Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы механики (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

823 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

12. Подъемный кран поднимает груз массой1 т с ускорением 2 м/с2. Найти работу крана за первые 5 с после начала подъема.

13. Подъемный кран поднимает груз массой40 кг на высоту 30 м. Найти работу крана, если он поднимает груз: 1) равномерно; 2) равноускоренно с ускорением 5 м/с2.

14.Подъемный кран поднимает груз массой 200 кг равноускоренно на высоту 25 м за 5 с. Найти работу крана, если в начальный момент груз находился в состоянии покоя.

15.Найти мощность двигателя автомобиля массой 1 т, если из-

вестно,	что автомобиль	движется с	постоянной скоростью
36 км/ч,	коэффициент трения	равен 0,07: 1)	по горизонтальной

дороге; 2) вверх по наклонной плоскости с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; 3) вниз по той же наклонной плоскости.

16. Найти мощность двигателя автомобиля массой 5 т, который движется равномерно по горизонтальной дороге со скоростью 10 м/с. Коэффициент трения 0,02.

17.Поезд массой 500 т движется равномерно вверх по наклонной плоскости, уклон которой равен 10 м на каждые 1000 м пути, со скоростью 30 км/ч. Коэффициент трения 0,002. Найти мощность электровоза.

18.Автомобиль массой 2 т движется равномерно вверх по наклонной плоскости с уклоном4 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,08. Найти работу и мощность автомобиля на пути в 3 км, который он прошел за 4 с.

19.Автомобиль массой 1 т движется равномерно вниз по наклонной плоскости, уклон которой равен 4 м на каждые 100 м пути, со скоростью 54 км/ч при выключенном двигателе. Найти мощность, которую должен иметь двигатель автомобиля, чтобы

автомобиль двигался равномерно вверх по этой наклонной плоскости с той же постоянной скоростью.

20.На участке пути длиной 2 км скорость поезда массой 800 т увеличилась с 54 км/ч до 72 км/ч. Найти работу и среднюю мощность электровоза, если коэффициент трения 0,005.

21.Подъемный кран мощностью 5 кВт за 4 ч работы равномерно поднимает 360 т груза на высоту 10 м. Найти КПД крана.

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Если поднять тело над поверхностью Земли, то оно может совершать механическую работу. Если сжать пружину, то она тоже может совершать работу. В этих случаях тело и пружина имеют запас механической энергии.

Механическая энергия – это физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу. Изменение механической энергии равно работе сил, которые изменяют состояние тела (системы тел):

A = ± DE, A = ± (E – E0),

где E0 – начальная энергия тела до совершения работы; E – конечная энергия тела после совершения работы; A – работа сил, приложенных к телу.

Механическая энергия – величина скалярная, она измеряется в единицах работы.

Единицы энергии: в СИ: E = 1 Дж; в СГС: E = 1 эрг. Различают два вида энергии: кинетическую энергию (Eк) и по-

тенциальную энергию (Eп).

Кинетическая энергия (Eк) – это энергия движения.

Тело,

которое движется, обладает кинетической энергией.

Пусть тело массой m в начальный момент времени двигалось

и имело начальную энергию Eк0 (рис. 95). Если

со скоростью V0

E к 0 V

V r

на тело действует сила F , то по второ-

му закону Ньютона скорость тела изме-

няется, потому

кинетическая

энергия

тела тоже меняется. Работа любой силы

Рис. 95

ведет к изменению кинетической энер-

гии. A = Eк - Eк0

, A = F×S, так как a = 0.

По второму закону НьютонаF=ma, V 2 =V 2 + 2aS , S =

V 2

-V 2

тогда A = ma ç

-V0

mV0

или Eк

- Eк0

mV0

отсюда

; E

. Эта

формула

кинетической энер-

к0

гии. Кинетическая энергия движущегося тела равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его движения.

Потенциальная энергия (Eп) – это энергия взаимодействия. Потенциальная энергия зависит от положения тел относительно друг друга или от положения частей тела относительно друг друга. Работа, равная изменению потенциальной энергии, тоже зависит только от положения тел системы, но не зависит от формы траектории тел. Такую работу совершают консервативные силы, в частности силы тяжести (гравитации) и силы упругости.

