Основы механики (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

точку с началом вектора a и направлены, как показано на рисун-

ке (рис. 12):

Ar a

1r a

6. Скалярное произведение векторов

Два вектора можно перемножить так, что их произведение будет скалярной величиной. Скалярное произведение двух векторов

r

r

a и b - это скаляр, численное значение которого равно произве-

дению модулей этих векторов на косинус угла между их направ-

11

Знак скалярного произведения зависит от знака косинуса угла α .

Если 0 £ a < p , то скалярное произведение положительное. 2

Если α = p , то скалярное произведение равно нулю. 2

Если p < a £ 2p , то скалярное произведение отрицательное.

Контрольные вопросы

1.Как найти проекцию вектора на оси координат? От чего зависит знак проекции?

2.Как найти модуль вектора, зная его проекции?

3.Как сложить два вектора по правилу параллелограмма и треугольника?

4.Как найти разность двух векторов?

5.Чему равно произведение вектора и скаляра?

6.Как разложить вектор на составляющие?

7.Чему равно скалярное произведение векторов?

МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ И ПОКОЯ

Механика – это часть физики, которая изучает механическое движение.

Рассмотрим некоторые примеры. Книга лежит на столе. Положение книги не изменяется относительно стола. Стол не изме-

12

няет своего положения относительно книги. Книга и стол не движутся. Они находятся в покое.

Если положение одного тела не изменяется относительно другого тела, то тело находится в состоянии покоя.

Машина едет. Машина изменяет свое положение относительно дороги. Машина движется. В данном случае дорога – неподвижное тело.

Механическое движение – это изменение положения одного тела относительно другого тела, которое мы считаем неподвижным.

Человек сидит в машине. Машина движется. Положение человека относительно машины не изменяется. Значит, человек находится в покое относительно машины. Положение человека изменяется относительно Земли. Следовательно, человек движется относительно Земли. Движение и покой относительны.

Часть механики, которая изучает механическое движение, но не объясняет причины изменения движения, называется кинема-

тикой. Основная задача механики – это определение положения тела в любой момент времени.

Положение любого тела можно определить только относительно другого тела, которое мы считаем неподвижным. Неподвижное тело еще называюттелом отсчёта. Обычно в качестве тела отсчёта выбирается Земля или любое тело, которое находится в покое относительно Земли (дом, дерево и т. д.).

Выберем тело отсчета. На теле отсчёта отметим точкуO. Точка O – это начало отсчёта или начало координат. Через точку O проведем три взаимно перпендикулярные оси координат: OX ^ OY ^ OZ. Они образуют прямоугольную(декартову) систему координат.

Положение точки в пространстве определяют три координаты (x;y;z) или радиус-вектор rr . Координаты – это числа на осях координат, которые определяют положение точки.

Радиус-вектор ( rr ) – это вектор, который соединяет начало координат с данной точкой.

Определим положение точкиA с координатами(6;4;5) (рис. 13). Через точку x = 6 проведём прямую линию, параллельную оси OY. Через точку y = 4 проведём прямую линию, парал-

13

rr = x2 + y 2 + z2 .

Положение точки на плоскости определяют две координаты (x;y) или радиус-вектор rr (рис. 14).

Тело отсчёта, система координат и прибор для отсчёта време-

ни образуют систему отсчёта.

Задания

1. Используя модель что движется (находится в состоянии покоя) относительно чего, описать ситуацию: человек едет в автомобиле.

Человек – автомобиль. Человек – Земля.

14

2. Построить точки с координатами A(-4;2;-6), B(-3;-3;5),

C(5;4;-3).

Контрольные вопросы

1.Что называется механическим движением?

2.Что называется механикой?

3.Что называется кинематикой?

4.Какая основная задача механики?

5.Какое тело называется телом отсчёта?

6.Что такое прямоугольная (декартова) система координат?

7.Что называется координатой?

8.Что называется радиус-вектором?

9.Что образует систему отсчета?

