Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории и расчета тонкостенных стержней открытого профиля на устойчивость. Учебное пособие
.pdf
11
Таким образом, выражение для критического значения сжимающей
нагрузки приобретает вид:
2
2
2
кр
mb
a
a
mb
b
Dp
. (1.12)
Введем обозначение
2
mb
a
a
mb
K
. (1.13)
Тогда
D
b
Kp
2
2
кр
. (1.14)
Из (1.12) следует, что при m=1 критическая нагрузка определяется по
формуле:
2
2
2
кр
b
a
a
b
b
Dp
. (1.15)
Рассмотрим устойчивость равномерно сжатых прямоугольных
пластин, свободно опертых по двум противоположным сторонам,
перпендикулярных к направлению сжатия и имеющих различные
граничные условия по двум другим сторонам.
При исследовании данной задачи воспользуемся методом
интегрирования дифференциального уравнения, которое для случая
равномерного сжатия вдоль оси x (рис. 1.6) имеет вид:
0
1
2
2
2
4
4
22
4
4
4
x
w
p
Dy
w
yx
w
x
w
x
. (1.16)
Рис. 1.6
Допуская, что под действием сжимающих сил пластина выпучивается
в m синусоидальных полуволн, принимаем решение уравнения (1.7) в виде:
sin
m
w Y y x
a
, (1.17)
где
yY
является функцией одного аргумента y и подлежит определению.
Выражение (1.17) удовлетворяет граничным условиям вдоль свободно
опертых сторон x=0 и x=a пластины, так как
0w
и
0
2
2
2
2
y
w
x
w
при x=0 и x=a.
12
Подставив (1.17) в (1.16), получим следующее дифференциальное
уравнение для определения функции
yY
:
4 2 2
24
24
sin 2 sin sin sin 0
x
p
m m m d Y m d Y m m m
Y x x x Y x
a a a a a D a a
dy dy
.
Сокращая на
x
a
m
sin
, получим:
2 2 2
42
42
20
x
p
d Y m d Y m m
Y
a a D a
dy dy
. (1.18)
Уравнение (1.18), в отличие от уравнения в частных производных
(1.16), представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение
относительно функции Y(y). Введем обозначение
a
m
(1.19)
и составим характеристическое уравнение:
02
22224
D
p
kk
x
. (1.20)
Корни этого уравнения равны:
D
p
k
x
2,1
,
D
p
k
x
4,3
. (1.21)
Уравнение (1.12) запишем в виде:
2
22
2
2
22
2
2
2
x
1
bm
a
a
m
D
mb
a
a
mb
b
Dp
,
или, с учетом (1.19),
2
22
2
2
x
1
bm
a
Dp
.
Отсюда следует, что
Dp
x
2
. (1.22)
Следовательно, корни k
3,4
из (1.21) являются мнимыми.
Обозначая
x
p
D
,
x
p
D
, (1.23)
получим интеграл уравнения (1.18) в виде:
yCyCyshCychCyY
sincos
4321
. (1.24)
13
Постоянные интегрирования в этом уравнении определяются для каждого
частного случая из условия опирания вдоль сторон y=0 и y=b.
Рассмотрим пластину, нагруженные края которой закреплены
шарнирно. Один из ненагруженных краев закреплен шарнирно, а второй
свободен.
Приведем решение методом интегрирования дифференциального
уравнения изогнутой поверхности пластины.
Граничные условия:
0y
;
0w
;
0
y
M
22
22
0
ww
yx
; (1.25)
yb
;
0
y
M
2
22
0
ww
yx
; (1.26)
0
zy
H
Q
x
;
33
32
20
ww
y x y
.
Представим прогиб по формуле (1.17):
sin
m
w Y y x
a
,
а Y – по формуле (1.24):
yCyCyshCychCyY
sincos
4321
.
Определим производные:
x
a
m
yCyCyshCychC
y
w
sinsincos
2
4
2
3
2
2
2
1
2
2
;
x
a
m
yCyCyshCychC
a
m
x
w
sinsincos
4321
2
2
2
;
x
a
m
yCyCychCyshC
y
w
coscossin
3
4
3
3
3
2
3
1
3
3
;
x
a
m
yCyCychCyshC
a
m
yx
w
sincossin
4321
2
2
3
.
Условия (1.25) дают:
031 CC
;
0
31
2
2
2
3
2
1
CC
a
m
CC
.
Отсюда находим
31
СС
и
031 СС
.
Следовательно,
031 СС
.
