Основы механики (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
|
r |
|
|
r |
|
|
|
V |
|
|
V |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Fтр.кач. |
|
Fтр.ск. |
|
|
|
|
|
а |
|
б |
|
|
|
|
Рис. 49 |
|
|
|
|
|
Как показывает опыт, величина трения качения много меньше |
|
|||||
трения скольжения; Fтр.ск. >> Fтр.кач. |
|
|
|
|
|
|
Направление силы трения всегда противоположно вектору |
|
|||||
скорости тела. Причинами трения являются силы упругости, воз- |
|
|||||
никающие при деформации выступов, которые есть на поверхно- |
|
|||||
стях обоих тел и притяжение между частицами тел, которые со- |
|
|||||
прикасаются. Как показывает опыт, величина силы трения про- |
|
|||||
порциональна силе нормального давления и зависит от материала |
|
|||||
трущихся |
поверхностей |
и |
чистоты |
их ; |
обраб |
|
Fтр. @ Fд ; Fд = N;Þ Fтр. = μ × N , где μ - коэффициент трения.
r |
r r |
r |
= 0 . Най- |
Если тело движется равномерно, то Fтр. |
+ N + F |
+ mg |
дем проекции действующих сил на оси координат (рис. 50):
Y r
N
r
Fтр.
m
Рис. 50
OX) F - Fтр. = 0 Þ F = Fтр. ,
OY) N - mg = 0 Þ N = mg .
r
F
X
Þ |
F = Fтр. = μ × N = μmg , |
F – сила тяги (движущая сила).
51
Если на тело действует сила тяги, но тело остается в покое, то возникает сила трения покоя Fтр.пок. . Для данного тела и данной
опоры модуль силы трения покоя – переменная величина. |
|
|||||||||||||||
|
r |
|
V = 0 |
Модуль силы трения -по |
||||||||||||
|
|
коя всегда равен модулю си- |
||||||||||||||
Fтр.пок.. = 0 |
|
|
|
|
|
|
F = 0 |
лы, действующей на тело па- |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раллельно поверхности опоры |
|||
|
|
|
Рис. 51 |
|||||||||||||
|
|
|
(рис. 51). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
|
|
|
|
|
Сила трения |
покоя |
равна |
|||||||
|
|
|
|
V = 0 |
||||||||||||
|
Fтр.пок. ¹ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю, если на тело не дейст- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ¹ 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вует |
сила, параллельная |
по- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
верхности опоры (рис. 52). |
|||
|
|
|
Рис. 52 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Максимальное значение сила трения покоя имеет перед -мо |
|||||||||||||||
ментом начала движения Fтр.покоя max = μпокоя N . |
|
|
||||||||||||||
|
Поэтому |
|
0 £ Fтр.пок. £ μпок. N . |
Для |
трущихся |
поверхностей |
||||||||||
μпок. > μ Þ сила трения покоя больше, чем сила трения скольжения.
Контрольные вопросы
1.Что называется силой тяжести?
2.Какое направление имеет сила тяжести?
3.Как определить числовое значение силы тяжести
4.Что такое центр тяжести тела?
5.Что называется весом тела?
6.Что называется силой упругости?
7.Что такое деформация?
8.В чем заключается закон Гука?
9.Что показывает коэффициент упругости?
10.Что называется силой трения?
11.Какие виды трения при движении тел вы знаете?
12.Что является причиной возникновения сил трения?
13.От чего зависит величина коэффициента трения?
14.Что называется силой трения покоя?
52
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
Мы знаем, что если на тело не действуют силы(или равнодействующая сила равна нулю), то тело находится в покое или движется
r r
равномерно и прямолинейно. Значит, V = const : a = 0 . Но, если эти условия не выполняются, то тело движется с ускорением.
Второй закон Ньютона: ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально силе, действующей на тело и обратно пропорционально массе этого тела.
r |
|
r |
|
|
F |
||
a |
= |
|
. |
|
|||
|
|
m |
|
Второй закон Ньютона – это основной закон динамики.
1. Направление ускорения совпадает с направлением силы, со-
r r
общающей телу это ускорение ( a F ).
2.Если на тело, масса которого постоянна, действует постоянная сила, то и ускорение будет постоянным. Значит, тело будет двигаться равнопеременно.
3.Если на тело действует несколько сил, то ускорение сооб-
r
r |
r |
r |
|
|
R |
|
|
|
щает телу равнодействующая сила ( a |
R ) a |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
m |
r |
|
|
4. Если на тело действует несколько сил, но |
|
r |
= 0 . |
|||||
R = 0 |
, то a |
|||||||
Следовательно, тело движется равномерно или находится в покое.
