Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории автоматического регулирования. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

829 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Из условия n > m следует a0′ =a0, a1′ =a1 и т. д., а первые коэффи-

циенты b0′, b1′,..., bn′−m равны нулю.

Перенесем все слагаемые (5.7) в левую часть и объединим их с одинаковой степенью оператора p: (a0′x −b0′ f )pn +(a1′x −b1′f )pn−1 +

+ +(an′−1x −bn′−1 f )p+(an′ x −bn′ f )= 0.

Вынесем оператор p из первых n слагаемых:

p (a0′x −b0′ f )pn−1 +(a1′x −b1′f )pn−2 + +(an′−1x −bn′−1 f ) + +(an′ x −bn′ f )=0.

Вынесем оператор р из слагаемых, объединенных в квадратные скобки:

p p (a0′x −b0′ f )pn−2 +(a1′x −b1′f )pn−3 + +(an′−2x −bn′−2 f ) + +an′−1x −bn′−1 f +(an′ x −bn′ f )=0.

Продолжим эти действия, пока будет возможность выносить оператор p:

p p ...p[a0′x −b0′ f ]+(a1′x −b1′f ) +(a2′x −b2′ f ) + ... +(an′ x −bn′ f )=0. (5.8)

Содержание самых внутренних квадратных скобок обозначим

переменной x1: x1 =a0′x −b0′ f .

Содержание предыдущих квадратных скобок обозначим пере-

менной x

: x

= px +(a′x −b′f ).

Продолжая вводить обозначения, получим систему

x1 =a0′x −b0′ f ,

= px

(a′x −b′f ),

= px

(a′x −b′ f )

(5.9)

.........................................

= px

+(a′

−b′

f ).

n−1

Исходное уравнение (5.7) примет вид

pxn +(an′ x −bn′

f )=0.

(5.10)

Переменные x1, x2, …, xn называются переменными состояния. Начиная со второго уравнения, преобразуем систему (5.9)

= x

−(a′x −b′f ),

= x

−(a′x

−b′ f ),

= x

−(a′x

−b′ f ),

(5.11)

........................................

= x

−(a′

−b′

f )

n−1

и уравнение (5.10):

= −(a′ x −b′

f ).

(5.12)

Установим, какая переменная состояния определяет выходной сигнал звена. Из первого уравнения системы (5.9) следует

x =	x1 +b0′ f	.	(5.13)
	a0′

Посколькуa0′ =a0 =1и при n > m b0′ =0, то х =x1, т. е. в принятой системе введения переменных состояния выходной сигнал соот-

ветствует первой переменной состояния.

Используя уравнение (5.13), исключим переменную x из (5.11)

и (5.12):

= x

−(a′x

−b′f ),

= x

−(a′x

−b′ f ),

2 1

= x

−(a′x

−b′ f ),

(5.14)

..........................................

−(a′

f ),

n−1

= x

−b′

n−1 1

n−1

= −(a′ x

−b′ f ).

n 1

В правой части каждого уравнения системы (5.14) первым разместим слагаемое, содержащее переменную состояния x1:

px1 = −a1′x1 + x2 +b1′f,

px2 = −a2′x1 + x3 +b2′ f,

px3 = −a3′x1 + x4 +b3′ f,

..........................................

pxn−1 = −an′−1x1 + xn +bn′−1 f,pxn = −an′ x1 +bn′ f.

Систему (5.15) можно представить в pX = AX + BF, где

(5.15)

матричном виде:

x				px					b′
	1					1			1
X = x2		; pX =		px2			; B=		b2′	; F =[f ];

...				...					...
x	n			px					b′
	n					n			n
			−a′		1		0	0	0		0
			1		0		1 0 0				0
			−a2′		0		1 0 0				0
			−a′		0		0	1	0		0
A =			3		... ... ...				...		0	.
		...			... ... ...				...		0
			−an′−1		0		0 0 0				1
			−an′−1		0		0 0 0				1
			−a′		0		0	0	0		0
			n

Получение элементов матричного описания звена не вызывает затруднений, поскольку они имеют понятную структуру.