14
Рассмотрим условия (1.26):
0sinsin
42
2
2
4
2
2
bCbshC
a
m
bCbshC
; (1.27)
0cos2cos
42
2
3
4
3
2
bCbchC
a
m
bCbchC
. (1.28)
Из условий (1.27) и (1.28) получим:
0sin
2
22
2
4
2
22
2
2
b
a
m
Cbsh
a
m
С
0cos22
22
2
4
22
2
2
b
a
m
a
m
Cbch
a
m
a
m
С
(1.29)
Для получения ненулевого решения (возможности выпучивания
пластины) необходимо определитель системы уравнений (1.29) приравнять
к нулю:
0
cos2
2
sin
22
2
22
2
2
22
2
2
22
2
b
a
m
a
m
bch
a
m
a
m
b
a
m
bsh
a
m
.
Раскрывая определитель, получим:
2 2 2
22
2 2 2
22
mπ mπ mπ
α - μ β + 2 - μ
a a a
tgβb
mπ mπ mπ α
α 2 + β + μ = 0.
a a a β thαb
(1.30)
Полученное уравнение можно упростить.
Для этого рассмотрим уравнения (1.23) и (1.19).
D
p
x
,
D
p
x
,
a
m
.
Отсюда
D
p
x
22
и
22
D
p
x
.
Подставив значения в выражения для
2
и
2
, получим:
22
2
a
m
D
p
a
m
и
22
2
a
m
a
m
D
p
. (1.31)
Найдем:
22222
22
2
a
m
a
m
a
m
D
p
a
m
D
p
a
m
.
15
Отсюда получим следующие равенства:
2
22
2
a
m
и
2
22
2
a
m
.
Подставим полученные равенства в выражение (1.30):
222
2
2
2
22
a
m
a
m
a
m
a
m
022
2
2
222
2
bth
btg
a
m
a
m
a
m
a
m
0
2
2
2
2
2
2
2
2
bth
btg
a
m
a
m
a
m
a
m
.
Окончательное условие, при котором становится возможным выпучивание
пластины, имеет следующий вид:
btg
a
m
bth
a
m
2
2
2
2
2
2
. (1.32)
Число m, входящее в это уравнение, обозначает, на сколько полуволн
подразделяется пластина при выпучивании. Меняя m, получаем различные
возможные формы равновесия и соответствующие им критические
значения сжимающего усилия pкр. Поскольку и содержат px (1.23),
уравнением (1.32) можно пользоваться для определения критического
значения px, если размеры пластины и упругие постоянные материала
известны.
Исследование этого уравнения показывает, что при любых значениях
a/b наименьшее значение критической нагрузки (pкр) получается при m=1,
т. е. когда в продольном направлении образуется только одна полуволна
(рис. 1.7).
Уравнение, определяющее возможность выпучивания в этом случае:
btg
a
bth
a
2
2
2
2
2
2
. (1.33)
Рис. 1.7
16
Величину соответствующей критической сжимающей нагрузки можно
определять по формуле (1.14):
2
2
кр
b
D
Kp
x
, а критическое напряжение,
соответственно, по формуле:
2
2
b
D
K
p
кр
x
кр
x
. (1.34)
Для рассматриваемого примера (крутильная форма потери
устойчивости при центральном сжатии – см. рис. 1.1):
la
;
2
3
112
E
D
;
12GE
;
h
,
и формула (1.34) принимает вид:
2
22
22
22
22
32
2
2
16112
12
112 b
K
b
G
K
b
E
K
b
D
K
кр
x
.
(1.35)
Значения коэффициента K (
25,0
) приведены в таблице 1.1.
Для длинных пластин
8/ bl
коэффициент K можно с достаточной
точностью определять по формуле:
2
2
456,0
l
b
K
, (1.36)
и формула (1.35) в этом случае принимает вид:
2
22
2
2
16
456,0
b
G
l
b
кр
x
. (1.37)
Второй член в скобках формулы (1.37) влияет на критическое напряжение
длины стержня. Для стержней значительной длины этим членом можно
пренебречь. Тогда получим:
2
2
1
75,0
b
G
кр
x
. (1.38)
Значение критического напряжения при
3,0
больше, чем вычисленное
выше, приблизительно на 7,1 %.
Таблица 1.1
b
l
0,5
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
K
4,40
3,65
2,15
1,44
1,135
0,952
0,835
b
l
1,8
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
8,0
K
0,755
0,698
0,61
0,564
0,516
0,506
0,47
17
Уравнение (1.4) справедливо также в случаях, когда С1 не равно нулю
и при несимметричных поперечных сечениях, если только ось стержня
остается прямой во время потери устойчивости. Для этого необходимо,
чтобы ось центров изгиба совпадала с осью центров тяжести подобно тому,
как это происходит в зетобразном сечении (рис. 1.8). Для этого
тонкостенного открытого профиля положение центра изгиба легко
определяется (точка А), поскольку очевидно положение точки,
относительно которой момент всех касательных сил, распределенных по
поперечному сечению, равен нулю.
