Основы теории автоматического регулирования. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

2) устанавливается период колебаний и рассчитывается частота колебаний в размерности рад/с:

Величина (6.24) соответствует мнимой составляющей пары комплексно-сопряженных корней;

3) выделяются два первых превышения ∆x1 и ∆x2 переходной характеристики установившегося значения и определяется значение вещественной составляющей пары комплексно-сопряженных корней:

∆x2 =eαT ;

∆x1

ln ∆x2 =αT;

∆x1

α = 1 ln ∆x2 . (6.25)

T ∆x1

4) используя выражения для вещественной (6.25) и мнимой

(6.24) составляющих комплексно-сопряженных корней

получают систему уравнений

решениекоторойпозволяетопределитьдваоставшихсяпараметра звена:

a0 = α2 1+β2 , a1 = α−2 2+βα 2 ;

5)определяетсяамплитудно-фазоваячастотнаяхарактеристика:

61

При изменении частоты от ω = 0 до ω = ∞ годограф АФЧХ колебательного звена будет иметь вид, как представлено на рис. 6.15; 6)определяетсяамплитуднаячастотнаяхарактеристика(рис.6.16):

62

С увеличением частоты входного гармонического сигнала наблюдаетсяповышениефазовогосдвига,значениекоторогоустремляется к ϕ= −π.

Частным случаем колебательного звена является консервативное звено, которое имеет передаточную функцию вида

W(p)= a0 pk2 +1.

6.3.4. Идеальное интегрирующее звено

Рассмотрим функции и характеристики идеального интегрирующего звена.

1.Уравнение звена:T dxdt = f (t).

2.Передаточная функция:W(p)=Tp1 = kp.

3.Весовая функция:

w(t)= L−1{W(p)}= L−1 k 1p = k1(t).

63

t

4. Переходная характеристика (рис. 6.18): h(t)= ∫w(τ)dτ= kt.

0

5.Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 6.19):

W(jω)= jkω = jkω −− jjωω = − j ωk =W ′(ω)+ jW ′′(ω).

6.Амплитудная частотная характеристика (рис. 6.20):

A(ω)= W ′2 +W ′′2 = ωk .

Видно, что с увеличением частоты входного гармонического сигнала имеет место снижение амплитуды выходного сигнала.

ω = ∞

64

7. Фазовая частотная характеристика (рис. 6.21):

Из анализа фазовой частотной характеристики идеального интегрирующего звена следует, что в результате прохождения через

звено гармонический сигнал получает фазовый сдвиг ϕ= − π2 неза-

висимо от частоты.

6.3.5. Идеальное дифференцирующее звено

Рассмотрим функции и характеристики идеального дифференцирующего звена.

1.Уравнение звена: x = k dfdt .

2.Передаточная функция:W(p)= kp.

3.Весовая функция:

65

π

2

Из анализа фазовой частотной характеристики идеального дифференцирующего звена следует, что в результате прохождения через это звено гармонический сигнал получает фазовый сдвиг

ϕ= π2 независимо от частоты.

6.4.Эквивалентные преобразования структурных алгоритмических схем

Теоретическое исследование свойств системы автоматического управления предполагает получение передаточной функции, которая эквивалентирует исходную структурную алгоритмическую схему системы относительно заданной пары входной сигнал – выходной сигнал.

Рассмотрим эквивалентные преобразования типовых фрагментовструктурныхалгоритмическихсхемсистемавтоматического управления, а также эквивалентные структуры, использование которых может быть полезно при получении эквивалентной передаточной функции системы. Подтверждением эквивалентности

66

таких структур является совпадение передаточных функций относительно граничных сечений.

Рассмотрим более подробно эквивалентные преобразования структурных алгоритмических схем.

1. Эквивалентирование последовательной цепочки звеньев

(рис. 6.25):

X1(p)=W1(p)F1(p),

X2 (p)=W2 (p)F2 (p); F2(p)= X1(p);

X2(p)=W2(p)W1(p)F1(p).

Окончательно получим Wэ (p)=W1(p)W2(p).

2. Эквивалентирование параллельных звеньев (рис. 6.26):

X1(p)=W1(p)F(p),

X2 (p)=W2 (p)F(p);

X(p)= ±X1(p)± X2(p)=±W1(p)F(p)±W2(p)F(p)=

=[±W1(p)±W2(p)]F(p).

Окончательно получим Wэ (p)= ±W1(p)±W2(p).

3. Эквивалентирование звена, охваченного обратной связью

(рис. 6.27):

Xо.с (p)=Wо.с (p)X(p);

Рис. 6.25. Последовательная цепочка звеньев

X2(p) X2(p)

Рис. 6.26. Параллельные звенья

67

Рис. 6.29. Замена звеньев прямой и обратной цепей

X(p)=W(p)[F(p)±Xо.с (p)]=W(p)[F(p)±Wо.с (p)X(p)];

4.Перестановка звеньев (рис. 6.28).

5.Замена звеньев прямой и обратной цепей (рис. 6.29). Преобразование справедливо только для отрицательной обратной связи.

6.Переход к единичной обратной связи (рис. 6.30). Вводится

7.Перенос сумматора с выхода на вход (рис. 6.31).

8.Перенос сумматора с входа на выход (рис. 6.32).

9.Перегруппировка сигналов соседних сумматоров (рис. 6.33):

X(p)= X1(p)− X2(p)+ X3(p)+ X4(p)+ X5(p);

X(p)= X1(p)+ X4(p)+ X3(p)− X2(p)+ X5(p).

68

10.Перенос узла с выхода на вход (рис. 6.34).

11.Перенос узла с входа на выход (рис. 6.35).

Пример 6.3. Провести эквивалентные преобразования структурной алгоритмической схемы системы автоматического управления(рис.6.36)относительноизображенийвходногосигнала F(p) и выходного сигнала X(p).

W2

Рис. 6.30. Переход к единичной обратной связи

F2(p)

1/W1

F2(p)

Рис. 6.31. Перенос сумматора с выхода звена на его вход

Рис. 6.32. Перенос сумматора с входа звена на его выход

Рис. 6.33. Перегруппировка сигналов соседних сумматоров

69

Рис. 6.36. Исходная структурная алгоритмическая схема системы автоматического управления:

1, 2 – сумматоры

70