Основы теории автоматического регулирования. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

к эквивалентам этих цепочек (рис. 6.39):

W6(p)=W1(p)W2(p), W7(p)=W2(p)W5(p).

Далее, перегруппировывая сигналы сумматоров 1 и 2, получим схему, представленную на рис. 6.40. Видно, что появились две типовые структуры: два параллельных звена и звено, охваченное обратной связью. Выполняя эквивалентирование этих структур

W8(p)=W6(p)+W4(p), W9(p)=1+WW3(3p()pW)7(p),

получим схему, представленную на рис. 6.41.

Рис. 6.38. Результатпереносасумматора вперед

Рис.6.39.Результатэквивалентирования последовательных цепочек

W4

Рис. 6.40. Результат перегруппировки сигналов сумматоров

71

Выполняя эквивалентирование цепочки последовательных звеньев, окончательно получим эквивалент исходной структурной алгоритмической схемы системы автоматического управления

(рис. 6.42). При этом Wэ (p)=W8(p)W9(p).

Выполняя подстановку выражений для промежуточных передаточныхфункций,получимитоговоевыражениедляэквивалентной передаточной функции системы через передаточные функции звеньев исходной структурной алгоритмической схемы системы автоматического управления:

Wэ (p)=(W3(p)W2(p)+W4(p))(1+W3 pW)W3(2p()p)W5(p).

6.5. Математическое описание системы автоматического управления в операторном пространстве

Пустьдлясистемыавтоматическогоуправления,котораяимеет одинвходнойсигналипроявляетсебяоднимвыходнымсигналом, задана структурная алгоритмическая схема. С помощью эквивалентных преобразований эта схема может быть сведена к одному звену с эквивалентной передаточной функцией Wf, x(p), связывающей входной f и выходной x сигналы (рис. 6.43, а).

Изображение выходного сигнала X(p)=W f ,x (p)F(p).

Если система автоматического управления, имея один входной сигнал f, проявляет себя двумя выходными сигналами x1 и x2 (рис. 6.43, б), то исходная структурная алгоритмическая схема системы

72

автоматического управления с помощью эквивалентных преобразований может быть сведена к двум звеньям с эквивалентными передаточнымифункциямиWf, x1(p)иWf, x2(p),связывающимиизображение входного сигнала F(p) и изображения выходных сигна-

лов X1(p) и X2(p).

В этом случае изображения выходных сигналов

X1(p)=Wf ,x1(p)F(p) и X2 (p)=W f ,x2 (p)F(p).

Очевидно, что исходная структурная алгоритмическая схема системы автоматического управления с несколькими выходными сигналами сводится к соответствующему числу эквивалентных передаточных функций.

В случае если система автоматического управления имеет более одного входного сигнала, например два (рис. 6.43, в), и проявляет себя более чем одним выходным сигналом, например двумя, то исходная структурная алгоритмическая схема системы автоматического управления может быть сведена к четырем звеньям с эквивалентными передаточными функциями Wf1, x1(p), Wf2, x1(p), Wf1, x2(p)и Wf2, x2(p).Очевидно,чточислоэквивалентныхпередаточных функций соответствует числу возможных сочетаний входной сигнал – выходной сигнал.

С учетом принципа суперпозиции, справедливого для линейных систем, изображения выходных сигналов X1(p)=W f 1,x1(p)F1(p)+

+Wf 2,x1(p)F2 (p) и X2(p)=Wf 1,x2(p)F1(p)+ Wf 2,x2(p)F2(p).

Рис. 6.43. Структурная схема системы автоматического управления:

а– с одним входным и одним выходным сигналом;

б– с одним входным сигналом и двумя выходными сигналами;

в– с двумя входными и двумя выходными сигналами

73

В общем случае, когда система автоматического управления имеетmвходныхсигналовипроявляетсебяn выходнымисигналами, ее математическое описание в операторном пространстве может быть представлено в матричном виде: X(p)= W(p)×F(p), где

6.6. Эквивалентирование системы автоматического управления при задании звеньев амплитудно-фазовой

частотной характеристикой

Привлекательность частотных характеристик для эквивалентирования элементов систем автоматического управления заключается в возможности их экспериментального получения, причем для крупных агрегатов. При этом теоретический анализ структурных алгоритмических схем сводится к получению эквивалентной амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления.

