Основы теории автоматического регулирования. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

для каждой переменной состояния, позволяющее рассчитать мгновенное значение переменной для любого заданного момента времени.

Для каждой переменной состояния аналитическое решение может быть представлено в виде суммы двух составляющих:

xk(t)= xk∞ + xkпер ,где xk∞–частноерешениедляk-йпеременнойсо- стояниянеоднороднойсистемыуравнений(5.23); xkпер –общеере-

шениелинейнойоднороднойсистемы pX =AX.Другимисловами, xk∞ –этоустановившеесязначениеk-йпеременнойсостоянияпри

заданной форме воздействия (постоянное воздействие, гармоническое воздействие и др.); xkпер – переходная составляющая k-й

переменной состояния.

При определении составляющей xk∞ используются соответству-

ющие методы. Для расчета установившегося режима электрической схемы замещения при постоянном воздействии применяют, например, метод преобразования схемы к виду без реактивных элементов, при гармонической форме воздействия – символический (комплексный) метод.

Переходная составляющая k-й переменной состояния может

эффициенты, определяемые из начальных условий; λi – корни характеристического уравнения det(A −λE)=0, где Е – единичная матрица порядка n.

Пример5.1. Длясхемы,приведеннойнарис.5.3,получитьописание процессов относительно переменных состояния и аналити-

31

Для использования методики формального получения описания относительно переменных состояния обеспечим единичное значение коэффициента в слагаемом со старшей степенью производной выходного сигнала:

Для уравнения (5.26) получим матричную форму pX =AX +BF – математическое описание процесса относительно переменных состояния – и определим элементы этой формы:

Окончательно описание процессов относительно переменных состояния получим в виде

Найдем аналитическое решение для переменных состояния

х1 и х2.

Характеристическое уравнение

32

и два корня:

Таким образом, для переменных состояния аналитическое решение может быть записано в виде

Чтобы найти установившиеся решения x1∞ и x2∞, надо понять, каким физическим переменным расчетной схемы соответствуют переменные состояния х1 и х2.

Продолжим преобразование уравнения (5.26), как это было сделано в разделе 5.2:

Видно, что x1 = xвых =uC ; x2 = dudtC + RL uC . Поскольку для рассматриваемой схемы

dudtC = C1 iC = C1 iL,

имеем

x2 = C1 iL + RL uC .

Следует обратить внимание на то, что переменная состояния x1 соответствует напряжению на конденсаторе, апеременная состояния x2 является линейной комбинацией тока индуктивной ветви

инапряжения емкостной ветви.

Врассматриваемойсхемедляе = Е = constбудемиметь uC∞ = E,

iL∞ =0, поэтому

33

x1∞ =E,

x = R E.

2∞ L

Таким образом, для аналитического решения имеем

x1 (t )= E +C11eλ1t +C12eλ2t ,

x2 (t )= RL E +C21eλ1t +C22eλ2t .

Для определения постоянных коэффициентов используют начальные условия.

+RL uC (0)=0.

Витоге имеем четыре неизвестных коэффициента и систему только из двух уравнений:

0= E +C11 +C12,

0 = R E +C21 +C22.

L

Продолжим получение уравнений, число которых будет достаточно для определения постоянных коэффициентов аналитического решения для переменных состояния. Продифференцируем

34

или для заданных начальных условий

dxdt1 |t =0 =0,

dx2 1

dt |t =0 = LC E,

и система уравнений (5.29) примет вид

Окончательносистемауравненийдляопределенияпостоянных коэффициентов приобретает вид

После решения системы уравнений (5.30) и определения четырех постоянных коэффициентов поставленная задача получения аналитических выражений для переменных состояния заданной расчетной схемы будет решена и иметь вид

x1 (t)= E +C11eλ1t +C12eλ2t ,

x2 (t )= RL E +C21eλ1t +C22eλ2t .

Рассмотрение примера показало высокую трудоемкость получения аналитического решения даже для элементарной задачи. Необходимо искать способ снижения этой трудоемкости.

35

6. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

6.1.Основные свойства операторного пространства Лапласа

Вглаве5былопоказано,чтопроведениетеоретическогоанализа в физическом пространстве является трудоемкой задачей. Один из способов снижения трудоемкости задачи теоретического анализа систем автоматического управления – использование операторного пространства Лапласа. Напомним основные свойства этого пространства.

