Основы механики (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
Проекция вектора |
|||||
|
При прямолинейном движении Dr |
=V ×t . |
|||||||||||||||||||||
перемещения на ось координат определяется по формуле |
|||||||||||||||||||||||
Drx |
=Vx ×t , |
|
Þ x = x0 +Vx ×t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Drx = x - x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg α = |
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|||
|
|
|
|
|
|
OB |
Þ |
tga = |
= V |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB = S |
|
|
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
OB = t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 2 |
3 4 5 t,c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Рис. 21
Если направление вектора скорости совпадает с положительным направлением оси OX (рис. 22), то x1 = x0 +Vx ×t .
|
r |
r |
|
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
O |
X |
O |
|
x0 |
x0 |
X |
|
|
Рис. 22 |
|
Рис. 23 |
Если направление вектора скорости противоположно положительному направлению оси OX (рис. 23), то x2 = x0 -Vx ×t .
Построим графики зависимости координаты от времени.
Пусть x0= 10 м, V = 2 м/с, тогда x1 = 10 + 2t, x2 = 10 – 2t.
Подставляя соответствующие значения t в наши формулы, получим значения x1 и x2 , которые занесём в таблицу. По получен-
ным данным построим графики зависимости координаты от времени равномерного движения (рис. 24).
Время t (с) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Координата x1 (м) |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
Координата x2 (м) |
10 |
8 |
6 |
4 |
2 |
0 |
21
x, м |
|
Графиком |
коорди- |
||
|
наты |
равномерного |
|||
|
|
||||
18 |
|
движения |
линия, |
является |
|
14 |
|
прямая |
наклон- |
||
|
ная к оси времени. Если |
||||
10 |
α |
x0 ¹ 0 , |
то |
график |
|
α |
не проходит через нача- |
||||
|
|||||
6 |
|
ло координат. |
|
||
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
O |
1 2 3 4 5 |
t, c |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рис. 24 |
|
|
|
|
|
Слова и словосочетания |
|
|
||
равномерное движение |
следовательно |
|
|||
совершать I (что? В. п.) |
скорость |
|
|
||
проходить II (что? В. п.) |
путь равен |
|
|
||
проходить путь |
время равно |
|
|
||
интервал времени |
стороны равны |
|
|||
площадь прямоугольника |
площадь |
|
|
||
|
|
сторона |
равна |
||
Задания
1.Найти в тексте основные формулы равномерного прямолинейного движения, записать их и выучить.
2.Даны уравнения координаты нескольких тел относительно одной системы отсчета: x1 = 3t; x2 = 10t; x3 = – 5t; x4 = 5; x5 = 5 – 2t.
Начертить графики зависимости координаты и скорости тел от
времени. Какие это движения? Чему равна скорость каждого тела? Координата измеряется в метрах, время в секундах.
3. В начальный момент времени два тела находятся на расстоянии 500 м друг от друга. Они одновременно начинают двигаться в одном направлении. Первое тело имеет скорость 10 м/с, второе – 15 м/с. Через сколько времени второе тело дого-
22
нит первое? Какой путь пройдет каждое тело? Решить задачу аналитически и графически.
4. Дан график зависимости координаты тела от времени (рис. 25). Что показывают горизонтальные части графика? Найти перемещение и путь тела за 2; 4; 12 и 22 с. Начертить соответствующий график зависимости скорости от времени.
x, м 
Рис. 25 |
t, c |
|
5. От станции отходит поезд со скоростью 36 км/ч, а через 30 мин в том же направлении отходит другой поезд со скоростью 72 км/ч. Через какое время второй поезд догонит первый поезд? Найти координату места встречи. Решите задачу аналитически и графически.
6. Два тела движутся навстречу друг другу. Первое тело имеет скорость 10 м/с, второе 54 км/ч. Расстояние между ними в начальный момент времени25 км. Через сколько времени они встретятся? Какое расстояние пройдут тела до встречи? Тела начали двигаться одновременно. Движение равномерное. Решить задачу аналитически и графически.
Контрольные вопросы
1.Какое движение называется равномерным?
2.Что называется скоростью равномерного движения?
3.Что показывает вектор скорости?
4.Что является графиком зависимости скорости от времени?
5.Чему численно равен путь на графике скорости равномерного движения?
6.Что является графиком зависимости пути от времени?
23
7.Чему численно равна скорость на графике пути равномерного движения?
8.Что является графиком зависимости координаты от времени?