Y		Найдем	изменение		потенциальной	энергии
		тела, поднятого в поле сил тяжести с высоты h1
h	r
		на высоту h2	(рис. 96). Если при этом тело дви-
2	F
Dr	m	жется без ускорения, то подъемная сила F = mg;
h	mg	работа, которую совершает эта сила на переме-
1		щении	Dr = h2 - h1 ,			равна
O
		A = mgh2 - mgh1 = Eп		- Eп .
Рис. 96
				2	1

Нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать произвольно, но обычно считается, что потенциальная энергия тела равна нулю на поверхности Земли, тогда формула потенциальной энергии тела, поднятого на высотуh над поверхностью Земли, имеет вид: Eп = mgh .

Теперь определим потенциальную энергию упругой деформации. Будем считать потенциальную энергию недеформированной пружины равна нулю (рис. 97). Пружина деформирована на ве-

Рис. 97 личину x1 в этом положении она обладает потенциальной

энергией Eп1 . Под действием силы упругости деформация пру-

жины меняется до величины x2 , в этом положении потенциаль-

ная	энергия	пружины	Eп2 , будет тогда
A = -DEп = -(Eп2 - Eп1 ) = Eп1		- Eп2 . Знак минус потому, что сила

упругости совершает положительную работу, а потенциальная

энергия			пружины					уменьшается. Работа										силы					упругости				равна:
	kx2			kx	2							kx	2		kx2					kx		2			kx2
A =	1	-		2		, E	п	- E	п		=	1		-	2	, E	п		=		1		, E =		2	.	Это

2			2								2				2					2			п		2
							1			2							1							2

формула потенциальной энергии упругой деформации.

Тела могут обладать кинетической и потенциальной энергией одновременно. Например, летит самолет. Он находится на высоте

h над землей, следовательно, обладает потенциальной энергией и

имеет скорость V , значит, обладает кинетической энергией. Сумма потенциальной и кинетической энергии тела называет-

ся полной механической энергией тела: W = Eк + Eп .

Рассмотрим систему тел, в которой действуют только консервативные силы (сила тяжести, сила упругости). Такая система называется замкнутой системой тел.

Докажем закон сохранения полной механической энергии для замкнутой системы на примере свободного падения. В этом случае на тело действует только сила тяжести, т.е. только внутренняя сила (рис. 98). В начальный момент времени тело находится в точке А на высоте Н. Начальная скорость тела равна нулю. Определим полную энергию тела в точке А: WA = Eп + Eк = mgH , так

	как V0 = 0 ,	EA = mgH . Тело начинает
	падать свободно. Определим полную
	энергию тела в точке В:
		mV 2
	WB = mgh +	1	, где h – высота точ-
		2

	ки В над Землей, V1 – скорость тела в
Рис. 98	точке B.

V12 =V02 + 2g (H - h) = 2g (H - h ),

= mgh +

2g (H - h) = mgh + mgH - mgh, EB = mgH .

Мы видим, что полная механическая энергия тела не измени-

лась. Кинетическая

энергия

тела

увеличилась

настолько,

насколько уменьшилась потенциальная энергия.

точкеС будет

Полная

энергия

тела

поверхности

Земли

W =

E = 0 , так

как

потенциальная энергия

тела на -по

верхности Земли равна нулю; V – скорость тела в точке С;

2 =V 2 + 2gH = 2gH ,

W =

2gH = mgH ,

E = mgH .

Полная энергия тела не изменилась. Вся потенциальная энер-

гия перешла в кинетическую. Внутренние силы (сила тяжести,

сила упругости, сила Кулона) не могут изменить полной механи-

ческой энергии системы.

В замкнутой системе тел полная механическая энергия есть

величина постоянная. В такой системе потенциальная энергия

может переходить в кинетическую энергию и наоборот в рав-

ных количествах.

Рассмотрим незамкнутую систему тел. Тело падает без на-

чальной

скорости с

высотыh, на

него действует внешняя

сила

сопротивления воздуха FC (рис. 99). Будем считать силу сопротивления воздуха постоянной величиной. На пути h сила сопро-

тивления

воздуха

совершит

работу: A = F H cos1800 = -F H .

Полная энергия тела в начальной точке А равна:

WA = mgH , так как

V0 = 0 .

