Основы механики (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
5.С какой скоростью будет двигаться ракета, если средняя скорость вылета газов равна 1000 м/с? Масса топлива составляет 80% всей массы ракеты.
6.Брусок массой 0,2 кг скользит по наклонной плоскости и падает на тележку с песком. Какую скорость после этого будет иметь тележка? Высота наклонной плоскости равна0,5 м. Угол
наклона a = 300 . Масса тележки с песком равна 1,8 кг. Трением при движении тел пренебречь (рис. 78) (g = 10 м/с2).
7. |
Граната свободно падает. На вы- |
|
|
|
m1 |
||||||||||
соте 19,6 м она имеет скорость 9,8 |
м/с |
|
|
|
|||||||||||
m2 |
|||||||||||||||
и |
разрывается на две |
равные |
части |
|
|
|
|
|
|
h |
|||||
|
|
a |
|||||||||||||
(рис. 79). Одна часть падает на Землю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
под местом взрыва через 2 с после |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Рис. 78 |
|||||||||||||
него. Найти время падения другой |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
части гранаты (g = 9,8 м/с2). |
|
V |
|
|
|
|
|
h |
|||||||
8. |
Лодка |
массой 200 кг |
движется со |
|
|
|
|
|
|||||||
скоростью |
1 м/с. |
С |
лодки прыгает |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мальчик массой 50 кг |
в |
горизонталь- |
|
Рис. 79 |
|||||||||||
ном направлении |
со |
скоростью7 |
м/с. |
|
|||||||||||
Какой станет скорость лодки после прыжка мальчика, если он прыгнет с носа лодки по ходу движения (рис. 80)?
Рис. 80
9. Лодка с человеком стоит неподвижно на озере носом к берегу. Какую скорость относительно воды получит лодка, если человек выстрелит параллельно воде в сторону берега (рис. 81)? Масса лодки с человеком 200 кг. Масса пули 0,01 кг. Скорость пули равна 800 м/с.
Рис. 81
81
Рис. 82
10.Из корабельной пушки стреляют под углом 60º к горизонту
всторону, которая противоположна движению корабля(рис. 82). Насколько изменится скорость корабля, если снаряд массой 20 кг вылетает со скоростью 800 м/с относительно корабля? Масса ко-
рабля 6 ×106 кг.
11. Локомотив массой 2 ×105 кг движется по инерции с выключенными двигателями. Он приближается к неподвижному вагону со скоростью 0,5 м/с и продолжает движение вместе с ним. Найти массу вагона, если скорость локомотива уменьшилась до0,4 м/с. Трение не учитывать (рис. 83).
Рис. 83
МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА. МОЩНОСТЬ. КПД
В механике, для того чтобы выполнялась работа, необходимо наличие силы и перемещения тела под действием этой силы
(рис. 84).
|
r |
r |
r |
Работа (А) – это скалярное про- |
|||
|
F |
F |
|||||
|
|
a |
Dr |
|
|
изведение силы на перемещение, ко- |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
торое совершило тело под действием |
|
|
|
|
Рис. 84 |
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
этой силы: A = (F × Dr ) . |
|
Численно работа равна произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между их направлениями:
A = F × Dr ×cos α .
82
Работа – это скалярная величина. Если тело движется прямолинейно, то модуль вектора перемещения равен пройденному
пути (S = Drr ), поэтому A = F × S ×cos α . Эта формула справедли-
ва, если во время движения сила не изменяетсяF=const. В зависимости от значения угла между векторами силы и перемещения механическая работа может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Если 0 £ a < p , то А > 0. Силу, которая совершает положи- 2
тельную работу, называют силой тяги или движущей силой.
Если p < a £ p , то А < 0. Силу, которая совершает отрица- 2
тельную работу, называется силой сопротивления.
Если a = |
p |
или a = |
3p |
, то А = 0. Сила, перпендикулярная |
|
|
|||
2 |
2 |
|
||
вектору перемещения, работу не совершает.
