Основы теории и расчета тонкостенных стержней открытого профиля на устойчивость. Учебное пособие

61

Поперечное сечение показано на рис. 3.5, б. Один конец стержня защемлен, второй шарнирно оперт. Центр изгиба находится на оси симметрии (ось y).

Геометрические и физические характеристики взяты из примера 8:

м5l

;

2

2,37 смА 

;

см19,90y

;

00z

;

4

5112смIy

;

4

4,653 смIz

;

4

10смIk

;

6

135555смI 



;

24

2

5

2

1

/10308,2

3,01

101,2

1

смкН

E

E 













;

23

/108 смкНG 

;

3,0



;

26

1

10985,117 кНсмIE

y



;

26

1

10080,15 кНсмIE

z



;

2

80000кНсмGIk

;

47

1

10861,312 кНсмIE 



;

22

0

2

0

2

0

44,239 см

A

II

zyr

zy







;

см

y

34,20



.

Критические силы определяются по уравнению (3.25) как для стержня с шарнирным закреплением концов, но отдельные его величины умножаются на поправочные коэффициенты kij из (2.34), определяющие характер краевых условий:

2

1111

l

IEkF

z





;

2

1112

l

IEkF

z





;

 

k

GIIEkF 





133

2

3

1

;

0230

yky 

,

где, согласно (2.36),

1223,411k

;

1223,422k

;

092,233k

;

8746,013k

;

8746,023k

. Уравнение (3.25) критических сил тогда будет иметь вид:

 

 

 

 



2

01

2

321

3

кр

2

22

0 крFFFF

FyyFzFFFFFzyy





 

0

321

2

323121

2

 FFFFFFFFFF

кр





, (3.42)

Рассмотрим несколько вариантов расположения точки приложения сжимающей силы F.

Вариант 1. Сжимающая сила F приложена в произвольной точке (см. рис. 3.4, б) контура поперечного сечения (точка B –

смy

F

45,6; смzF15

).

В этом случае имеем:

смyky 04,8)19,9(8746,0

0230



;

смyy

F

49,1445,604,8

0



;

222

0

2

0

2

0

63,219

2,37

4,6535112

)04,8( см

A

II

zyr

zy











;

 

22

0

2

82,35034,2045,663,219 смyr

yF







;

   

;96,20949,14

2

22

0

смyy

F



 

2222

2

0

14,8482,3501596,209 смzyy

FF







;

2

1 11 1

2

2451,66

z

F k E I кН

l





;

2

2 22 1

2

19181,64

y

F k E I кН

l





;

62

кНGI

l

IEkF

k

82,963

1

2

133

2

3





 





 











;

   

23

2

01

2

321

10902,3096 кНсмyyFzFFFF

FF







;

 

226

323121

2

10773,23812 смкНFFFFFF 





;

239

321

2

10067,15901 смкНFFF 





.

Подставим эти значения в (3.24) и получим кубическое уравнение для вычисления Fкр:

010067,1590110773,2381210902,309614,84

96233

кр



кркр

FFF

.

Упрощая, получим:

010983,18810013,28310807,36

96233

кр



кркр

FFF

.

Введем обозначения согласно (3.41). Исходное кубическое уравнение в этом случае принимает вид:

0983,188013,283807,36

23

 XXX

.

Решая данное кубическое уравнение, получим:

7405,01X

;

877,52X

;

6,43424

3

X

.

Критические силы будут, соответственно, равны:

кНXF

кр

5,74010

3

11,



;

кНXF

кр

587710

3

22,



;

кНXF

кр

6,4342410

3

33,



.

Один корень получился отрицательным. Это указывает на то, что при больших эксцентриситетах нагрузки стержень может потерять устойчивость под действием эксцентричного растяжения.

Вариант 2. Сжимающая сила F приложена в точке контура поперечного сечения (см. рис. 2.4, б), расположенной на оси симметрии (точка D –

смy

F

55,3

;

00 zz

F

).

В этом случае имеем:

 

22

0

2

42,14734,2055,363,219 смyr

yF







;

 

2

0

16,20 смyy

F



;

 

2

0

2

26,127 смyy

F







;

kHGI

l

IEkF

k

63,2293108

105

1061,3128092,2

42,147

11

4

42

2

6

2

133

2

3





 





 











 





 











.

