Основы теории автоматического регулирования. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Метод разработал В. В. Солодовников в 1948 году.

Метод трапеций дает приближенный результат для скачкообразного воздействия. При таком воздействии x(t) является переходной характеристикой.

Показано, что

где W ′(ω) – вещественная составляющая амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления; W ′′(ω) – мнимая составляющая амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления; W ′(0) соответствует установившемуся значению переходной характеристики h(∞).

Обычно используют (6.29), т. е. построение кривой переходного процесса ведут по вещественной составляющей амплитудно-фазо- войчастотнойхарактеристикисистемыавтоматическогоуправления.

Вобщемслучаеамплитудно-фазоваячастотнаяхарактеристика системы автоматического управления имеет такой вид, как представлено на рис. 6.45.

Используя эту характеристику, можно получить зависимость изменения вещественной составляющей амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления

(рис. 6.46).

Всоответствии с методом Солодовни- W ′′(ω)

81

1проксимирующейлиниинатрапециисуче-

ставляющая определяется выражением (6.29); 4) определить характеристики фактических трапеций, полу-

ченных в результате декомпозиции ломаной линии, аппроксимирующей вещественную составляющую амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления. Построениеотдельныхсоставляющихпереходнойхарактеристики осуществляется по предварительно подготовленным таблицам переходных характеристик, рассчитанным для нормированных трапеций.Нормированныетрапецииимеютвысоту,равнуюединице, и частоту ω0, при которой пересекают ось абсцисс, тоже равную

82

единице. Помимо этих показателей нормированная трапеция характеризуется параметром

χ= ωd , ω0

который может варьироваться от единицы до нуля, что позволяет описатьчастныевидытрапецийидопускаетихиспользованиедля декомпозиции ломаной аппроксимирующей линии. Например, при χ = 1 нормированная трапеция по форме соответствует прямоугольнику, а при χ = 0 – треугольнику.

Таким образом, для каждой трапеции фиксируются три параметра:

– высота трапецииWi′(0);

– частота ω0i, при которой трапеция принимает нулевое значение;

– величина χi = ωdi .

ω0i

В рассматриваемом примере имеем три набора параметров для трапеций, полученных в результате декомпозиции аппроксимирующей ломаной линии: {W1′(0), ω01, χ1}; {W2′(0), ω0 2, χ2};

{W3′(0), ω03, χ3};

5) построить переходные характеристики hi(t) для каждой трапеции. Для этого используются таблицы h-функций для нормированной трапецеидальной действительной частотной функции, которые можно найти во многих изданиях, посвященных теории автоматического регулирования, в разделе «Приложения». Приведем фрагмент такой таблицы (табл. 6.1).

83

Вбоковике таблицы показаны моменты синхронного времени

τ=ω0it , для которых вычислены значения переходной характери-

стикинормированныхтрапеций.Вграфахтаблицыпредставлены значения интегралов нормированных трапеций (6.29) для параметра χ.

Координаты каждой точки переходной характеристики hi(t) получают следующим образом:

– выбирается момент синхронного времени и рассчитывается

соответствующийемумомент времени tn = τn ,которыйотклады-

ω0i

вается по оси абсцисс;

–напересечениистрокисτn исоответствующейграфытабл.6.1

спараметром χi фиксируется значение Z (τn,χi ) и рассчитывается

координата по оси ординат: hi(tn)= Z (τn,χi )Wi′(0).

Таким образом, переходные характеристики имеют такой вид, как представлено на рис. 6.49;

6) получить результирующую переходную характеристику h(t). Послепостроениявсеххарактеристикhi(t) результирующуюпереходную характеристику h(t) получают в результате суперпозиции значений hi(t) на одни общие моменты времени.

Процесс построения результирующей переходной характеристикиh(t) длярассматриваемогопримерапредставленнарис.6.50.

84