РассмотримболееподробноструктуруматрицыА.Этоквадратнаяматрицапорядкаn.Первыйстолбецматрицыобразованкоэффициентами a1′, a2′,..., an′ уравнения (5.7) со знаками «минус». Над своей главной диагональю матрица имеет диагональ из единиц. Матрица такого вида называется матрицей Фробениуса.

Вектор-столбец В содержит коэффициенты b1′, b2′,..., bn′ уравне-

ния (5.7).

5.3.Формирование математического описания процессов

Вкачестве примера рассмотрим формирование математического описания процесса в системе автоматического управления (рис. 5.1). Структурная алгоритмическая схема состоит из двух звеньев с последовательным прохождением сигнала.

Пустьзвеньяописываютсядифференциальнымиуравнениями:

1) a

(1) d2x(1)

(1) dx

(1)

, a

(1)

=1;

dt2

2) a(2) dx(2)

+a(2)x(2)

=b(2) f (2),

a(2) =1.

Верхние индексы, взятые в круглые скобки, указывают на принадлежностькоэффициентаилисигналасоответствующемузвену.

Получим математическое описание звеньев относительно переменных состояния.

Используяконечныйрезультатматричногопредставленияописания звена относительно переменных состояния, для первого звена будем иметь

X(1) =

(1)

;

(1)

; A(1)

(1)

;

pX(1) = px1

−a1

B(1) =

(1)

b(1)

px2

−a2

(1)

= f

Аналогично

для

второго

звена

(2) =

(2)

; pX(2)

(2)

;

A(2) = −a(2) ;

B(2) = b(2)

; F(2) = f (

2) .

f	x
1	2

Рис. 5.1. Структурная алгоритмическая схема системы автоматического управления

Первое звено имеет две переменные состояния x1(1) и x2(1), второе – одну перемен-

ную x1(2).

Сформируем вектор-столбец глобальных переменных состояния из переменных состоянияпервого,апотомивторогозвена:

	x(1)		x1
		1	x1
X =		(1)
X =	x2		= x2	.
		(2)	x
	x1		3

Соответственно вектор-столбец производных глобальных переменных состояния будет иметь вид

	px(1)		px1
		1	px1
pX =		(1)
pX =	px2		= px2		.
		(2)	px
	px1			3

Получим другие элементы матричного описания процессов в системе автоматического управления.

Матрица А блочно-диагональная, формируется из матриц А(1) и А(2), располагаемых на диагонали, остальные элементы нулевые:

		(1)			−a(1)		1	0
		(1)	0			1
A = A			0		= −a(1)		0	0	.	(5.16)
	0		A	(2)		2		−a(
	0		A			0	0	−a(	2)
								1

Матрица В также блочно-диагональная, формируется из ма-

триц В(1) и В(2):
		(1)				0	0
		(1)	0				0		(5.17)
B = B			0		= b(1)		0	.	(5.17)
	0		B	(2)		0	b(2)
	0		B			0	b(2)
							0

Вектор-столбец F получают в результате последовательного объединения F(1) и F(2):

f (1)		(5.18)
F =	.	(5.18)
f (2)

В итоге получим
px		−a(1)		1	0			x		0		0
			1										f (1)
	1		(1)	0	0			1		(1)		0			(5.19)
px2		= −a2						x2	+ b0					.
px						(2)		x				(2)	f (2)
		0		0	−a					0	b
	3						3
					1						0