Это приводит уравнения (3.26) к следующему виду:

 

011 AFF

;

 

0

3022

 AyyFAFF

F

;

 

0

33

2

20

 AFFAyyF

F





;

кНF 7,2451

1



;

кНF 64,19181

2



;

кНF 63,2293

3



.

Тогда

кНFF

кр

7,2451

11,



;

 

0

3

2

0

02.





FFyyF

yyFFF

крFкр

Fкркр





.

63

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение:

 

 

 

0

32

2

32

22

2

0

2

 FFFFFFyy

кркрF





.

Отсюда

 

2

0

2

32

2

0

22

2

32

2

32

2

3,2,

2

4

F

kp

yy

FFyyFFFF

F















;







52,254

1054,25921088,3165

33

3,2.кр

F

кНF

кр

22636

2.



;

кНF

кр

2264

3.



.

Таким образом, минимальная критическая сила:

,(min)

2264

кр

F кН

,

т. е. получили изгибно-крутильную потерю устойчивости.

Вариант 3. Сжимающая сила F приложена в центре изгиба (точка А0 – рис. 3.2, б).

В этом случае имеем:

смy

F

19,9

;

00 zz

F

;

смyy

F

15,1)19,9(04,8

0



;

 

22

0

2

71,3234,2019,963,219 смyr

yF







;

кНF 7,2451

1



;

кНF 6,19181

2



;

kHGI

l

IEkF

k

10337108

105

1061,3128092,2

71,32

11

4

42

2

6

2

133

2

3





 





 











 





 











.

Таким образом,

,(min) 1

2451,7

кр

FF кН

,

т. е. получили чисто изгибную потерю устойчивости.

Исследование корней кубического уравнения на рассмотренных примерах показывает, что наименьшая критическая эксцентрично действующая сила всегда меньше эйлеровой критической силы. Наибольшего своего значения она достигает при действии в центре изгиба. В этом случае сжатый стержень будет наиболее устойчив. Форма потери устойчивости при этом может быть как эйлеровая чисто изгибная, так и чисто крутильная.

Профессор Власов В.З., глубоко исследовавший вопросы устойчивости тонкостенных стержней, указал на их замечательное свойство терять устойчивость не только при сжатии, но и при растяжении. Это явление объясняется тем, что при некоторых расположениях растягивающих сил в поперечном сечении стержня могут возникать, наряду с растягивающими напряжениями, также и сжимающие напряжения.

Изучение этого вопроса привело В.З. Власова [4] к следующему заключению: «При внецентренном действии продольной силы явление потери устойчивости может возникать как в случае сжатия, так и в случае

64

растяжения. В случае сжатия стержень может потерять устойчивость при любом расположении силы в поперечном сечении; в случае растяжения явление потери устойчивости может иметь место при условии, если продольная сила приложена вне области устойчивости». Область устойчивости представляет собой круг независимо от формы поперечного сечения стержня.

Радиус круга устойчивости R и координаты его центра ky, kz определяются по следующим формулам:

 

A

II

zyR

zy





2

0

2

0

2

22



;

0

2yk

yy





;

0

2zk

zz





.

(3.43)

Здесь

y



и

z



определяются по формулам (3.5).

Для сечения с одной осью симметрии (ось y) уравнения (3.43) принимают вид:

 

A

II

yR

zy

y





2

0

2



;

0

2yk

yy





;

0

z

k

. (3.44)

В примере 6 рассмотрим еще одну точку приложения сжимающей силы – точку N (

смy

F

45,6; смzF9

).

Построим круг устойчивости для поперечного сечения стержня (рис. 3.6).

Рис. 3.6

65

Согласно (3.44):

 

2

82,158

2,37

4,6535112

38,1834,20 смR 





;

смR 58,12

;

смk

y

96,138,1834,20 

;

Из примера 6 имеем:

5мl 

;

2

2,37 смА 

;

см19,90y

;

00z

;

4

5112смIy

;

4

4,653 смIz

;

4

10смIk

;

6

135555смI 



;

24

2

5

2

1

/10308,2

3,01

101,2

1

смкН

E

E 













;

23

/108 смкНG 

;

3,0



;

26

1

10985,117 кНсмIE

y



;

26

1

10080,15 кНсмIE

z



;

2

80000кНсмGIk

;

74

1

312,861 10EI кНсм





;

2 2 2 2

0 0 0

239,44

yz

II

r y z см

A



   

;

20,34yсм

;

22

370,63yсм

;

 

2

0

244,61

F

yy см

;

 

2

2 2 2 2

0

244,61 9 370,63 45,02

F F y

y y z см       

;

кНF 73,594

1



;

кНF 14,4653

2



;

кНF 76,549

3



;

   

2

2 2 3 2

1 2 3 2 1 0

1637,269 10

FF

F F F F z F y y кНсм



         

;

 

2 6 2 2

1 2 1 3 2 3

2093,015 10F F F F F F кН см



        

;

2 9 3 2

1 2 3

562,845 10F F F кН см



     

.

