Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы механики (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

823 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Угол между наклонной плоскостью и -го

	ризонтом равен 45 . Определить коэффициент
	трения между поверхностью тела и наклон-
	ной плоскостью.	a
	18. Тело скользит по наклонной плоскости	a
	18. Тело скользит по наклонной плоскости	mg
	под действием силы тяжести. Определить ус-	45°
	корение, с которым движется тело, если угол	Рис. 59
	наклона α = 30o . Коэффициент трения между	Рис. 59

поверхностью тела и наклонной плоскостью равен 0,5.

19.Тяжелое тело начинает двигаться с вершинынаклонной плоскости. Длина наклонной плоскости 16 м, высота 8 м. За какое время тело спустится с наклонной плоскости, если коэффициент трения равен 0,5? Какую скорость будет иметь тело у основания наклонной плоскости?

20.Автомобиль массой 2000 кг движется в гору с ускорением 0,2 м/с2. Уклон горы tgα = 0,05. Найти силу тяги автомобиля, если коэффициент сопротивления движению равен 0,04.

21. На наклонной плоскости длиной 12 м и высотой 6 м нахо-

дится тело массой 60 кг. На тело действует сила F , которая направлена горизонтально и равна340 Н. Найти ускорение тела. Трение не учитывать.

22. Два тела массой m1 = 3 кг и m2 = 5 кг связаны нитью. К телу 1 приложена сила 50 Н, к телу 2 – сила 30 Н. С каким ускорением будет двигаться система по горизонтальной поверхности, если коэффициент трения равен 0,1? Чему будет равно натяжение

нити? Нить невесома и нерастяжима.
23. На нити, которую перекинули через непод-
23. На нити, которую перекинули через непод-
вижный блок, висит тело массой 10 кг (рис. 60). С
какой силой нужно тянуть нить вертикально вниз
за другой ее конец, чтобы тело поднималось с ус-		r
корением 1 м/с2? Нить считать невесомой и нерас-		F
тяжимой. Трением в блоке пренебречь.	m
тяжимой. Трением в блоке пренебречь.
24. Тело массой m1 = 0,4 кг начинает двигаться	Рис. 60
по горизонтальной поверхности стола под действи-	Рис. 60
по горизонтальной поверхности стола под действи-

ем груза массой m2 = 0,1 кг. За 2 с оно проходит путь 0,8 м. Найти коэффициент трения между телом 1 и поверхностью стола. Нить считать невесомой и нерастяжимой. Трением в блоке пренебречь.

25. Тело массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием груза массой0,5 кг. Оба тела связаны нерастяжи-

мой нитью, которая перекинута через	неподвижный блок
(рис. 61). С каким ускорением движется система, если коэффици-
ент трения между телом 1 и поверхностью стола
равен 0,2? Чему равно натяжение нити? Трени-		m1
		m1

ем в блоке пренебречь.
26. Невесомый блок закреплен на вершине
двух наклонных плоскостей, составляющих с
двух наклонных плоскостей, составляющих с			m2
горизонтом углы 30º и 45º (рис. 62). Тела массой
горизонтом углы 30º и 45º (рис. 62). Тела массой

611 кг каждое соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение, с которым движутся тела и силу натяжения нити.


Считать		нить	невесомой и		нерастяжи-
мой, трением пренебречь.
27. Два бруска массами m1					и m2 свя-
занные		нерастяжимой		нитью	находятся
на горизонтальной плоскости (рис. 63). К
ним	приложены		силыF1 и F2, состав-
ляющие с горизонтом α и β . Най-							r
ти ускорение системы и натяжения							F
						α	1
нити.	Коэффициент			трения	бру-

сков о плоскость равен μ . Система движется влево.

45º 30º

Рис. 62

r a

Рис. 63

Контрольные вопросы

1.В чем заключается второй закон Ньютона?

2.Что следует из второго закона Ньютона?

3.Что называется уравнением движения?

4.Что называется массой тела?

5.Какие единицы силы вы знаете?

6.В чем заключается третий закон Ньютона?