Полная энергия тела у поверхности Земли в

точке В будет: W =

. Определим скорость

точке В:

(V = 0 ),

V 2 =V 2 + 2aH

= 2aH

= 2H æ g -

ö .

mg - F = ma , a = g -

, V 2

m ø

Рис. 99

Подставим значение скорости в формулу энергии:

W =	m	2H	æ g -	FC	ö	= mgH - F H =W	A	- F H .

B	2		ç	÷		C		C
			è	m ø

Полная энергия в точке В меньше, чем в точкеА. Определим изменение полной механической энергии: W = WB – WA = –FCH = AC,

W = AC, где AC – работа внешней силы.

Если система не замкнутая, то полная механическая энергия не сохраняется. Изменение полной механической энергии -не замкнутой системы тел равно работе внешних сил.

Однако механическая энергия не исчезает, она переходит в другие виды энергии (например, в тепловую).

В любых явлениях природы энергия не исчезает и не возникает, а только переходит из одного вида в другой в эквивалентных (равных) количествах.

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УДАРЫ

Удар называется центральным, если скорости шаров лежат на линии, которая соединяет центры шаров.

Абсолютно упругий удар – это удар, при котором полная механическая энергия системы не изменяется. Полная механическая энергия до удара равна полной механической энергии после удара.

Рассмотрим систему

тел

из двух

шаров

массойm

и m

(рис. 100). До удара эти шары имели скорости V1 и V2 . При ударе

возникают упругие силы,

которые меняют скорости шаров. U1

V 2

U2 – скорости шаров после удара

(рис. 101). Если

удар

абсолютно

Рис. 100

упругий и система замкнутая, то

можно написать закон сохранения

механической

энергии

закон

сохранения импульса системы:

U 1

U 2

m V 2

m U 2

1 1

2 2

1 1

2 2

Рис. 101

m1V1 + m1V2 = m1U1 + m2U2 .

Абсолютно неупругий удар– это удар, в результате которого

тела начинаю двигаться с одинаковой скоростью. Рассмотрим замк-

r r

нутую систему тел из двух шаров массой m1 и m2 , V1 и V2 – скоро-

сти шаров до удара; U – общая скорость шаров после удара (рис. 102). При абсолютно неупругом ударе полная механическая

энергия системы	не сохраняется,	она переходит в		r
другие виды энергии (например, тепловую).			m1	U
				m2
Система замкнутая, поэтому можно написать
закон сохранения импульса системы тел:
r	r	r	Рис. 102
m1V1 + m1V2 = (m1 + m2 )U .

Рассмотрим несколько примеров.

1. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на нити длиной 1 м. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Найти скорость пули, если известно, что шар с пулей отклонился на угол 10º.

Дано:
m =103 m
ш	п	a
l = 1 м		a
a =100
Vп - ?		r
	h	Vп
	h

Решение Система пуля-шар –

изолированная, поэтому использует зак сохранения импульса

r r mпVп = (mп + mш )V ,

V =

mпVп

Vп

, V =1001V , где V – скорость

mп + mш

mп +1000mп

1001

пули, V – скорость пули и шара после столкновения. По закону

сохранения механической энергии

(m + m )V 2

= (mп + mш )gh ÞV 2 = 2gh ,

cos α =

l - h

Þ h = l (1 - cos α), V 2

= 2gl (1- cos α),

Vп =1001 2gl (1- cos α);Vп =1001

2 ×9,8 ×1(1- 0,9848) = 546, 4 м/с .

Ответ: Vп = 546,4 м/с.

2. Два маятника одинаковой длиныl с массами m1 и m2 ( m1 < m2 ) в состоянии покоя соприкасаются друг с другом. Маятник с массой m1 отклонили на высоту h1 и отпустили. Найти высоту, на которую поднимутся оба шара после удара. Найти ве-

личину, на которую уменьшится механическая энергия системы из двух маятников после удара. Удар считать абсолютно неупругим и центральным.

Дано:

Решение

m1 , m2 , l

По закону сохранения энергии

m < m

m1 gh 1 =

m1V12

ÞV1 = 2gh1 ,

– скорость первого шара до

Найти:

удара.

DW - ?