Рассмотримнесколькотиповыхструктуралгоритмическихсхем и правила их эквивалентирования.

Вначале обсудим методическую основу, позволяющую определять графические операции с амплитудно-фазовыми частотными характеристиками. Такой основой является связь между передаточной функцией и амплитудно-фазовой характеристикой звена. Как было отмечено ранее, для получения аналитического выраже- ниядляамплитудно-фазовойчастотнойхарактеристикидостаточ- но в аналитическом выражении передаточной функции оператор p заменить на jω и с помощью известных преобразований перейти к канонической форме представления комплексного числа. Такая связь позволяет использовать результаты эквивалентирования типовых фрагментов структурных алгоритмических схем, элементы которых заданы передаточными функциями, и определить

74

необходимые графические операции с годографами амплитуднофазовых частотных характеристик.

Пусть задана цепочка, состоящая из двух последовательных звеньев, с передаточными функциями W1(p) и W2(p). В этом случае эквивалентную передаточную функцию цепочки получают в результате произведения передаточных функций звеньев: Wэ (p)= =W1(p)W2(p). Для указанного значения частоты гармонического сигнала амплитудно-фазовая частотная характеристика звена – комплексное число, которое определяет положение точки на годографе амплитудно-фазовой частотной характеристики. Положение точки можно найти, указав амплитуду комплексного числа и его аргумента. Таким образом, имеем Wэ (jω)=W1(jω)W2(jω)=

валентного комплексного числа. Отсюда следуют графические преобразования, позволяющие определить положение точки, соответствующей эквивалентному комплексному числу и принадлежащей годографу эквивалентной амплитудно-фазовой частотной характеристики цепочки, состоящей из двух последовательных звеньев. Амплитуда эквивалентного вектора равна произведению амплитуд векторов, определяющих положение точек на годографах звеньев последовательной цепочки при одном и том же значении частоты гармонического сигнала, а фазовый угол эквивалентноговектораравеналгебраическойсуммефазовыхугловисходных векторов (рис. 6.44, а).

Задавая последовательный ряд значений частоты гармонического сигнала и выполняя описанные выше действия, получим последовательность точек эквивалентного годографа амплитуднофазовой частотной характеристики цепочки, состоящей из двух

лениеточки,соответствующейкомплексномучислуэквивалентного

75

a)

W ′′(ω)

ϕ1

ϕ2 ϕэ A1

A2

б)

W ′′(ω)

ϕ1

ϕ2 ϕэ A1

A2

Aэ

W ′(ω)

в)

W ′′(ω)

1

A1

A2

1 + А1A2

А1A2

W ′(ω)

Рис. 6.44. Процесс построения амплитуднофазовой частотной характеристики:

а– цепочки последовательных звеньев;

б– двух параллельных звеньев; в – типовой структуры «звено с обратной связью»

76

годографа, сводится к выполнению операции суммирования исходных векторов (рис. 6.44, б).

Задавая последовательный ряд значений частоты гармонического сигнала и выполняя описанные выше действия, получим последовательность точек эквивалентного годографа амплитуднофазовой частотной характеристики цепочки, состоящей из двух параллельных звеньев.

По сути, графические операции, связанные с построением годографа, эквивалентирующего типовую структуру «звено с обратной связью», представляют собой комбинацию описанных выше

Действие, с которого следует начать графическое определение положения точки эквивалентного годографа фрагмента структурнойалгоритмическойсхемысистемыавтоматическогоуправления для первого заданного значения частоты гармонического сигнала, состоитвреализациипроизведенияW(jω)Wо.с (jω)двухкомплексных чисел.

Следующим действием является выполнение операции суммированиявзнаменателеполученногокомплексногочисласединичным вектором (рис. 6.44, в).

В заключение осуществляют операцию умножения двух комплексныхчисел:комплексноечислочислителяумножаетсянакомплексноечисло,полученноевзнаменателеврезультатевыполнения двух предыдущих действий.

Задавая последовательный ряд значений частоты гармонического сигнала и выполняя описанные выше действия, получим последовательность точек эквивалентного годографа амплитуднофазовой частотной характеристики структуры «звено с обратной связью».