ПЕРЕМЕННОЕ (НЕРАВНОМЕРНОЕ) ДВИЖЕНИЕ
Пусть тело движется прямолинейно и за интервал времени Dt1
проходит |
отрезок пути DS1 . |
За интервал времени Dt2 |
проходит |
||
отрезок |
пути DS2 |
и |
. д.т Если |
интервалы |
времени |
Dt1 = Dt2 = Dt3 = ... = Dtn , но DS1 ¹ DS2 ¹ DS3 ¹ ... ¹ DSn , то движение называется переменным.
Переменное (неравномерное) движение – это движение, при котором за равные интервалы времени тело проходит неравные отрезки пути.
Отношения отрезков пути к интервалам времени не равны между собой:
DS1 |
¹ |
DS2 |
¹ |
DS3 |
¹ ... ¹ |
DSn |
. |
|||
|
|
|
|
|||||||
Dt |
Dt |
2 |
|
Dt |
3 |
|
Dt |
n |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Но отношение отрезка пути к интервалу времени - это скорость. В данном случае значит, что V ¹ const , следовательно, пе-
ременное движение - это движение, при котором модуль скорости изменяется.
А |
Drr B |
Неравномерное движение харак- |
теризуется средней скоростью. |
||
|
Рис. 26 |
Если тело двигалось переменно и |
за интервал времени Dt |
переместилось из точки A в точку B, то |
|
оно совершило перемещение Drr (рис. 26).
Средней скоростью переменного движенияназывается от-
ношение вектора перемещения к интервалу времени, за который
r |
|
r |
||
= |
Dr |
. |
||
это перемещение произошло: V |
||||
|
||||
ср |
|
Dt |
||
|
|
|||
Вектор средней скорости показывает, какое перемещение тело совершает в среднем за единицу времени.
24
Так как при прямолинейном движении |
|
Drr |
|
= S , то V = |
S |
. |
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
ср |
t |
|
|
|
|
|
|
||
Модуль средней скорости переменного движения равен отношению всего пути ко всему времени движения. Например, поезд из Москвы в Воронеж движется 12 ч. Расстояние между городами 600 км. Значит, средняя скорость поезда за это время движения
V = |
S |
= |
600 |
км |
= 50 |
км |
. |
|
|
|
|
||||
ср |
t |
12 |
ч |
|
ч |
||
|
|
||||||
При переменном движении скорость тела все время изменяется. В каждый момент времени и в каждой точке траектории скорость имеет разные значения.
Переменное |
движение |
характеризуется |
мгновенной |
скоро- |
||||
|
|
v |
v |
v |
стью. |
|
|
|
A |
VA |
VB |
VC |
|
|
|
||
B |
C |
|
Мгновенная скорость |
|||||
|
|
DS3 |
|
(Vмгн ) – это скорость, |
ко- |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
X |
|
|
|
||
|
|
DS2 |
|
торую имеет тело в дан- |
||||
|
|
|
ный момент времени или в |
|||||
|
|
|
DS1 |
|
данной точке траектории. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 27 |
|
Пусть |
тело |
движется |
||
|
|
|
||||||
вдоль |
оси OX переменно (рис. 27). Определим |
скорость |
тела в |
|||||
точке B, в которой тело находится в момент времени t. Для этого рассмотрим отрезок пути DS1 . Точка B находится внутри этого отрезка. Этот отрезок тело проходит за интервал времени Dt1 .
Средняя скорость за этот интервал времени Vср1 = DS1 .
Dt1
Рассмотрим движение тела за интервал времени Dt2 , который меньше, чем Dt1 . За этот интервал времени тело проходит отре-
зок пути DS2 < DS1 . Средняя скорость на этом участке пути
Vcр2 = DS2 .