По закону сохранения импульса

m1 2gh1

– ?

m1V1 = (m1 + m2 )V ÞV =

m1 + m2

V – скорость шаров после удара;

(m + m )V 2

(m1 + m2 )gh2 Þ h2

V 2

h2 =

2gh

× h1 ,

2g (m1 + m2 )2

(m1 + m2 )2

DW = m gh -

(m + m

)gh = m gh -

(m1

+ m2 )× m12

gh ,

(m1 + m2 )2

1 1

DW =

m1m2 gh1

m1 + m2

h =

× h , DW =

m m gh

Ответ:

1 2 2

+ m2

m1 + m2

3. Два тела движутся в одном направлении. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и догоняет тело массой 3 кг, которое

движется со

скоростью1 м/с. Найти

скорости тел после удара,

если

считать

удар

центральным:

1)и абсолютно неупругим;

2) абсолютно упругим.

Дано:

Решение

m1 = 2 кг

1. Удар абсолютно неупругий.

V0 = 3

м/с

По закону сохранения импульса

m2 = 3 кг

m1V0

+ m2V0 =

(m1 + m2 )V ,

= 1 м/с

V =

m1V0 + m2V0

; V =

2 ×3 + 3 ×1

= 1,8 м/с.

m1 + m2

2 + 3

Найти

2. Удар абсолютно упругий.

V1 – ? удар

m V

+ m V

= m V + m V – по закону сохранения

неупругий

импульса.

V2 – ? удар

упругий

m1V02

m2V02

m V

– по закону сохранения механиче-

ской энергии. После решения системы из двух уравнений с двумя неизвестными получим:

V =	(m1	- m2 )V0 + 2m2V0	2	; V =	(m2	- m1 )V0	2	+ 2m1V0		,
		1	2				2	1

1		m1 + m2	2			m1 + m2
		m1 + m2				m1 + m2
V = (2 - 3)3 + 2 ×3×1 = 0,6 м/с; V =						(3 - 2) ×1 + 2 × 2 ×3			= 2,6 м/с
V = (2 - 3)3 + 2 ×3×1 = 0,6 м/с; V =									= 2,6 м/с
1		2 + 3	2			2 + 3
		2 + 3				2 + 3

Ответ: 1. V1 = 1,8 м/с; 2. V1 = 0,6 м/с, V2 = 2,6 м/с.

Контрольные вопросы

1.Что характеризует энергия?

2.Чему равно изменение энергии?

3.В каких единицах измеряется энергия?

4.Какая энергия называется кинетической энергией? Напишите формулу кинетической энергии.

5.Приведите примеры сил, которые зависят от положения тел или частей тела относительно друг друга.

6.От чего зависит потенциальная энергия тела?

7.Напишите формулу потенциальной энергии упругой деформации в энергию тела поднятого над Землей.

8.Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии.

9.Сформулируйте закон изменения полной механической энергии, если на тело действуют внешние силы.

10.Сформулируйте общий закон сохранения энергии.

Задания

1.На тело массой m = 2 кг действует постоянная сила F = 5 Н. Тело движется 2 с. Определить кинетическую энергию тела (V0 = 0 ).

2.Тело массой m = 10 кг падает свободно с высотыh = 50 м. Определить потенциальную и кинетическую энергию тела на высоте h =10 м и в момент падения на Землю.

3.Тело массой m = 5 кг брошено вертикально вверх со скоростью V = 20 м/с. Чему будет равна потенциальная и кинетическая энергия тела в момент времени 1 с и в верхней точке?

4.Тело брошено вертикально вверх с высоты h = 10 м со скоростью V = 20 м/с. Определить по закону сохранения энергии, до какой высоты поднимется тело относительно Земли и с какой скоростью упадет на Землю.

5.Тело начинает двигаться по наклонной плоскости безна чальной скорости. Угол наклона плоскости 30º, длина плоскости 10 м. Определить по закону сохранения энергии скорость тела в конце плоскости. Трение не учитывать.

6.Тело массой m = 2 кг подвешено на ни-

ти, длина нити l = 1 м. Оно начинает дви-

гаться из горизонтального положения(точ-
ка А) (рис. 103). Чему равно натяжение нити
в момент прохождения положения равнове-
сия (точка В)?	Рис. 103

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]