5. |
Сила, действующая на тело равна произведению массы это- |
|||
|
r |
v |
|
|
го тела на его ускорение F = ma . |
r |
|
||
6. |
|
n |
r |
|
Если на тело действует несколько сил, то åFi |
= ma – это |
|||
i=1
равенство называется уравнением движения.
7. Физическая величина, которая характеризуется отношением силы к ускорению, которое получает тело под действием этой
силы, называется массой тела m = F . a
8. Под действием одинаковой силы тела разной массы получают разные ускорения. Тело большей массы получает меньшее
53
ускорение. Скорость этого тела изменяется медленнее, следовательно, оно более инертно. И наоборот.
9. Единицы измерения силы зависят от выбора системы единиц
F= m × a = кг × м =Н – СИ.
с2
1Н – это сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение
1 м/с2.
F= m × a = г × см = дин – СГС.
с2
За единицу силы в системе СГС принимают силу, которая сообщает телу массой 1 г ускорение 1 см/с2.
1 Н =1 кг ×1 |
м |
=103 г ×102 |
см |
=105 |
г ×см |
=105 дин. |
|
с2 |
с2 |
с2 |
|||||
|
|
|
|
На практике часто пользуются технической системой. В технической системе единицей силы является килограмм-сила кг ×с .
Килограмм-сила – это сила равная силе тяжести, действующей на эталон массы 1 кг на уровне моря и на широте 45º.
1 кг ×с =1 кг ×9,8 м = 9,8 Н .
с2 Третий закон Ньютона – закон взаимодействия тел: силы, с
которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине, направлены по одной линии и имеют противоположные направ-
ления:
r r
F12 = -F21 ,
r
где F12 – сила, с которой второе тело действует на первое тело;
r
F21 – сила, с которой первое тело действует на второе тело.
rr
Силы F12 |
и F21 |
называются действующей |
и |
противодейст- |
вующей силами (рис. 53). |
r |
|
||
r |
r |
|
|
|
Силы F12 и F21 |
приложены к разным телам. |
F12 |
приложена к |
|
|
r |
|
|
|
первому телу, |
F21 – ко второму. Поэтому они не уравновешива- |
|||
ют друг друга, но могут быть компенсированы другими силами. Например, силами трения.
54
r |
r |
F |
F21 |
12 |
|
r r
F12 + Fтр1 = 0 ,
r r
Fтр. = 0 , F21 + Fтр2 = 0 .
r |
r |
F |
Fтр2 |
тр1 |
|
Рис. 53
Если между телами действуют только силы взаимодействия, то оба тела будут двигаться с ускорениями (рис. 54). По второму
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
r |
||
закону Ньютона F |
|
= m a ; F |
|||||||||||
|
r |
|
|
r |
12 |
r |
1 1 |
m |
21 |
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
2 |
|
||||
Þ m a |
= -m |
a |
|
, |
1 |
= - |
|
. |
|||||
2 |
r |
|
|
||||||||||
1 1 |
2 |
|
|
|
|
m1 |
|||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F21 |
|
|
||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
, но |
r |
r |
= m2 a2 |
F12 = -F21 Þ |
||
Ускорения, которые тела получают при взаимодействии, обратно пропорциональны массам тел и имеют противоположные направления.
Рис. 54
Алгоритм решения задач
1.Изучить условие задачи, выяснить значение новых терминов
инепонятных выражений.
2.Записать кратко условие задачи и внести табличные данные, если они требуются для решения задач.
3.Выбрать систему отсчета.
4.Сделать справа схематический чертеж. Указать на чертеже все кинематические характеристики, указать вектор ускорения.
5.Расставить на чертеже все силы, которые приложены к телу.
r r |
r |
r |
6. Составить уравнение движения F1 + F2 |
+ ... + Fn |
= ma . |
7. Найти проекции составляющих сил на оси координат. Составить уравнение движения в проекциях.
55
åFx = max , åFy = ma y . В |
случае прямолинейного движе- |
ния одно из ускорений ax или a y |
обычно равно нулю. |
8. Если одно тело скользит по поверхности другого, то силу трения нужно выразить через коэффициент трения и силу нор-
мальной реакции опоры Fтр. = μ × N .
9. Определить число неизвестных величин в уравнении движения. Если число неизвестных больше числа уравнений, то составить дополнительно уравнения на основании формул кинематики.
10.Решить задачу в общем виде относительно искомого неизвестного.
11.Поставить в окончательную формулу числовые значения заданных величин в системе СИ.
12.Произвести вычисления.
r
V ?