Dt2
25
За интервал времениDt3 < Dt2 |
тело пройдет |
отрезок |
пути |
|||||
DS3 < DS2 . |
Среднюю |
скорость |
определим |
по |
формуле |
|||
V |
= |
DS3 |
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ср3 |
|
Dt3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Чем меньше интервал времени, тем меньший отрезок пути проходит тело и тем меньше изменяется его скорость. Рассмотрим очень маленький интервал времениDtn . Интервал времени
стремится к нулю (Dtn ® 0), а отрезок пути стремится к точке B (DSn ® B). Скорость за этот интервал времени практически не
изменяется Vсрn = DSn и характеризует скорость в точке B. То
Dtn
есть, Vсрn ®V B |
, значит, VB = lim Vсрn = lim |
DS |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Dtn ®0 |
Dt ®0 |
Dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Мгновенная |
скорость – это предел средней |
скорости, |
когда |
||||||||||
интервал времени стремится к нулю: |
Vмгн = lim |
DS |
= |
dS |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Dt ®0 |
Dt |
|
|
dt |
|
||||
Мгновенная |
скорость – |
это |
первая |
производная пути |
|||||||||
по времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, рассмотрим движение тела, при котором путь из- |
|||||||||||||
меняется по закону S = 3t + 2t 2 . Определим формулу зависимости |
|||||||||||||
мгновенной скорости тела |
от времениV = |
dS |
= 3 + 4t . |
Под- |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
мгн |
dt |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ставляя в данную формулу значение времени, можно определить скорость тела в любой момент времени.
Пусть t = 4 c. Значит, V = 3 + 4 × 4 = 19 м/c. Через 4 с движения скорость тела стала равной19 м/с. Пройденный путь определим по
формуле S = 3× 4 + 2 ×42 = 44 м . За 4 с движения тело пройдёт 44 м.
Слова и словосочетания
переменное движение |
вдоль |
характеризоваться I (чем? Тв. п.) |
стремиться II (к чему? Д. п.) |
расстояние |
предел скорости |
26
средняя
скорость
мгновенная
что характеризуется чем (Тв. п.)
Переменное движение характеризуется мгновенной скоростью.
чем …, тем ... .
Чем меньше интервал времени, тем меньший отрезок пути проходит тело.
Задания
1.Автомобиль прошел путь S. Первую половину пути он имел скорость 40 км/ч. Вторую половину пути он двигался со скоростью 60 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.
2.Тело движется, и путь меняется по закону S = 6t + t 2 . Определить мгновенную скорость тела в момент времени 3 с. Какой путь пройдет тело за это время?
3.За первый час автомобиль проходит путь40 км, за второй час – 30 км, за третий час – 50 км. Определите среднюю скорость автомобиля.
4. Машина движется из городаА в городВ со скоростью 80 км/ч. Обратно из В в А она движется со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения машины на всем пути.
5. Тело движется 3 ч, затем 1 ч не движется, а потом продолжает движение в течение двух часов. Найти скорость тела за все время движения, если оно проходит путь 480 км.
Контрольные вопросы
1.Чем характеризуется неравномерное движение?
2.Что такое средняя скорость переменного движения?
3.Как определить среднюю скорость движения тела?
4.Что называется мгновенной скоростью переменного движения?
5.Какую формулу мгновенной скорости вы знаете?
27
РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
Пусть тело движется прямолинейно и |
в момент времениt0 |
r |
r |
имеет скорость V 0. В момент времени t1 скорость тела V 1. В мо-
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
мент t2 скорость V 2, в момент t3 скорость V 3 и т. д. |
|
|||||||
За |
интервал |
времени D t1=t1–t0 |
скорость |
тела |
изменяется |
|||
r |
r |
r |
За |
интервал D t2=t2–t1 |
изменение |
скорости |
||
D V 1=V 1–V 0. |
||||||||
r |
r |
r |
За |
интервал D t3=t3–t2 |
изменение |
скорости |
||
D V 2 |
=V 2–V 1. |
|||||||
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
D V 3=V 3–V 2 и т. д. |
|
|
r |
r |
r |
|||
Если |
D t1= D t2= D t3= . . . = D tn |
|
||||||
и D V 1= D V 2= D V 3= . . . |
||||||||
r
= D V n , то движение равнопеременное.
Равнопеременное движение – это движение, при котором за равные интервалы времени скорость тела изменяется на равную величину.
Рассмотрим отношение вектора изменения скорости к интер-
валу времени: |
|
r |
|
r |
|
|||
|
r |
|
r |
|
|
|
||
|
DV1 |
|
DV2 |
|
DV3 |
|
DVn |
r |
|
|
= |
|
= |
|
= ... = |
|
= const = a , |
|
Dt1 |
Dt2 |
Dt3 |
Dtn |
||||
|
|
|
|
|
||||
r
где a - это ускорение.