Например, тело движется по наклонной плоскости, сила реакции опоры перпендикулярна к направлению движения, поэтому она работы не совершает.
Единицы работы в СИ: A = F × S =1 Н ×м =1 Дж (джоуль).
1 джоуль – это работа, которую совершает сила 1 Н при перемещении точки ее приложения на 1 м, если направление силы и перемещения совпадают.
Единицы работы в СГС: А = 1 дин∙см = 1 эрг.
На практике часто используют единицу работы килограммо-
метр: 1 кгм = 1 кгс∙1 м.
1 Дж = 1 Н ∙ 1 м = 105 дн ∙ 102 см = 107 эрг, 1 кгм = 1 кгс ∙ 1 м = 9,8 Н ∙ 1 м = 9,8 Дж.
Величину механической работы можно изобразить графиче-
F |
|
|
ски. Построим график зависимости силы |
||
|
|
от перемещения. Если сила величина по- |
|||
|
|
B |
|||
A |
|
стоянная, то график |
силы |
будет прямая |
|
A |
|
линия, параллельная |
оси |
перемещения |
|
|
|
||||
O |
|
C |
(рис. 85). |
|
|
|
Dr |
|
|
||
|
Рис. 85 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
83
Определим работу по этому графику: A = F × Dr (a = 0),
А=ОА, Dr = OC . Поэтому А = ОА ∙ ОС = SOABC. Работа численно равна площади прямоугольника ОАВС.
F |
|
|
|
Если |
на тело |
действует |
переменная |
|
|
|
|
сила, например сила гравитации или сила |
|||
|
B |
C |
|
упругости, то работа на перемещении Drr |
|||
O |
A |
|
|
численно |
равна площади фигурыABCD |
||
A |
D |
Dr |
(рис. 86). |
|
|
|
|
|
Рассмотрим движение тела под дейст- |
||||||
|
Рис. 86 |
|
|||||
вием силы тяжести вблизи Земли. Если тело падает с высоты h, то |
|||||||
сила тяжести |
совершает работуA1 = mgh . |
Если тело |
брошено |
||||
вертикально вверх и поднимается на высотуh, то сила тяжести |
|||||||
совершает |
работу A = F × h × cos1800 = -mgh . Работа силы тяже- |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
сти имеет отрицательное значение, так как направление силы тя- |
|||||||
жести противоположно направлению перемещения. Если тело, брошенное вертикально вверх, возвращается на Землю, то работа
силы тяжести A = A1 + A2 = 0 .
Работа силы тяжести по замкнутому пути равна нулю. Рассмотрим равномерное движение тела по наклонной плоскости длиной S, высотой h и определим работу в двух случаях:
1) если нет силы трения (рис. 87):
Y
|
r |
r |
X |
|
N |
||
|
|
Fт |
|
|
|
a |
h |
a |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
r |
Рис. 87 |
|
|
r |
r |
|
|
Fт |
+ mg |
+ N = 0 . |
|
OX) Fт - mg sin α = 0 Þ Fт = mg sin α ;
OY) N - mg cos α = 0 Þ N = mg cos α ;
84
A = Fт × S = mg sin α × S = mg h × S , A = mgh . S
Работа не зависит от угла наклона плоскости a и от пройденного телом пути S. Работа силы тяжести зависит только от высоты h, на которую поднимают тело.
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называют консервативными силами. Сила тяжести – это консервативная сила.
2) коэффициент трения равен m: при равномерном движении тела по наклонной плоскости вверх с учетом силы трения (рис. 88).