Систему уравнений (5.19) необходимо дополнить уравнениями связи,которыеследуютиззаданнойструктурнойалгоритмической схемы системы автоматического управления и задают распределение сигналов:

f (1) = f ; f (2) = x(1)	= x .	(5.20)
1	1

Совокупность уравнений (5.20) и (5.19) уже может рассматриваться как математическое описание процессов в заданной системеавтоматическогоуправленияииспользоватьсявцеляхкомпьютерного моделирования. Однако для получения математического описания процессов в системе автоматического управления относительно переменных состояния уравнения связи (5.20) следует исключить, подставив их в систему уравнений (5.19):

px		−a(1)		1	0		x		0		0
px			1				x					f
	1		(1)	0	0		1		(1)		0	f		(5.21)
px2		= −a2		0	0		x2	+ b0			0		.	(5.21)
px			0	0	−a	(2)	x		0	b	(2)	x1
	3		0	0	−a		3		0	b
					1					0

Перейдем от матричной формы к развернутой записи системы уравнений (5.21):

px			= −a(1)x			+ x	2	,
	1			1	1		2
px		2	= −a(1)x			+b(1) f,												(5.22)
		2		2	1	0					=b(2)x		−a(2)x .
px			= −a(2)x			+b(2)x					=b(2)x		−a(2)x .
	3			1	3		0		1		0	1	1		3			X+B F	, где
Возвращаясь к матричной форме, получим pX= A																	′	X+B F	, где
																	′	′ ′
	−a(1)			1		0								0
			1
A′=	−a(1)			0		0			;	F′=[f ];			B′=
A′=	−a(1)			0		0			;	F′=[f ];			B′=	b(1)		.
			2												0
b(2)				0 −a(2)											0
b(2)				0 −a(2)											0
		0				1

Сравнивая элементы матричных уравнений (5.16)–(5.18) с (5.22), можно проследить структурные изменения элементов в результате исключения уравнений связи:

–из вектор-столбца F вычеркивается вторая строка, что отражает замену входного сигнала f (2) на переменную состояния x1;

–из матрицы В вычеркивается второй столбец, что отражает сокращение вектор-столбца F′;

–в матрице A′ появляется элемент b0(2), что есть следствие замены входного сигнала f (2) на переменную состояния x1.

Структурные изменения элементов матричного описания процессов в системе автоматического управления, связанные с исключением уравнений связи, могут быть выявлены и реализованы

вприкладных программах.

На основании изложенного можно выделить следующие этапы формирования описания процессов в системе автоматического управления относительно ее переменных состояния:

1.Формирование вектор-столбца глобальных переменных состояния системы автоматического управления в виде совокупности переменных состояния каждого звена в избранной последовательности.

2.Формирование вектор-столбца производных глобальных переменных состояния системы автоматического управления в виде совокупности производных переменных состояния каждого звена

вочередности, принятой в п. 1.

3.Формирование блочно-диагональной матрицы A из матриц A(i), описывающих каждое звено в очередности, принятой в п. 1.

4.Формирование вектор-столбца F входных воздействий в очередности, принятой в п. 1.

5.Формирование блочно-диагональной матрицы B из матриц B(i), описывающих каждое звено, в очередности, принятой в п. 1.

6.Формирование уравнений связи, отражающих распределение сигналов в структурной алгоритмической схеме системы автоматического управления.

7.Преобразование матриц A, B и F, отражающее исключение уравнений связи.

5.4. Решение уравнений описания переходных процессов

Решение уравнений описания переходных процессов в системе автоматическогоуправленияотносительнопеременныхсостояния

pX =AX +BF

(5.23)

может быть либо получено численным методом, либо найдено аналитически.

Численное решение (решение на ЦВМ). Под численным ре-

шением системы уравнений (5.23) будем понимать определение мгновенных значений переменных состояния для последовательных моментов времени. По сути система уравнений (5.23) представляет собой набор уравнений вида

dx	= F(x, f, t).	(5.24)
dt

Длярешенияуравнений(5.24)разработаныметодычисленного интегрирования. Процедура определения значения переменной x для следующего момента времени по простейшему из них – методу Эйлера – задается выражением


x \|tn+1 = x \|tn	+h	dx	\|tn ,			(5.25)
		dt
где x \|tn –переменнаявтекущиймоментвремени;				dx		–производ-
				dt	\|tn

ная в текущий момент времени;h=tn+1 − tn – шаг интегрирования; x |tn+1 – переменная в следующий момент времени.