Во всех таких случаях критическое сжимающее напряжение
получается из решения уравнения (1.4). Вводя обозначение
IEGIIk
k 10
2
/
, получаем решение в виде:
321
cossin AxAkxAkxA
. (1.39)
Рис. 1.8
Если концы сжатого стержня не могут поворачиваться, но свободны
для депланации, имеем следующие граничные условия:
0
при x=0 и x=l.
Отсюда следует:
0x
:
0
1 3 3 1
0A A A A
;
0
1
0A
3
0A
;
xl
:
0
2
sin 0k A kl
sin 0kl
kl n
/k n l
;
xl
:
0
2
sin 0A kl A l
2
00Al
2
0A
.
Подставляя вместо k его значение, получим:
→
2 2 2 2
σI GI
n π n π
0
k
= σI GI = E I
ω
01
k
22
EI
ω
1
ll
.
Наименьшее значение , удовлетворяющее этому условию, равно:
IE
l
GI
I
kкр 1
2
2
0
.
1
. (1.40)
18
Если концы стержня жестко защемлены и не могут депланировать, имеем
следующие граничные условия:
0
при x=0 и x=l.
Отсюда следует:
0x
:
0
13
0AA
31
AA
;
0
2
0kA A
2
0AA
;
xl
:
0
1 2 3
sin cos 0A kl A kl A l A
;
0
13
cos 0A kl A
1
cos 1 0 cos 1 0A kl kl
2 2 / 1,2,..kl n k n l n
;
xl
:
0
12
cos sin 0kA kl kA kl A
1
sin 0kA kl kl n
1,2,..n
.
Критическое сжимающее напряжение в этом случае составит:
22
кр 0
кр 1
22
10
4 1 4
k
k
I GI
GI E I
E I I
ll
(1.41)
Необходимо отметить, что решение (1.6), ранее полученное при
01
IE
, может быть также найдено из уравнения (1.4) при
01
IE
, если
только концы стержня могут свободно поворачиваться друг относительно
друга и, следовательно,
можно принять за постоянную величину. В этом
случае в общем решении (1.39) уравнения (1.4) полагаем, что A=A1=A3=0, а
xA
2
.
Для нахождения крутящего момента, вызывающего закручивание в
этом случае, необходимо разложить внешние сжимающие силы
ds
,
действующие на каждую продольную полосу и параллельные оси x, на две
составляющие: одну в направлении наклона волокон и другую (рис. 1.9)
параллельно плоскости yz.
Рис. 1.9
19
Горизонтальная составляющая внешних сжимающих сил,
действующая в плоскости yz, способствует появлению крутящего момента.
Обозначим через расстояние полосы от оси поворота. Тогда угол наклона
к оси x составит
, а горизонтальная составляющая сжимающей силы
ds
даст момент относительно оси x, равный
2
ds
. Суммируя эти
моменты и распространяя результат на все поперечное сечение, получим
0
IM
k
. Когда достигает своего критического значения (1.6), находим:
k
k
k
GII
I
GI
M
0
0
.
Этот крутящий момент достаточен, чтобы поддерживать скрученную
форму равновесия стержня.
20
2. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ СЖАТИИ
Рассмотрим общий случай потери устойчивости, когда при
центральном сжатии происходит не только закручивание, но и изгиб оси
сжатого стержня (рис. 2.1, а). Оси y, z – главные центральные, а y0, z0 –
координаты центра изгиба.
Рис. 2.1
Прогибы оси центров изгиба в направлениях y и z обозначим,
соответственно, через v
ц.и.
и w
ц.и.
, через – углы закручивания поперечных
сечений относительно оси центров изгиба. Тогда прогибы центральной
оси x при выпучивании (см. рис. 2.1, а) будут:
vvv
ц.и.ц.т.
;
www
ц.иц.т.
. (2.1)
Здесь
v
и
w
– смещения центра тяжести поперечного сечения стержня,
вызванные искривлением оси стержня. Выразим их через угол поворота
и расстояние r от полюса A/ до точки С/. Из рис. 2.1, б имеем:
CNPAСKv
/
.
Из треугольников
NCA
и
PCA
1
находим:
0
/
sin;sin yrCNrPA
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]