Подставим эти значения в (3.24) и получим кубическое уравнение для вычисления Fкр:

3 3 2 6 9

кр

45,02 1637,269 10 2093,015 10 562,845 10 0

кр кр

F F F       

.

Упрощая, получим:

3 3 2 6 9

кр

36,368 10 46,491 10 12,502 10 0

кр кр

F F F      

.

Введем обозначения согласно (3.41). Исходное кубическое уравнение в этом случае принимает вид:

32

36,368 46,491 12,502 0X X X   

.

Решая полученное кубическое уравнение, получим:

1

0,3817X 

;

2

35,951X 

;

3

0,9345X 

.

Критические силы будут, соответственно, равны:

3

,1 1

10 381,7

кр

FX кН  

;

3

,2 2

10 35951

кр

FX кН  

;

3

,3 3

10 934,5

кр

FX кН  

.

Все корни кубического уравнения положительны, что соответствует нахождению точки приложения сжимающей силы (точки N) в круге устойчивости (см. рис. 3.6).

Пример 10. Выполнить расчет на устойчивость внецентренно сжатого стержня (рис. 3.7, а).

66

Рис. 3.7

Поперечное сечение двутавра № 30 показано на рис. 3.7, б. Оба конца стержня шарнирно закреплены. Так как поперечное сечение стержня имеет две оси симметрии, то, следовательно, центр изгиба, главный полюс А0 и главная начальная точка отсчета дуг С0 совпадают с центром тяжести (рис. 3.7, в).

Рассмотрим несколько вариантов расположения точки приложения сжимающей силы F.

Вариант 1. Сжимающая сила F приложена в точке B (

смy

F

75,6; смzF15

).

Из таблицы сортамента находим:

2

5,46 смА 

;

4

7080смIy

;

4

337смIz

;

Из предыдущих примеров имеем:

24

2

5

2

1

/10308,2

3,01

101,2

1

смкН

E

E 













;

23

/108 смкНG 

;

3,0



.

Для рассматриваемого примера имеем:

5мl 

;

0

0y 

;

0

0z 

.

Определим момент чистого кручения по формуле:





k

kkk

hI

3

1



,

где hk и

k



– длина и толщина каждой отдельной полосы, из которых

составлено поперечное сечение стержня,  – поправочный коэффициент.

 

4333

53,1402,15,13265,096,272,1

3

1

3

1

смhI

k

kkk







.

67

Построим эпюру главных секториальных координат

0



(см. рис. 3.7, в):

0

542





;

4

1

25,10175,615

2

1

2 см



;

4

3

25,10175,615

2

1

2 см



;

4

16

25,101 см



;

4

37

25,101 см



.

По правилу Верещагина (перемножением эпюр) найдем значение главного секториального момента



I

:

6

34,9410925,101

3

2

25,10175,6

2

1

02,14 смI 



.

В результате имеем:

26

1

10385,163708092,23076 кНсмIE

y



;

23

1

10922,777633792,23076 кНсмIE

z



;

23

1024,11653,148000 кНсмGI

k



;

46

1

10754,217134,9410992,23076 кНсмIE 



;

22

0

51,159 см

A

II

r

zy







;

0

y



;

22

0

2

51,159 смr 





.

Для шарнирного закрепления концов стержня:

kH

l

IEF

z

7,306

105

10922,7776

42

2

6

2

11









;

kH

l

IEF

y

6,6443

105

10385,163

42

2

6

2

12









;

kHGI

l

IEF

k

7,12651024,116

105

10754,2171

51,159

11

3

42

2

6

2

1

2

3





 





 











 





 











.