Пусть переменная в начальный момент времени имеет нулевое значение. Будем считать, что известно аналитическое решение, которое на рис. 5.2 показано линией красного цвета.

Найдем численное решение с шагом h1. Для этого из начальной точки t0 = 0 в соответствии с (5.25) следует провести касательную к линии аналитического решения. Положение точки решения определим как точку пересечения касательной с вертикальной линией, соответствующеймоменту,накоторыйосуществляетсяпоискрешения: t1 = t0 + h1. Для получения решения на момент времениt2 = t1 + + h1 източки,соответствующейрешениюнамоментвремениt1,также следует провести прямую линию, наклон которой определяется

по (5.24) для переменной и воздействия на момент времениt1. Повторяя эти действия необходимое число раз, установим последовательность точек решения с шагомh1. На рис. 5.2 эта последовательность точек изображена фиолетовым цветом.

Видно, что полученное численное решение существенно отличается от известного аналитического решения.

Найдем решение с шагом h2 = 0,5h1. В начальной точке используется та же касательная, что и для шага h1, но положение точки решения определяется уже точкой пересечения касательной с вертикальной линией, соответствующей моменту t1′ =t0 +h2. Далее из точки, соответствующей решению на момент времени t1′, следует провести прямую линию, наклон которой определяется по (5.24) дляпеременнойивоздействиянамоментвремениt1′.Повторяяэти действия необходимое число раз, установим последовательность точек решения с шагом h2. На рис. 5.2 эта последовательность точек изображена зеленым цветом.

Видно, что численное решение, полученное с меньшим шагом расчета,ближеканалитическому.Такимобразом,приуменьшении шага расчета повышается точность численного решения, но в то же время увеличивается время расчета.

3 2

t′
		t2	t
	t1			3	t



1

Рис. 5.2. Получение численного решения: 1 – аналитическое решение; 2 – численное решение с шагом h1; 3 – численное решение с шагом h2

При выборе шага расчета следует иметь в виду, что при использовании слишком малого шага может произойти ошибка округления при определении очередного момента времени. Этот эффект становится особенно заметным при получении численного решениянапродолжительныхинтервалахвремени,чтоможетпривести к росту погрешности численного решения.

Среди методов численного решения системы дифференциальных уравнений вида (5.24) особенно выделяются так называемые предиктор-корректорные методы. Эти методы контролируют погрешность получаемого решения и при ее увеличении сверх допустимого значения могут самостоятельно изменять шаг численного интегрирования в результате деления исходного шага интегрирования пополам. Обычно число таких делений не превышает 10. Это означает, что при потере точности расчета шаг интегрированияможетбытьуменьшенв210=1024раза.Призатуханиибыстрых составляющих переходного процесса и снижении погрешности определения численного решения предиктор-корректорные методы самостоятельно увеличивают шаг интегрирования до исходного значения. Таким образом, используя предиктор-корректорные методы численного интегрирования, можно найти решение высокой точности и с наименьшими временными затратами.

Получение численного решения с приемлемой точностью расчета с помощью методов четвертого порядка обеспечивается заданиемшагаинтегрированиядляколебательнойсоставляющейна уровне 1/20–1/40 от периода колебания максимальной частоты. Для самой быстрой апериодической составляющей величину шага достаточно задавать на уровне 1/5–1/10 от постоянной времени. При разных видах составляющих выбирают минимальный шаг.

Поскольку система дифференциальных уравнений описания процессов в системе автоматического управления (5.23) образована уравнениями вида (5.24), то процедуры численного интегрированиядляпоискачисленногорешенияследуетпроводитьпоследовательно для каждой переменной состояния.

Аналитическое решение. Под аналитическим решением системы уравнений (5.23) будем понимать получение выражения

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]