Равнопеременное движение это движение, при котором вектор ускорения не изменяется.
rr
r |
|
Vn |
-V0 |
|
где tn - конечный момент времени, |
|
a |
= |
|
|
|
, |
|
|
tn |
- t0 |
||||
|
|
|
|
|
||
r
Vn - конечная скорость тела.
r
Ускорение ( a ) – это физическая величина, равная отношению изменения вектора скорости к интервалу времени, за который это изменение произошло.
|
Модуль вектора ускорения равенa = |
|
DV |
|
V |
|
- |
|
V0 |
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
, если |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
V -V0 |
|
|
Dt |
|
|
Dt |
|||||||
t0 |
= 0, то a = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Определим единицы ускорения в системах СИ и СГС.
|
|
V -V0 |
|
|
м |
|
м |
|
|
|||
a = |
= |
c |
= |
|
– СИ; |
|||||||
|
|
|
c2 |
|||||||||
|
|
t |
|
c |
|
|||||||
|
V -V |
cм |
|
cм |
|
|||||||
a = |
|
0 |
= |
|
c |
= |
|
– СГС. |
||||
|
t |
|
c |
c2 |
||||||||
Например: тело движется с ускорением 2 м/c2 . Это значит, что скорость тела изменяется каждую секунду на 2 м/c.
Ускорение показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени. Скорость тела может увеличи-
ваться, а может уменьшаться. |
|
|
|
|
Равнопеременное движение, при котором |
модуль скорости |
|||
|
r |
|
r |
|
увеличивается, называется равноускоренным: |
V |
> |
V0 |
. |
Если при равнопеременном движении модуль скорости уменьшается, то такое движение называетсяравнозамедленным:
rr
V< V0 .
Из формулы ускорения можно получить формулу мгновенной
r |
r |
r |
|
скорости V =V0 + at . |
|
||
Проекция вектора скорости на ось |
|
||
OX: Vx =Vox |
+ axt |
(рис. 28). |
3 |
V |
|||
|
|
|
1 |
1.Vox |
= 0 |
ax |
> 0 |
|
2. Vox |
= 0 , ax < 0 |
|||
3. |
Vox |
> 0 |
ax |
> 0 |
4. |
Vox |
> 0 |
ax |
< 0 |
5. |
Vox < 0 |
ax |
> 0 |
|
6. |
Vox |
< 0 |
ax |
< 0 |
Þ V1 = at . |
|
Þ V1 = -at . |
V0 |
Þ V3 = V0 + at . |
0 |
Þ V4 =V0 - at . |
-V0 |
ÞV5 = -V0 + at .
ÞV6 = -V0 - at .
5
t
4
2
6
Рис. 28
29
V |
|
|
|
Графиком скорости равнопе- |
|
|
|
B |
ременного движения является |
|
α |
|
|
прямая линия, наклонная к оси |
A |
|
|
времени. |
|
|
|
|
По графику скорости равнопе- |
|
V0 |
|
|
C |
|
0 |
|
t |
t |
ременного движения можно опре- |
|
Рис. 29 |
делить ускорение тела. |
||
|
|
|
Рассмотрим график зависимо- |
|
|
|
|
|
|
сти скорости от |
|
времени при равнопеременном движении |
||
(рис. 29). В треугольнике ABC сторона BC численно равна изменению скорости, а сторона AC – времени движения.
BC =V -V ; AC = t. |
tgα = |
BC |
= |
V -V0 |
= a . |
|
|
||||
0 |
|
AC |
|
t |
|
|
|
|
|||
На графике скорости равнопеременного движения ускорение численно равно тангенсу угла наклона графика к оси времени.
a |
a > 0 |
|
|
При |
равнопеременном движении |
||||
|
1 |
ускорение не изменяется. Значит, |
|||||||
|
|
|
|
графиком зависимости ускорения от |
|||||
|
a = 0 |
||||||||
O |
|
времени |
равнопеременного движения |
||||||
|
|
|
t |
является прямая линия, параллельная |
|||||
a < 0 |
|||||||||
|
|||||||||
|
2 |
оси времени (рис. 30). |
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
Рис. 30 |
1. |
Если |
V >V0 , |
то a > 0 . |
||||
|
|
||||||||
|
|
2. |
Если |
V <V0 , |
то a < 0 . |
||||
|
|
|
|
|
3. |
Если |
V =V0 , |
то a = 0 . (Скорость |
|
тела не изменяется. Движение равномерное.) |
|
||||||||
|
Можно сказать, что равномерное движение– это движение, |
||||||||
при котором ускорение равно нулю. |
|
|
|||||||
|
Пусть дан график зависимости скорости от времени некоторо- |
||||||||
го движения тела (рис. 31). По графику скорости построим график ускорения.
30