7.Какие ускорения получают тела при взаимодействии?

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

На все тела, которые находятся на Земле, действует сила тяжести. Причиной силы тяжести является притяжение всех тел Землей. В 1667 г. Ньютон сделал вывод о том, что между всеми телами существуют силы взаимного притяжения. Он назвал эти силы силами всемирного тяготения.

Сила тяжести – это частный случай сил всемирного тяготения.

Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения.

Две материальные точки притягиваются друг к другу с силами, величина которых прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

F = G m1m2 , r 2

где m1 , m2 – массы тел; r – расстояние между телами; G – грави-

тационная постоянная. Если m1= m2 = 1 кг, r = 1 м, то F = G. Следовательно, гравитационная постоянная численно равна силе тяготения двух точечных масс по1 кг на расстоянии 1 м. Единицы измерения G определяются из формулы закона всемирного тяго-

тения:

G =

F × r 2

Н ×м2

м3

кг2

кг ×с2

Величина G определена экспериментально. В системе

СИ – G = 6.672 ×10-11

м3

Н ×м2

;

кг ×с2

15 ×109

кг2

СГС – G = 6.672 ×10-8

см3

дин ×см2

г ×с2

15 ×106

г2

По третьему закону Ньютона сил притяжения между двумя материальными точками две, так как взаимодействуют два тела. Эти силы направлены по прямой, соединяющей материальные точки. Закон всемирного тяготения справедлив не только для материальных точек, но и для тел имеющих конечные размеры. Если тела имеют шарообразную форму и постоянную плотность, то расстояние измеряется между их центрами тяжести.

F12 = F21 = G m1m2 .

r 2

Силы тяготения действуют на расстоянии, следовательно, около каждого тела существует пространство, в котором действуют силы тяготения. Это пространство называется полем тяготения или гравитационным полем.

С помощью закона всемирного тяготения можно выразить величину ускорения свободного падения через массу Земли– М и ее радиус R. На тело вблизи поверхности Земли действует сила тяжести F = mg , которая есть не что иное, как сила всемирного тяготения, действующая на тело со стороны Земли:

F = G	mM	Þ mg = G	mM	Þ g = G	M	, G =	gR2	.
	R2		R2		R2		M

При подъеме тела над Землей модуль ускорения свободного падения уменьшается:

gH	= G	M		gR2		M	= g	R2
			=		×				.
		(R + H )2				(R + H )2		(R + H )2
				M

Величина ускорения свободного падения не зависит от массы тела, но зависит от радиуса Земли и от высоты подъема тела над Землей.

Решим задачу: определить, на какой высоте сила тяжести, действующая на тело, в n раз меньше, чем на Земле. Найти высоту H для n = 4.

Дано:

Решение

= n

mg = G

Þ g = G

;

mg H

n = 4

mgH

= G

Þ gH

= G

;

(R + H )2

H – ?

(R + H )2

= n Þ

= n Þ (R + H )2 = nR2 ;

mgH

g H

(R + H )2

R + H = R n Þ H = R( n -1). Если n = 4, то H = R( 4 -1)= R .

Ответ: на высоте H = R( n -1) сила тяжести, действующая на тело в n раз меньше, чем на Земле. На высоте H = R сила тяжести, действующая на тело, уменьшится в 4 раза.

Мы знаем, что средний радиус Земли R = 6370 км, поэтому, если H << R, то изменение силы тяжести, действующей на тело, незначительны и ими можно пренебречь.

Задания

Самостоятельно решите задачи.

1.На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшится на один процент, если R=6400 км.

2.Определить массу земного шара. Радиус Земли принять равным 6400 км, а ускорение свободного падения9,8 м/с2. Найти среднюю плотность Земли.

3.С какой силой притягиваются два свинцовых шара диаметром 1 м каждый? Шары касаются друг друга.

4.Расстояние между центрами Земли и Луны равно60 земным радиусам. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, которая соединяет их центры, тело будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой?

5.Найти ускорение свободного падения на Луне. Масса Луны

7 ×1022 кг, радиус 1,74 ×106 м.