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fт + mg |
+ Fтр + N = 0 . |
|
|
|
|
|||
ОХ) |
Fт - mg sin α - Fтр |
= 0 Þ Fт |
= mg sin α + Fтр , |
|
|
|
||||||
OY) |
N - mg cos α = 0 Þ N = mg cos α ; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Y |
r |
X |
|
|
Fтр |
= μ × N Þ Fтр |
= μmg cos α , |
|
||
|
r |
r |
|
|
Fт |
= mg sin α + μmg cos α . |
|
|
||||
|
N |
Fт |
|
|
|
|
|
|||||
|
Fтр |
|
|
h |
|
Работа, |
выполненная |
при |
|
|||
|
|
a |
|
|
подъеме |
тела |
по |
наклонной |
|
|||
|
a |
|
|
|
|
плоскости, в этом случае будет |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
|
|
|
A = Fт × S = (mg sin α + μmg cosα)S = |
|
||||
|
|
mg |
|
|
|
|
= mgh + μmgS cos α |
|
|
|
||
|
Рис. 88 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Работа, |
выполненная |
|
|
с |
учетом |
силы |
тр |
|||||
(A = mgh + μmgS cos α ), больше |
работы, выполненной без учета |
|
||||||||||
силы трения (mgh). Работа выполненная без учета силы трения |
|
|||||||||||
является полезной работой ( Aп |
= mgh) . Работа μmgScosα |
равна |
|
|||||||||
работе силы трения и зависит от путиS, который прошло тело. |
|
|||||||||||
Следовательно, сила трения не является консервативной силой. |
|
|||||||||||
Работа A = Aп + Aтр |
есть вся работа, |
выполненная при перемеще- |
|
|||||||||
нии тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
Отношение полезной работы к величине всей совершенной работы называется коэффициентом полезного действия (КПД),
его обозначают обычно греческой буквой η (эта): η = Aп .
A
Полезная работа всегда меньше всей совершенной работы, по-
этому η < 1. КПД показывает, какую часть от всей совершенной работы составляет полезная работа. Обычно КПД выражают в
процентах: |
h = |
Aп |
×100 . Определим механическую |
работу |
сил |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
упругости |
|
|
при |
|
деформации |
пружины |
на |
вели |
|||||||||||||||||||||
F |
|
|
|
|
|
Dx = |
|
x2 - x1 |
|
= x1 - x2 . |
Сила упругости |
– |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
F1 |
|
C |
величина |
|
непостоянная, она |
зависит |
от |
|
|||||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
величины деформации F = -kx, |
|
F |
|
= kx . |
|
|||||||||||||||||||
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
A |
|
D |
На графике силы упругости работа |
|
|||||||||||||||||||||||||
O |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
X2 Dx X1 X |
численно равна площади ABCD (рис. 89): |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Рис. 89 |
A = S |
|
|
|
= |
|
AB + CD |
× AD = |
F2 + F1 |
× Dx = |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ABCD |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
упр |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
kx1 + kx2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
kx12 |
|
kx22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
(x1 - x2 ) = |
(x12 - x22 )= |
- |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если под действием силы упругости пружина придет в положе- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
ние равновесие, то x |
= 0 и A = - |
kx |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Работа силы упругости зависит только от начального и конечного положения конца пружины. Работа силы упругости, так же как и работа силы тяжести, не зависит от формы пути. Сила упругости – это консервативная сила.
В физике, а еще чаще в технике, используется понятие мощности – величины, характеризующей скорость выполнения механической работы.
Мощность (N) – это скалярная величина, равная отношению работы к интервалу времени, за который эта работа совершена.
N = A = F × Dr ×cos α . Dt Dt
86
Для прямолинейного движения Dr = S , тогда N = F ×Vср × cos α ,
где Vср – средняя скорость на пути. Единицей мощности в систе-
ме СИ является ватт (Вт): 1 Вт = 1 Дж . 1 с
Если за 1 с сила совершает работу 1 Дж, то мощность равна
1 Вт. В системе СГС – единица мощности |
эрг |
. 1 Вт =107 |
эрг |
. |
|
|
|||
|
с |
с |
||
В технике используется внесистемная единица мощности– лошадиная сила (л. с.). 1 л. с.=736 Вт.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Тело массой 40 кг движется равномерно вверх по наклонной плоскости с углом наклона30º под действием силы тяги. Найти работу силы тяги на пути20 м. Трения нет; коэффициент трения
0,05.