Каждой функции физического пространства f(t) в операторном пространстве ставится в соответствие ее изображение F(p) в функции комплексной переменной p =c+ jω: f (t )= F (p). Для получе-

ния изображения функции F(p) используют прямое преобразова-

∞

ние Лапласа L{f (t)}= F (p)= ∫ f (t)e−ptdt.

0

Далее анализ проводят для изображений функций.

Для получения по изображению функции F(p) ее оригинала f(t) используют обратное преобразование Лапласа

1 c+ j∞

L−1{F (p)}= f (t)= 2πj c−∫j∞ F (p)eptdp.

Линейность преобразований Лапласа. Одним из важнейших свойств операторного пространства является линейность прямого и обратного преобразований Лапласа: если в физическом пространстве некоторая функция F(t) представлена в виде линейной комбинации более простых функций F (t)= ∑ak fk (t), то изобра-

k

жение этой функции может быть представлено в виде той же линейной комбинации изображений простых функций:

L{F (t)}= ∑akFk (p).

k

Справедливо и обратное утверждение: если изображение некоторой функции в операторном пространстве F(p) представлено в виде линейной комбинации изображений более простых функций

36

F(p)= ∑akFk (p),тооригиналэтойфункцииможетбытьпредстав-

k

лен в виде той же линейной комбинации оригиналов простых

функций: L−1{F (p)}= ∑ak fk (t).

k

Свойство линейности преобразований Лапласа имеет очень большое практическое значение, поскольку позволяет рассмотреть набор элементарных функций, для которых можно предварительно получить их изображения и тем самым упростить переход из физического пространства в операторное и обратно.

Набор элементарных функций

Единичное ступенчатое воздействие. Единичное ступенчатое воздействие обозначается символом 1(t).

Уравнения, описывающие сигнал:

0, если t <0,

1(t)=

1, если t ≥0.

График изменения сигнала представлен на рис. 6.1. Изображение единичного ступенчатого воздействия задается

выражением

1(t) = 1p .

Единичный импульс, или импульсная функция. Единичный им-

пульс обозначается символом δ(t).

37

Очевидно, что единичный импульс является производной единичного ступенчатого воздействия: δ(t)=1′(t).

Пример 6.1. Получить изображения элементарных функций:

1)f(t)= A:

Этот же результат можно было получить без использования прямого преобразования Лапласа, опираясь на его свойство линейности. Представим исходную функцию F(t) в виде f(t)= A 1(t).

Некоторые функции и их изображения в операторном пространстве Лапласа:

38

Если изображение функции Y(p) в операторном пространстве Лапласа задается в виде отношения полиномов

Y (p)= HG((pp)),

то для представления изображения в виде изображений элементарных функций может быть использована теорема разложения

где λk – корни характеристического уравнения H(p) = 0; Ck – постоянные коэффициенты,

Ck = G′((λλk )).

H k

В этом случае для получения оригинала не требуется использования обратного преобразования Лапласа:

Изображение производной заданной функции. Пусть задана не-

которая функция f(t) и для нее получено изображение f(t) = F(p). Требуется найти изображение производной функции f(t).

Получим изображение производной функции, используя прямое преобразование Лапласа и интегрирование по частям:

F(p)

=− f (0)+ pF (p),

где f(0) – начальное значение функции.

Принулевыхначальныхусловиях,когда f(0)=0,получаемизображение для производной функции

dfdt = pF (p).

39

Аналогично для производной n-го порядка изображение будет иметь вид

dnnf = pnF (p). dt

Изображение интеграла заданной функции. Пусть задана некото-

раяфункция f(t)и для нееполученоизображение f(t) = F(p). Требуется найти изображение для интеграла от исходной функции.

Используя прямое преобразование Лапласа и интегрирование по частям для нулевых начальных условий, получим

∫ f (t )dt = 1p F (p).

Для последовательного многократного интегрирования

Сведение в операторном пространстве Лапласа дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим уравнениям широко используется в теории электрических цепей, поскольку, применяя алгебраические уравнения, можно значительно облегчить процесс преобразования математического описания в заданной расчетной схеме.

Изображение свертки двух функций. Пусть заданы две функции f1(t) и f2(t), определенные на интервале −∞ <t <∞, известны их изо-

бражения:F1(p)иF2(p).Сверткойдвухфункцийf1(t)иf2(t)называют

t

третью функцию f(t): f (t)= ∫ f1(τ)f2(t −τ)dτ.

0

Поскольку свертка f (t)= f1(t)f2(t) обладает свойством комму-

= F2(p)F1(p).

40