6.Вычислить ускорение свободного падения вблизи поверхности планеты Марс. Масса Марса равна 6 ×1023 кг. Радиус Марса равен 3,3 ×106 м.

7.Вычислить ускорение свободного падения тел вблизи - по верхности Венеры. Масса Венеры равна 0,816 массы Земли, ра-

диус Венеры 6150 км. Масса Земли 6 ×1024 кг.

8. Найти ускорение свободного падения тела на Юпитере. Его масса в 318 раз больше массы Земли, радиус Юпитера равен 7,18 ×107 м. Масса Земли 6 ×1021 т.

Контрольные вопросы

1.В чем заключается закон всемирного тяготения?

2.Какие величины входят в формулу закона всемирного тяготения?

3.Какой физический смысл имеет гравитационная постоян-

ная?

4.Чему равно числовое значение гравитационной постоян-

ной?

5.Какие единицы измерения гравитационной постоянной вы знаете?

6.Как определяется расстояние между телами, если они имеют форму шара?

7.Что называется гравитационным полем?

8.Зависит ли величина ускорения свободного падения от массы тела?

9.От чего зависит величина ускорения свободного падения?

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ


Y			Движение по окружности– это
A
	Dl		частный		случай			криволинейного
	Dj	B	движения.		Рассмотрим				равномер-
R			ное движение точки по окружности
			(рис. 64).		Пусть		в	начальный		мо-
O		X	мент	времени t0			точка		находилась
			в положении А, а в момент времени
			t в положении B. За					интервал вре-
Рис. 64			мени	Dt = t - t0		точка пройдет				путь
			Dl	равный		длине		дугиАВ. При
этом радиус-вектор		повернется на уголDj .					При	движении по

окружности различают две скорости угловую и линейную(окружную).

Угловой скоростью равномерного движения точки по окружности называется отношение угла поворота радиус-вектора к интервалу времени, за который этот поворот произошел.

Обозначим угловую скорость символом ω (омега).

ω = Dj . Dt

Единица угловой скорости в системе СИ и СГС – радиан в се-

кунду: ω = рад . Радиан – единица измерения углов. Угол в 1 рад

– это центральный угол, дуга которого по длине равна радиусу окружности. 2π радиан = 360º, поэтому 1 рад = 57,3º (57º17’44,8’’). При равномерном движении по окружности

ω = const .

Линейной или окружной скоростью равномерного движе-

ния по окружности называется отношение длины дуги, которую описала точка за интервал времени Dt к величине этого интервала v = Dl .

Dt
r	При равномерном движении по ок-
v	ружности v = const , но				направление
r	ружности v = const , но				направление
v	скорость изменяется в каждой точке
	траектории,		поэтому			r
	траектории,		поэтому			v ¹ const
r	(рис. 65). Вектор линейной					скорости
r	направлен по касательной к каждой
v	направлен по касательной к каждой
r	точке	окружности.		Если		радиус-
v	вектор	повернется		на	угол2π , то
Рис. 65	точка совершит один полный оборот
	вокруг центра О.

Время одного полного оборота точки по окружности называется периодом обращения Т. Т = с. Если за единицу времени тело

совершит n полных оборотов, то T = 1 Þ n = 1 , n – частота вра- n T

щения: n = об = с-1 . Если точка совершит один полный оборот, то

t = T; l = 2πR; Δφ = 2π, тогда v = 2pR = 2pnR ;

w = 2p = 2pn Þ v = ωR – формула связи между угловой и линей-

ной скоростью. При равномерном движении по окружности величина линейной скорости не изменяется, но направление изме-

r r

няется в каждой точке траектории Þ v ^ a .