Дано:
m = 40 кг a = 300
S = 20 м
A1 - ? , если m = 0
A2 - ? , если m = 0,05
Решение 1. Тело движется равномерно, значит,
r |
r |
r |
Fт |
+ mg |
+ N = 0 . |
Y
r |
r X |
N |
|
|
Fт |
h
a
a
r mg
OX) Fт |
- mg sin α = 0 , Fт = mg sin α A1 = Fт × S = mg sin α × S , |
|
A1 = 40 ∙ 9,8 ∙ 0,5 ∙ 20 = 3920 Дж. |
||
r |
r |
r r |
2. Fт + mg |
+ Fтр + N = 0 . |
|
OX) Fт |
- mg sin α - Fтр = 0 ; |
|
87
|
Y |
r |
X |
OY) N - mg cos α = 0 . |
|
r |
|
||
|
r N |
Fт |
|
OX) Fт = mg sin α + Fтр ; |
|
Fтр |
|
h |
OY) N = mg cos α . |
|
|
|
||
|
a |
Fтр = μ × N = μmg cos α , |
||
|
|
|||
|
a |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
Fт |
= μmg sin α + μmg cosα = mg (sin α + μ cos α ) , |
|||
A2 |
= Fт × S = mgS (sin α + μ cos α) , |
|
||
A2 = 40×9,8×20×(0,5+0,05×0,866) = 4259,5 Дж. |
||||
|
2. Подъемный |
кран |
|
Ответ: A1 = 3,92 кДж, A2 » 4,26 кДж. |
|
поднимает груз массой5 т из состояния |
|||
покоя с ускорением 0,5 м/с2. Определить работу, которую совершает мотор подъемного крана за первые 10 с подъема груза.
Дано: |
|
X |
|
r |
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
||||
m = 5 т = 5 · 10 кг |
|
|
|
T |
a = 0,5 м/с2 |
|
|
|
r |
t = 10 c |
|
|
|
r a |
V0 = 0 |
|
|
|
mg |
A – ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
Тело движется |
с |
ускорением, |
|
r |
r |
r |
|
поэтому T + mg = ma . |
|||
OX) T – mg = ma, T = mg + ma = = m(g + a). За время t груз переместится на расстояние
S = at 2 , так как V0 = 0 . 2
Определяем работу, которую совершает мотор:
A = T · S = m(g + a) · at 2 ,
2
A = 5 ×103 ×0,5 ×102 ×(9,8 + 0,5) =12,875 ×105 Дж . 2
Ответ: А » 1,29 МДж. 3. Найти работу, которую нужно совершить, чтобы сжать пружину на 20 см, если под действием силы 106 дин пружина сжимается на
1 см.
88
Дано: |
|
|
Решение |
|
x1 |
= 1 см |
Работу силы, сжимающей пружину, находим по |
||
F =106 дн |
формуле A = |
kx22 |
||
1 |
|
|
. Коэффициент упругости k опре- |
|
x2 |
= 20 см |
|
2 |
|
|
|
делим из закона Гука, записанного для первого |
||
А - ? |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
x2 |
|
2 |
сжатия: |
F = kx Þ k = |
1 |
|
, тогда |
A = F |
2 |
, |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
x |
|
|
1 2x |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
A =10 |
6 |
|
202 |
8 |
|
= 20 Дж. |
|
|
||
|
|
× |
|
= 2 ×10 ' эрг |
|
|
|||||
|
|
2 ×1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: А = 20 Дж. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Контрольные вопросы
1.При каких условиях сила выполняет работу?
2.Что такое механическая работа?
3.Чему равно численное значение работы?
4.Какая сила совершает положительную работу?