ТРАЕКТОРИЯ

При движении тело описывает линию. Линия движения тела называется траекторией. Например, мимо общежития едет трамвай. Трамвай движется по прямой линии. Траектория движения трамвая – прямая линия. Трамвай движется прямолинейно. Это прямолинейное движение.

Прямолинейное движение – это движение, при котором траектория – прямая линия.

Студент идёт из общежития в институт. Траектория движения студента – кривая линия. Студент движется по кривой линии. В данном случае траектория движения– кривая линия. Это криволинейное движение.

Криволинейное движение – это движение, при котором траектория - кривая линия.

Если при движении тела все его точки имеют одинаковые траектории, то это поступательное движение. Например, движение поезда.

Если все точки тела движутся по окружности вокруг одной точки, то это вращательное движение. Например, Земля движется вокруг Солнца.

Рассмотрим движение спутника вокруг Земли. Это вращательное движение. Размеры спутника во много раз меньше расстоя-

15

ния от спутника до Земли. В этом случае спутник – это материальная точка.

Материальная точка – это физическое тело, форму и размеры которого можно не учитывать в данной задаче.

Все другие единицы пути– это внесистемные единицы. Рассмотрим движение материальной точки изA в B в системе коор-

Перемещение ( Drr ) - это вектор, который соединяет начальное и конечное положение материальной точки. Вектор перемещения показывает, в каком направлении и на какое расстояние переместилась точка за данный интервал времени.

Dr = Drx2 + Dry2 = (x - x0 )2 + y( - y0 )2 .

16

S > Drr (рис. 17).

Рис. 17

Если движение прямолинейное, то пройденный путь равен модулю вектора перемещения (рис. 18).

-Какая это траектория?

-Какое это движение?

-Как движется тело?

б)

Это траектория движения тела.

-Какая это траектория?

-Какое это движение?

-Как движется тело?

17

Контрольные вопросы

1.Что называется траекторией?

2.Какие траектории вы знаете?

3.Какое движение называется прямолинейным?

4.Какое движение называется криволинейным?

5.Что такое поступательное движение?

6.Что такое вращательное движение?

7.Что называется материальной точкой?

8.Что такое путь?

9.Что называется перемещением?

РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Пусть тело движется прямолинейно и за интервал времени Dt1

= Drrn , то движение равномерное.

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором за любые равные интервалы времени тело проходит равные отрезки пути, совершая равные перемещения.

Рассмотрим отношение Drr . Интервалы времени равны и пе-

Dt

ремещения равны, значит их отношения тоже будут равны.

r

где V – вектор скорости. Он показывает, как быстро и в каком направлении движется тело.

18

Скоростью равномерного прямолинейного движения

называется отношение вектора перемещения к интервалу времени, за который это перемещение произошло.

Например, машина едет со скоростью 72 км/ч.

72 км/ч = 72 ×1000 м = 20 м/c. 3600 с

Значит, за 1 ч машина проходит 72 км или за 1 с машина проходит 20 м.

Модуль вектора скорости показывает, какой путь проходит тело за единицу времени.

При равномерном движении вектор скорости не изменяется. Значит, не изменяется направление скорости и ее числовое зна-

чение. Следовательно, графиком зависимости скорости от времени равномерного движения является прямая линия, параллельная оси времени.

19

-20

Рис. 19

Рассмотрим график скорости равномерного движения. Площадь прямоугольника ОАВС (рис. 20) равна произведению

OA ×OC .

моугольника численно равны скорости и времени движения. Из формулы скорости равномерного движения можно получить формулу зависимости пути от времени равномерного движения

S = V·t.

Построим график зависимости пути от времени. Пусть скорость V = 3 м/с, тогда S = 3t . Будем задавать значения t и соответствующие значения t и S занесём в таблицу. Каждая пара чисел определяет положение точки на плоскости. Соединим эти точки и получим график зависимости пути от времени равномер-

На графике пути равномерного движения(рис. 21) скорость численно равна тангенсу угла наклона графика к оси времени.

20