X
α
Дано:
V0 = 0
S = 5 м h = 3 м
μ = 0, 2
g = 10 м/с2
V - ? t - ?
|
Y r |
|
|
|
Рассмотрим |
несколько |
при- |
||||||
|
|
N |
|
r |
|
меров. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1. |
Тело начинает двигаться |
||||||
|
|
|
|
|
Fтр |
|
|||||||
r |
|
|
|
|
|
по наклонной |
плоскости |
дли- |
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
ной 5 м с высоты 3 м, коэффи- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
|
|
|
|
циент трения – 0,2. Найти ско- |
||||||
S |
mg |
|
h |
рость тела в конце наклонной |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
плоскости и время его движе- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ния |
от |
начального положения |
||||
Рис. 55 |
|
|
|
|
|
до конца наклонной плоскости. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Считать g = 10 м/c2 (рис. 55). |
||||||
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fтр. |
+ mg |
+ N = ma . |
|
|
|
|
||
OX) mg sin α - Fтр. = ma ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
OY) |
N - mg cos α = 0 Þ N = mg cos α . |
|
|||||||||||
F |
= μN = μ × mg × cos α; |
|
|
|
|
|
|
||||||
тр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg ×sin α - m × mg ×cos α = ma Þ a = g (sin α - m × cos α ) . |
|||||||||||||
|
sin α = |
h |
, |
|
|
|
|
1 - sin2 |
æ h ö2 |
||||
|
|
|
|
|
cos α = |
α = 1 - ç |
|
|
÷ . |
||||
|
s |
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è s |
ø |
||||
56
|
æ |
|
|
æ h ö |
2 ö |
|
æ |
|
|
|
|
2 |
ö |
|
a = g |
ç h |
- μ 1 - |
÷ |
; |
3 |
|
æ |
3 ö |
2 |
|||||
ç s |
ç ÷ |
÷ |
ç |
|
|
÷ |
||||||||
|
|
è s ø |
|
a = 10ç |
- 0,2 |
× 1 - ç |
÷ |
|
÷ = 5,2 м / c . |
|||||
|
è |
|
|
|
ø |
|
ç |
5 |
|
è |
5 ø |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
s = v |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
v = 2 × 5, 2 × 5 = 7, 2 м / с2; |
|
|||||
|
- v0 Þ v = 2as ; |
|
|
|||||||||||
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = |
at |
2 |
2s |
; |
|
|
t = |
2 × |
5 |
= 1,3 c. |
|
|||
|
Þ t = |
a |
|
|
5 ,2 |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
v = 7, 2 м/с,t =1,3 c . |
|||||
2. Система трех тел, которые связаны между собой нитью, дви- |
||||||||||||||
жется по поверхности стола (рис. 56). Между телами 1 и 2 укреп- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
лен |
динамометр, |
пока- |
||||
|
|
|
|
|
F |
|
2 |
|
зания которого 6 Н. Оп- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
ределить |
|
|
ускорение |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
системы и коэффициент |
||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
трения между телом 2 и |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
поверхностью стола, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 56
если m1 = 0,5 кг;m2 =1 кг; m3 =1,5 кг . Трением в блоках и массой
динамометра пренебречь. Нить считать нерастяжимой и невесомой, g = 10 м/с2.
Дано:
m1 = 0,5 кг
m2 =1 кг m3 =1,5 кг
F = 6 Н
g = 10 м/с2
a – ? μ - ?
Выберем систему |
отсчета. Проведем |
оси OX и |
|||||
OY |
в направлении |
движения1-го |
и 2-го |
тела |
|||
(рис. 57). На первое тело действуют силы: |
|
|
|||||
r |
|
r |
|
|
|
|
|
m1 g |
– сила тяжести и F – сила упругости, с кото- |
||||||
рой пружина динамометра действует на тело1. |
|||||||
Равнодействующая этих |
сил |
сообщает |
первому |
||||
телу ускорение, которое направлено вверх. На вто- |
|||||||
рое |
тело действуют |
силы: |
r |
– |
сила |
тяжести, |
|
m2 g |
|||||||
r |
|
|
|
|
|
r |
|
N – сила нормальной реакции опоры, F – сила упругости, с которой пружина динамометра дейст-
57
r
вует на тело 2, T – сила натяжения нити, с которой нить действует на тело2. Равнодействующая этих
r
сил сообщает телу ускорение a в горизонтальном направлении.
На третье тело действуют силы: |
r |
r |
m3 g |
– сила тяжести, T – сила |
натяжения нити, с которой нить действует на тело 3. Равнодействующая этих сил сообщает телу3 ускорение, которое направлено вертикально вниз.