77

6.7. Построение кривой переходного процесса по эквивалентной передаточной функции

Кривая изменения выходной переменной системы автоматического управления во времени может быть построена либо при моделировании системы на вычислительной машине, либо по ее аналитическому описанию. Получение аналитической зависимости изменения выходной переменной системы – очень трудоемкая, но решаемая задача.

Рассмотрим более подробно способ решения этой задачи. Пусть известна эквивалентная передаточная функция системы

автоматического управления, связывающая изображение входного сигнала Fвх(p) и изображение выходного сигнала X(p):

Используя отношение (6.26), которое, по сути, является определением передаточной функции, получим

X(p)=W(p)Fвх (p). (6.27)

Перед нами стоит задача получения оригинала x(t) для изображения выходного сигнала X(p). Эта задача может быть решена, например, с помощью обратного преобразования Лапласа. Однако рассмотрим другой способ, основанный на использовании изображения свертки двух функций.

С одной стороны, из выражения (6.27) следует, что произведение эквивалентной передаточной функции системы автоматического управления W(p) на изображение входного сигнала Fвх(p) определяет изображение выходного сигнала. При этом передаточная функция является характеристикой операторного пространства, т. е. изображением функции. С другой стороны, как следует израздела6.1,оригиналпроизведенияизображенийдвухфункций соответствуетсверткедвухфункций.Отсюдаследует,чтооригинал выходного сигнала системы автоматического управления может быть получен как функция свертки.

Осталось определить функции f1(t) и f2(t), входящие в выражение свертки.

78

Пусть f1(t) является оригиналом передаточной функции W(p), который называют весовой функцией и обозначают w(t), а функция f2(t) – оригинал входного сигнала. Используя выражение

t

для свертки двух функций, будем иметь x(t)= ∫w(τ)fвх (t −τ)dτ=

0

= L−1{W(p)Fвх (p)}.

Таким образом, чтобы получить аналитическое выражение для описания выходного сигнала системы автоматического управления, необходимо иметь оригинал эквивалентной передаточной функцииэтойсистемыиописаниевходногосигналаотносительно аргумента (t – τ).

Следует заметить, что справедливо и такое выражение: x(t)=

t

= ∫ fвх (τ)w(t −τ)dτ= L−1{Fвх (p)W(p)}.

0

Пример 6.4. Получить аналитическое описание выходного сигнала системы автоматического управления, для которой эквивалентная передаточная функция имеет вид

Входной сигнал системы автоматического управления задан

− 1t

выражением f(t)=1−e T .

Вначале получим оригинал эквивалентной передаточной функции.

Поскольку эквивалентная передаточная функция задана как отношение двух полиномов

Wэ (p)= HG((pp)),

где G(p) = 6p; H(p) = 4p2 + 5p + 1, то, используя теорему разложения, представим эквивалентную передаточную функцию в виде совокупности элементарных функций. С этой целью получим характеристичеcкое уравнение и найдем его корни: D(λ)= H (λ)=0;

4λ2 +5λ+1=0; λ1,2 = −5±825−16 = −58±3, λ1 = −1, λ2 = −0,25.

79

Постоянные коэффициенты определим, используя выражение

В результате применения теоремы разложения исходную передаточную функцию, заданную в виде отношения двух полиномов, представимввидесуммыизображенийдвухэлементарныхфункций:

Wэ (p)= p2+1− p+0,50,25.

В итоге для весовой функции, которая является оригиналом передаточной функции, получим w(τ)= 2e−τ −0,5e−0,25τ.

Далеевописаниивходногосигналаперейдемкаргументу(t –τ):

Выражение для оригинала выходного сигнала системы автоматического управления может быть получено в виде

Дальнейшие преобразования выражения (6.28) позволяют получить аналитическое описание изменения во времени выходного сигнала системы автоматического управления.

6.8. Построение кривой переходного процесса по эквивалентной амплитудно-фазовой частотной характеристике

Способ построения кривой переходного процесса по эквивалентной амплитудно-фазовой частотной характеристике (метод трапеций) используется в том случае, когда исследование системы автоматическогоуправленияизначальнопроводитсяметодамичастотного анализа.

80