Основы теории автоматического регулирования. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

6.2. Функции и характеристики

Рассмотрим функции и характеристики теоретического анализа систем автоматического управления для трех пространств:

–физического;

–операторного пространства Лапласа;

–частотного.

Под физическим пространством будем понимать временное пространство. Основные положения операторного пространства Лапласа рассмотрены в разделе 6.1. Частотным пространством будем считать пространство анализа установившихся режимов при гармоническом воздействии заданной частоты.

6.2.1. Физическое пространство

Переходная характеристика. Это реакция звена, вызванная подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия 1(t) (рис. 6.2). Переходную характеристику обозначают h(t).

Весовая функция, или импульсная переходная характеристика.

Весовая функция представляет собой реакцию звена на единичный импульс δ(t )(рис. 6.3). Весовую функцию обозначают w(t).

Поскольку δ(t )=1′(t ), то w(t)= h′(t). Отсюда следует, что

41

начальныеусловиянулевые.Этоозначает,чтоеслиполученыизображениявыходногоивходногосигналов x(t) X (p)и f, (t) F (p)

то для производных входного и выходного сигналов будем иметь

dxdt pX (p), dfdt pF (p),

(6.1)

После подстановки выражений (6.1) в исходное дифференциальное уравнение описания звена получим описание звена в операторном пространстве:

Из слагаемых левой части уравнения (6.2) вынесем изображение выходного сигнала, а из слагаемых правой части – изображение входного сигнала. Содержимое круглых скобок обозначим полиномами R(p) и V(p):

(a pn +a1pn−1 + +an )X(p)=(b0 pm +b1pm−1 + +bm )F (p),

0

гдеR(p)–полиномприизображенииреакции;V(p)–полиномпри изображении воздействия.

В итоге

R(p)X(p)=V(p)F(p). (6.3)

Передаточной функцией звена называется отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала:

Введенная для операторного пространства характеристика звена названа так потому, что по известному изображению входного сигнала позволяет получить изображение выходного сигнала:

X (p)=W (p)F (p). (6.5)

42

Из уравнений (6.4) и (6.3) следует, что

То, что передаточная функция, наряду с определением, может быть представлена и в виде отношения полиномов V(p) и R(p), является обоснованием совпадения внешнего вида передаточной функции и сокращенной формы записи дифференциального звена, поскольку в соответствии с (5.5) сокращенная форма записи дифференциального полинома определяется как отношение совпадающих по внешнему виду полиномов V(p) и R(p).

Установим связь между передаточной функцией и характеристиками физического пространства.

Будем считать, что на вход звена в физическом пространстве подается δ-функция. С одной стороны, как отмечалось в подразделе 6.2.1, выходным сигналом звена является весовая функция w(t).Сдругойстороны,δ(t ) 1,ивсоответствиис(6.5)X (p)=W (p).

Это означает, что весовая функция – оригинал передаточной функции или передаточная функция есть изображение весовой функции.

6.2.3.Частотное пространство

Ив теории цепей, и в теории автоматического регулирования широко используется пространство установившихся режимов при гармоническом воздействии заданной частоты. Это пространство логично было бы назвать гармоническим, однако его характеристики называют частотными. Поэтому пространство установившихся режимов при гармоническом воздействии заданной частоты будем называть частотным.

Общейчастотнойхарактеристикойявляетсяамплитудно-фазо- вая частотная характеристика звена. Известно, что при наличии

всистеме автоматического управления гармонического воздействия известной частоты в установившемся режиме все переменные имеют вынужденные колебания этой же частоты со своими амплитудой и фазовым сдвигом по отношению к источнику

43

гармонического сигнала. Таким образом, вводя определение ам- плитудно-фазовой частотной характеристики звена, надо обеспечить сохранение такой информации.

Дляопределенияамплитудно-фазовойчастотнойхарактеристи- ки звена исходное дифференциальное уравнение описания звена

следует перевести в частотное пространство.

Будемисходитьизтого,чтонавходзвенапоступаетгармоническоевоздействие f (t )= fm sin (ωt +ψf )(ψf =0)иизображениегар-

монического воздействия на входе звена имеет вид f (t) fmejωt. В установившемся режиме на выходе звена наблюдается гармонический сигнал x (t )= xm sin (ωt +ϕ), а его изображение имеет вид

x(t) xmej(ωt+ϕ).

Поскольку исходное дифференциальное уравнение описания звена содержит слагаемые с производными входного и выходного сигналов, то соответствующие им изображения будут такими:

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение описаниязвенаизображениявходногоивыходногосигналов,атакжеих

Изкаждогослагаемоголевойчастиуравнения(6.7)вынесемсо-

44

Содержимое квадратных скобок левой части уравнения (6.8) обозначим R(jω), а правой части – V(jω): R( jω)xmej(ωt+ϕ) =

=V ( jω) fmejωt.

Амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) называют отношение

Покажем, что данное определение АФЧХ позволяет получить необходимуюинформациюобамплитудеифазовомсдвигевыходного сигнала. Действительно, из (6.9) следует

Видно, что амплитудно-фазовая частотная характеристика содержит информацию об изменении амплитуды и фазовом сдвиге в результате прохождения сигнала через звено.

При определенном заданном значении частоты амплитуднофазовая частотная характеристика, по сути, является комплексным числом:

W ( jω)= Amejϕ = Am cosϕ+ jAm sinϕ=W ′(ω)+ jW ′′(ω). (6.10)

Поскольку в выражении для передаточной функции (6.6) и в выражении для амплитудно-фазовой частотной характеристики (6.10) участвуют одни и те же полиномы, то это означает, что способом получения аналитического выражения для АФЧХ будет использование аналитического выражения для передаточной функции: необходимо провести замену оператора p на jω и привести комплексное число к каноническому виду.

Пример 6.2. Пустьзаданоаналитическоевыражениепередаточной функции звена

W (p)=TpK+1.

45

Рис. 6.4. Годограф амплитуднофазовой частотной характеристики

Требуется найти аналитическое выражение для АФЧХ звена:

Поскольку при определенном значении частоты амплитуднофазовая частотная характеристика, по сути, является комплексным числом, то можно предложить графическую интерпретацию АФЧХ. Если частоту монотонно изменять от значения ω = 0 до значения ω = ∞, каждую полученную точку наносить на комплексную плоскость и затем их последовательно соединить, то получим годограф АФЧХ (рис. 6.4).

Помимо амплитудно-фазовой частотной характеристики выделяют амплитудную частотную характеристику А(ω) и фазовую частотную характеристику ϕ(ω):

Первая характеристика (6.11) показывает, как изменяется ам- плитудасигнала,проходящегочереззвено,вторая–какизменяет- сяфазовыйсдвиг.Обехарактеристикиимеютграфическуюинтерпретацию в функции от частоты.

46

6.3.Элементарные типовые звенья

6.3.1.Пропорциональное звено

Рассмотрим функции и характеристики пропорционального звена.

1.Уравнение звена: x(t)= kf(t).

2.Передаточная функция звена: W(p)= k.

3.Весовая функция: w(t). Поскольку весовая функция является оригиналом передаточной функции, то, представляя передаточную функцию в виде W(p)= k = k 1 и используя свойство линейности преобразования Лапласа, для весовой функции получим выражение w(t)= kδ(t).

АФЧХпропорциональногозвена–этоточканавещественнойпо- ложительной полуоси комплексной плоскости.

6. Амплитудная частотная характеристика (АЧХ):

A(ω)= W ′2 (ω)+W ′′2 (ω) = k. В процессе прохождения через звено гармонический сигнал любой частоты изменяет амплитуду в k раз.

47

1.Уравнение звена:T dxdt + x = kf(t).

2.Передаточная функция звена:W(p)=Tpk+1.

3.Весовая функция звена:

Получим весовую функцию, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение звена, которое получают в результате приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции D(λ)=Tλ+1=0, имеет единственный вещественный корень

λ = −T1 .

Определим постоянный коэффициент

C1 = HG(′(λλ)) =Tk .

Имеем

k

W (p)= pT+λ w(t)=Tk eλt =Tk e−T1t .

Видно, что единственный вещественный корень характеристического уравнения определяет экспоненциальную составляющую

48

Переходная характеристика может быть получена в процессе проведения эксперимента. Такая характеристика может использоваться при определении типа звена и его параметров.

Параметрами инерционного звена пер- t вогопорядкаявляютсякоэффициентпере-

дачи k и постоянная времени Т.

Если экспериментальная переходная характеристика соответствует переходной характеристикеинерционногозвена,тоопре-

деление параметров звена осуществляется следующим образом:

1)определяют установившееся значение переходной характеристики. Это значение – коэффициент передачи k;

2)на переменной части переходной характеристики регистрируют ее значение h* и момент времени t*. Далее с использованием аналитического описания переходной характеристики инерционного звена определяют его постоянную времени:

49

Приизменениичастотыотω = 0 до ω = ∞годографАФЧХбудет иметь такой вид, как представлено на рис. 6.8.

6. Амплитудная частотная характеристика звена (рис. 6.9):

С увеличением частоты входного гармонического сигнала имеет место уменьшение амплитуды выходного сигнала.

7.Фазовая частотная характеристика звена (рис. 6.10):

−kωT

1+ω2T 2

С увеличением частоты входного гармонического сигнала имеет место появление фазового сдвига, приближающегося кϕ= − π2 .

6.3.3. Колебательное звено

Рассмотрим функции и характеристики колебательного звена.

1. Уравнение звена: a0 d22x +a1 dx + x = kf(t). dt dt

50