5.Какая сила называется силой сопротивления?
6.Когда работа силы равна нулю?
7.Какие единицы работы вы знаете?
8.Как изобразить величину механической работы графически.
9.Чему равна работа силы тяжести и от чего она зависит?
10.Чему равна работа силы тяжести по замкнутому пути?
11.Какая сила называется консервативной? Приведите примеры консервативных сил.
12.Является ли сила трения консервативной силой?
13.Что называется коэффициентом полезного действия?
14.Что показывает коэффициент полезного действия?
15.Чему равна работа силы упругости?
16.От чего зависит работа силы упругости?
17.Что называется мощностью?
18.Что характеризует мощность?
19.В каких единицах измеряется мощность?
Задания |
|
r |
||
1. Тело движется горизонтально под дейст- |
|
Fтяги |
||
вием силы тяги 40 Н (рис. 90). Найти работу силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тяги на пути 200 м. |
Рис. 90 |
|||
89
2. Тело |
движется |
по горизонтальной плоскости |
r |
||||||
под действием силы тяги 20 Н, направленной под уг- |
|
|
|
Fтяги |
|||||
лом α = 60o |
к горизонту (рис. 91). Найти работу силы |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 91 |
||||||
тяги на пути 15 м. |
|
|
|
|
|
||||
3. Тело массой 100 кг движется равномерно по |
r |
r |
|||||||
горизонтальной плоскости под действием силы тя- |
Fтяги |
||||||||
Fтр |
|
|
|
||||||
ги. Найти работу силы тяги на пути 5 м, если коэф- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
фициент трения 0,4 (рис. 92). |
|
|
|
|
Рис. 92 |
||||
4. Тело массой 20 кг движется равномерно по |
|
|
|
r |
|||||
горизонтальной плоскости со скоростью 5 м/с в тече- |
|
|
|
||||||
|
|
|
Fтяги |
||||||
ние 8 с. Найти работу силы тяги, |
если коэффициент |
|
|
|
|
|
|
||
трения 0,2. |
|
|
|
|
|
|
a |
||
5. Груз массой 100 кг |
движется |
равномерно вверх |
Рис. 93 |
||||||
по наклонной плоскости (a = 30º) под действием си- |
|
|
|
|
|
|
|||
лы тяги и проходит 80 см (рис. 93). Найти работу силы тяги.
6.Тело массой 100 кг под действием силы тяги движется равномерно вверх по наклонной плоскости, уклон которой составляет 1 м (h = 1 м) на каждые 10 м пути (l = 10 м). Найти работу силы тяги на пути 20 м, если 1) трения нет; 2) коэффициент трения 0,2.
7.Тело массой 100 кг движется под действием си-
лы тяги равномерно вниз по наклонной |
|
r |
||
плоскости, |
||||
|
|
|
F |
|
уклон которой составляет 0,5 м на каждые 10 м пути. |
тяги |
|||
a |
||||
Найти работу силы тяги на пути20 м, если коэффи- |
||||
Рис. 94 |
||||
циент трения 0,3 (рис. 94). |
|
|||
8. Найти работу, которую надо совершить, чтобы |
|
|||
сжать (деформировать) пружину на 20 см, |
если жесткость пру- |
|||
жины равна 29,4 Н/см. |
|
|
||
9. |
Тело массой 2 кг свободно падает с высоты 15 м. Найти ра- |
|||
боту, которую совершает сила тяжести. |
|
|
||
10. |
Найти работу силы тяжести тела массой 10 кг, которое сво- |
|||
бодно |
падает: 1) за первую секунду; 2) |
за вторую секунду; |
||
3)за третью секунду после начала падения.
11.Тело массой 100 г брошено вертикально вниз с высоты 20 м со скоростью 10 м/с. Тело достигает земли со скоростью20 м/с (сопротивлением воздуха пренебречь нельзя). Найти работу, совершенную телом против силы сопротивления воздуха.
90