Основы теории автоматического регулирования. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

может иметь либо два вещественных корня, либо пару комплекс- но-сопряженных корней:

λ1,2 = −a1 ±2a12 −4a0 .

a0

Исследуем свойства звена для двух вещественных корней. Эта ситуация будет иметь место, если a12 −4a0 >0.

Получим временные характеристики инерционного звена: весовую функцию и переходную характеристику.

Изначально имеем передаточную функцию, представленную в виде отношения двух полиномов:

Поскольку весовая функция является оригиналом передаточной функции, то для ее получения, используя теорему разложения, преобразуем передаточную функцию:

где λк – корни характеристического уравнения. Получим

H (λ)=a0λ2 +a1λ+1=0;

Cк = G′((λλк ));

H к

G(λк )= k;

H ′(λк )= 2a0λк +a1;

Cк = 2a0λkк +a1 .

51

Для двух вещественных корней λ1 и λ 2 характеристического уравнения имеем

С учетом линейности преобразования Лапласа и соответствия оригиналов и изображений функций (см. с. 38) весовая функция будет иметь вид

Видно, что каждый вещественный корень характеристического уравнения порождает свою экспоненциальную составляющую движения весовой функции, поэтому звено называется инерцион-

ным звеном второго порядка.

Проведем дополнительные преобразования весовой функции, исключая из выражения (6.12) коэффициенты характеристического уравнения.

Разделимичислительизнаменателькаждогокоэффициентанаа0:

Длявещественныхкорнейхарактеристическогоуравнениявторого порядка имеем

52

Поскольку произведение аналитических выражений для вещественных корней характеристического уравнения второго порядка можно представить в виде произведения двух сомножителей ссуммойиразностьюсовпадающихсоставляющих,тобудемиметь

С учетом равенств (6.13) весовая функция примет вид

Из выражения (6.14) следует, что весовую функцию определяют двеэкспоненциальныесоставляющиедвижениясравнымипозначению и с противоположными знаками начальными величинами.

Весовая функция звена представлена на рис. 6.11.

Получим переходную характеристику инерционного звена второго порядка:

53

В отличие от переходной характеристики инерционного звена первого порядка в характеристике (6.15) наблюдаются две экспоненциальные составляющие. При этом установившееся значение переходной характеристики, так же как и для инерционного звена первого порядка, равно коэффициенту передачи.

Переходная характеристика звена представлена на рис. 6.12. Обратная задача определения параметров инерционного звена второго порядка решается аналогично тому, как она решалась для инерционного звена первого порядка, но с выбором двух точек на

переменной части переходной характеристики.

Издальнейшегоматериалабудетпонятно,чтопосколькуинерционноезвеновторогопорядкапредставляетсобойкомбинациюинерционных звеньев первого порядка, то оно не является элементарным, поэтому остальные характеристики рассматривать не будем.

Исследуем ситуацию, при которой существует пара комплекс- но-сопряженных корней характеристического уравнения звена. Такая ситуация будет иметь место, если a12 −4a0 <0.

54

3. Весовая функция. Поскольку весовая функция является оригиналом передаточной функции, то получим оригинал передаточной функции

при наличии пары комплексно-сопряженных корней λ1,2 =α± jβ

еехарактеристического уравнения. Представим передаточную функцию в виде

Из анализа выражения (6.16) следует, что весовая функция представляет собой синусоиду с частотой β и переменной во вре-

мени амплитудой k eαt. a0β

55

Графики изменения весовой функции представлены на рис. 6.13. В первом случае (см. рис. 6.13, а) имеем расходящийся колебательный процесс, во втором (см. рис. 6.13, б) – затухающий. Отсюда делаем важнейший вывод: пара комплексно-сопряжен- ных корней порождает колебательную составляющую движения. Мнимая составляющая пары комплексно-сопряженных корней определяет частоту колебательной составляющей, вещественная составляющая – характер изменения амплитуды. Поэтому при наличии пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения звено с рассматриваемой передаточной функцией называется колебательным.

Продолжим преобразование выражения для весовой функции колебательного звена, исключая коэффициент характеристическогоуравненияа0.Сэтойцельюнайдемпроизведениепарыкомп- лексно-сопряженных корней характеристического уравнения:

Подставляяв(6.17)выражениядлявещественнойимнимойчастей пары комплексно-сопряженных корней, получим

Для весовой функции колебательного звена окончательно по-

лучим

w(t)= βk (α2 +β2 )eαt sin(β t).

Рис. 6.13. Весовые функции колебательного звена:

а – при α > 0; б – при α < 0

56

4. Переходная характеристика:

=(α2 +β2 )∫eατ sin(β τ)dτ. (6.18)

β0

Всостав выражения для переходной характеристики (6.18) вхо-

дит интеграл от произведения двух функций от аргумента τ. Для его поиска выполним интегрирование по частям:t

Еще раз проведем интегрирование по частям, вводя обозначе-

57

Применив двукратное интегрирование по частям для отыскания интеграла

получили выражение (6.19), которое содержит искомый интеграл. Перенося слагаемое (6.20) в левую часть (6.19), имеем