr
0
2
0
2
. (3.32)
Вариант 4. Сжимающая сила F приложена в центре тяжести (
0
F
y;0
F
z
).
Уравнения (5.90) принимают вид:
0
ц.и.
.
IV
ц.и.1
vFvIE
z
;
0
0ц.и.ц.и1
FywFwIE
IV
y
;
0
ц.и.0
2
01
wFyFrGIIE
k
IV
.
В случае шарнирного закрепления концов стержня это приводит
уравнения (5.90) к следующему виду:
011 AFF
;
0
3022
AFyAFF
;
0
33
2
20
AFFAFy
.
Отсюда
11,FFкр
;
0
3
2
0
02.
FFyF
yFFF
кркр
кркр
.
Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение:
0
32
2
32
22
2
0
2
FFFFFFy
кркр
,
где
2
0
2
0
2
ryr
yF
.
50
В результате получим:
2
0
2
0
32
2
0
2
0
2
0
2
32
2
2
032
2
0
3,2,
2
4
yr
FFyrrFFrFFr
F
kp
,
что совпадает с ранее полученным для центрального сжатия уравнением (2.26).
Б. Стержень имеет две оси симметрии (
00y
;
00z
;
0
y
;
2
0
2
r
).
Вариант 1. Сжимающая сила приложена в произвольной точке
поперечного сечения (
0
F
y; 0
F
z
;
2
0
2
r
).
В этом случае уравнения (3.23) принимают вид:
0
ц.и.
.
IV
ц.и.1
Fz
FzvFvIE
;
0
ц.и.ц.и1
F
IV
y
FywFwIE
; (3.33)
0
ц.и.ц.и.
2
01
wFyvFzFrGIIE
FFk
IV
.
В случае шарнирного закрепления концов стержня уравнения (3.33)
принимают вид:
0
311
AFzAFF
F
;
0
322
AFyAFF
F
;
0
33
2
021
AFFrAFyAFz
FF
.
В итоге получим кубическое уравнение для вычисления F
кр :
2 2 2 3 2 2 2 2
F F 0 кр 1 2 3 0 2 F 1 F кр
y + z r F + F + F + F r + F z F y F
0
321
2
0323121
2
0
FFFrFFFFFFFr
кр
; (3.34)
2
2
11
l
IEF
z
;
2
2
12
l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
1
.
В случае жесткого закрепления концов стержня при решении
уравнения (3.34) необходимо принять:
2
2
11
4
l
IEF
z
;
2
2
12
4
l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
41
;
yF
yr
2
0
2
.
В случае, когда один конец стержня жестко защемлен, а другой свободен,
при решении уравнения (3.34) необходимо принять:
2
2
11
4l
IEF
z
;
2
2
12
4l
IEF
y
;
k
GI
l
IEF
2
2
1
2
3
4
1
;
yF
yr
2
0
2
.
Вариант 2. Сжимающая сила F приложена в плоскости xy (
0
F
z
).
Уравнения (3.33) принимают вид:
0
ц.и.
.
IV
ц.и.1
vFvIE
z
;
0
ц.и.ц.и1
F
IV
y
FywFwIE
; (3.35)
0
ц.и.
2
01
wFyFrGIIE
Fk
IV
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]