Определим коэффициенты кубического уравнения (3.34):

222

2

0

2

05,11151,1591575,6 смrzy

FF



;

   

2

1

2

321

9,185151 кНсмyFzFFFF

FF







;

 

22

323121

2

0

1678062240 смкНFFFFFFr 

;

239

321

2

0

10989,398 смкНFFFr 

.

Подставим эти значения в (3.34) и получим кубическое уравнение для вычисления Fкр:

010989,39810062,167810152,18505,111

96233

кр



кркр

FFF

.

Упрощая, получим:

010593,310111,1510667,1

96233

кр



кркр

FFF

.

Введем обозначения согласно (3.41). Исходное кубическое уравнение принимает вид:

0593,3111,15667,1

23

 XXX

.

Решая кубическое уравнение, получим:

23262,01X

;

712,42X

;

22777,33X

.

Критические силы будут, соответственно, равны:

кНXF

кр

6,23210

3

11,



;

кНXF

кр

471210

3

22,



;

кНXF

кр

7,327710

3

33,



.

68

Минимальная критическая сила:

кНFF

кр

6,232

1,(min)



.

Один корень получился отрицательным. Это указывает на то, что при больших эксцентриситетах нагрузки стержень может потерять устойчивость под действием эксцентричного растяжения, что соответствует нахождению точки приложения сжимающей силы (точки В) вне круга устойчивости.

Согласно (3.44):

 

22

0

2

0

2

51,1592 смr

A

II

yR

zy

y









;

0

y

k

;

0

z

k

.

Отсюда

смzсмR

F

1563,1251,159 

.

Вариант 2. Сжимающая сила F приложена в центре тяжести

0

F

y; 0

F

z

).

Уравнения (3.33) принимают вид:

0

ц.и.

.

IV ц.и.1





 vFvIE

z

;

0

ц.и.ц.и1





 wFwIE

IV

y

;

 

0

2

01











FrGIIE

k

IV

.

В случае шарнирного закрепления концов стержня эти уравнения принимают вид:

 

011 AFF

;

 

022 AFF

;

 

0

33

2

0

 AFFr

.

Отсюда получим:

kH

l

IEF

z

7,306

105

10922,7776

42

2

6

2

11









;

kH

l

IEF

y

6,6443

105

10385,163

42

2

6

2

12









;

kHGI

l

IEF

k

7,12651024,116

105

10754,2171

51,159

11

3

42

2

6

2

1

2

3





 





 











 





 











.

Минимальная критическая сила:

,(min) 1

306,7

кр

FFкН

.

69

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов / Н.М. Беляев. – М.:

Физматгиз, 1962.

2. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций /

В.Л. Бидерман. – М.: Машиностроение, 1977.

3. Власов В.З. Избранные труды / В.З. Власов. – М.: Наука, т. 1, 1962,

т. 2, 1963, т. 3, 1964.

4. Дарков А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. –

М.: Высшая школа, 1965.

5. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы /

Г.Б. Двайт. – М.: Наука, 1978.

6. Лампси Б.Б. Прочность тонкостенных металлических конструкций /

Б.Б. Лампси. – М.: Стройиздат, 1987.

7. Никифоров С.Н. Сопротивление материалов / С.Н. Никифоров. – М.:

Высшая школа, 1966.

8. Сопротивление материалов с основами теории упругости и

пластичности / Г.С. Варданян [и др.]. – М.: Изд-во АСВ, 1995.

9. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т. 2 / С.П. Тимошенко. –

М.: Наука, 1965.

10. Урбан И.В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций /

И.В. Урбан. – М.: Гос. транспорт. железнодор. изд-во, 1955.

11. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М.:

Наука, 1979.

12. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела.

Т. 2 / А.П. Филин. – М.: Наука, 1978.

13. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем / С.П. Тимошенко. –

М.: Гос. изд-во техн.-теор. литер., 1955.

14. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней пластин и оболочек /

С.П. Тимошенко. – М.: Наука, 1971.

15. Демченко Д.Б. Основы теории и расчета тонкостенных стержней

открытого профиля на устойчивость / Д.Б. Демченко, И.А. Маяцкая; Донской государственный технический университет. – Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2020.

70

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.……………………………………...………………...

4

1. КРУТИЛЬНАЯ ФОРМА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ

ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ СЖАТИИ.....................................

5

2. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ

ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ

СЖАТИИ.............................................................................

20

3. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ

ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ

СЖАТИИ….........................................................................

41

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА……………………………

69