Вектор ускорения перпендикулярен вектору линейной скорости и направлен по радиусу к центру окружности. Поэтому уско-

рение называется центростремительным или нормальным. При

равномерном движении по окружностиa = v2 = w2 R . Причи-

n R

ной этого ускорения может быть любая сила, приложенная к телу и направленная также к центру окружности, поэтому, как и ускорение, силу, вызывающую движение по окружности, называют центростремительной силой. Центростремительное ускорение может сообщить телу любая сила. В общем случае центростремительная сила есть равнодействующая всех сил, которые действуют на равномерно движущееся по окружности тело:

n r r

å Fi = man .

i =1

Проекции величин, входящих в это уравнение, следует брать не на оси системы координат, а на радиус окружности, считая положительным направление к центру:


n			2
å(Fi )R =	mv			.

i =1		R
Рассмотрим несколько примеров.
1. Тело массой 0,2 кг равномерно		вращается к вертикальной

плоскости на невесомом нерастяжимом стержне. Насколько сила натяжения стержня в нижней точке больше, чем натяжение

стержня в верхней точке?
Дано:	2			На рис. 66		укажем	вектор
m = 0,2 кг	v	mg		ускорения	r	и	расставим
m = 0,2 кг	v	mg		ускорения	an	и	расставим
	T2	r
ω = const	T2	r		силы, которые действуют на
g = 9,8 м/с		a		силы, которые действуют на
g = 9,8 м/с	r	n		тело в точках 1 и 2.
		n
			R
(T1 -T2 ) - ?		r	R	Запишем		основное урав-
(T1 -T2 ) - ?	T1	r		Запишем		основное урав-
		a		нение динамики в векторной
		n		нение динамики в векторной
		n
	1	r		и скалярной форме:
		mg		1) Тело находится в точке 1:
	Рис. 66			1) Тело находится в точке 1:
	Рис. 66

T1 + mg

= man

; T1 - mg = m

2) Тело находится в точке 2:

T2 + mg

= man

; T2

+ mg = m

;

mv2

T - mg =

; T + mg =

; T -T = 2mg ;

T1 -T2 = 2 ×0, 2 ×9,8 = 3,92 H .

Ответ: T1 -T2

= 3,92 Н.

Силы T1 и T2 равны весу тела. Следовательно, в нижней точке

траектории вес тела больше, чем в верхней точке траектории.

2. Диск

вращается

в горизонтальной

плоскости

совершает 30 мин–1.

На

рас-

стоянии l = 20 см от оси вращения на диске

лежит тело

(рис. 67).

Каким должен быть

m g

коэффициент трения между телом и диском,

чтобы тело находилось в состоянии покоя

Рис. 67

относительно диска?

Дано:

На тело действуют три силы: сила

n = 30 мин

–1

тяжести

= 0,5 с

mg , сила нормальной реакции

l = 20 см = 0,2 м

опоры

N и сила трения Fтр. . Следова-

μ - ?

тельно,

выполняется

второй

закон

Ньютона Fтр

+ mg

+ N = man .

OX) F =

; F = μ × N ;

тр

Þ μmg =

Þ μ =

Fтр = μmg .

OY) N-mg=0; N=mg;

v = 2πRn Þ m = (2πRn)2

4π2 Rn2

; R = l ,

μ =

4 ×3,142

×0, 2 × 0,52

= 0, 2 .

9,8

Ответ: μ = 0, 2 .

3. Шарик на нити длиной 1 м равномерно вращается в горизон-

тальной плоскости.

Нить образует

вертикалью

уголα = 30o

(рис. 68). Найти период обращения шарика.

Дано:

На

тело действуют две силы– сила

тяжести mg

l = 1 м

сила натяжения нити F . Под действием этих сил тело

α = 300

движется по окружности. Поэтому F + mg

= man .

g = 9,8

OX)

F sin α = man Þ F sin α = mw2r ;

с2

OY)

F cos α - mg = 0 Þ F cos α = mg ;

T – ?

F sin α

mw2 r

Þ tgα =

w2 r

F cos α

r = l ×sin α; w =

2π

Þ tgα =

4π2l sin α

;

T 2 g

4π2l sin α

4π2l ×sin α

4π2l cos α

T 2 =

;

g × tgα

sin α

cos α

man

Рис. 68

T =

4π2l cos α

= 2π

cosα; T = 6,28 ×

1×0,866

=1,82 c .

9,8

Ответ: T = 1,82 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]