Y
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
r |
N r |
|
|||
|
|
F |
|
a |
|||
|
|
F |
тр. |
|
T |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
a |
||
|
|
|
|
||||
F |
|
|
r |
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
T |
|
r |
|
|
|
m2 g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
||
|
|
|
m3 g |
||||
m1 g |
|
|
|
|
|
||
O X
Рис. 57
Запишем уравнение движения для каждого тела.
r |
r |
r |
r |
r |
r r r |
r |
r |
r |
r |
F + m1 g |
= m1a; T + m2 g |
+ Fтр. + F + N = m2a; T + m3 g |
= m3a . |
||||||
Найдем проекции сил на оси координат:
1. OY),
F - m1 g = m1a,
a = F - m1 g , m1
a = 6 - 0,5 ×10 = 2 м/с2 . 0,5
2. OX), |
3. OY). |
T - Fтр. - F = m2 , |
T - m3 g = -m3a, |
OY) |
T = m3 g - m3a. |
N - m2 g = 0, |
|
N = m2 g, |
|
Fтр. = μ × N = μm2 g. |
|
ìT - μm2 g - F = m2a; |
|
m g - m a - F - m a |
|
||
Решим систему í |
Þ μ = |
3 |
3 |
2 |
, |
|
m2 g |
|
|||
îT = m3 g - m3a. |
|
|
|
|
|
58
μ = m3 g - F - a (m3 + m2 ) ; μ = 1,5 ×10 - 6 - 2 (1,5 +1) = 0, 4.
m2 g |
1×10 |
|
Ответ: a = 2 м/с2; m = 0,4 . |
Задания
Самостоятельно решите задачи.
1. Грузовой автомобиль массой 10400 кг движется равномерно по горизонтальной дороге. Найти силу тяги автомобиля, если ко-
эффициент трения равен 0,03. Сопротивление воздуха не учитывать (g = 10 м/с2).
2.Под действием силы 500 Н тело движется с постоянной
скоростью по горизонтальной поверхности. Найти массу тела, если коэффициент трения равен 0,05 (g = 10 м/с2).
3.Поезд массой 16 ×105 кг отходит от станции. С каким уско-
рением движется поезд, если сила тяги электровоза равна 4 ×105 Н,
акоэффициент сопротивления движению равен 0,005 (g = 10 м/с2)?
4.Поезд массой 2 ×106 кг отходит от станции. Какой скорости достигнет поезд на расстоянии 1000 м, если сила тяги локомотива
равна 3 ×105 Н? Через сколько времени будет достигнута эта скорость? Коэффициент сопротивления движению равен 0,005.
5. Электропоезд через 4 мин после начала движения имеет скорость 200 км/ч ( » 55 м/с). Масса поезда 6 ×105 кг. Сила сопротивления движению равна 3 ×10 4 Н. Найти силу тяги электровоза.
6.Тело массой 5 кг лежит на поверхности стола. Какую си-
лу нужно приложить к телу, чтобы оно начало двигаться в горизонтальном направлении с ускорением0,5 м/с2? Коэффициент трения равен 0,1.
7.Поезд массой 106 кг движется под действием постоянной
силы |
тяги 15 ×10 4 Н. На |
горизонтальном участке дороги длиной |
500 м |
скорость поезда |
увеличивается с10 м/с до 15 м/с. Найти |
силу сопротивления движению поезда. |
||
8. |
Троллейбус массой 12 ×103 кг отходит от остановки. Через |
|
3 с скорость троллейбуса достигает 6 м/с. Какую силу тяги развивает мотор троллейбуса, если коэффициент сопротивления движению равен 0,05?
59
9.Автобус движется по горизонтальной дороге со скоростью 15 м/с. Перед остановкой водитель выключает двигатель. Через сколько времени остановится автобус, если коэффициент сопротивления равен 0,5? Какой путь пройдет автобус за это время до остановки?
10.С какой скоростью двигался автомобиль, если после выключения двигателя он прошел до остановки250 м? Коэффициент сопротивления движению равен 0,02.
11.Подъемный кран поднимает груз массой 1000 кг (рис. 58).
Найти силу натяжения каната, если груз движется с ускорением
5 м/с2.
12. Груз |
массой |
500 кг |
|
поднимают |
на |
канате |
r |
вертикально вверх. Прочность |
m a |
||
|
|||
каната на разрыв 15000 Н. С |
|
||
каким |
|
максимальным |
Рис. 58 |
ускорением можно поднимать |
|||
груз, чтобы канат не разорвался?
13.Тело массой 50 кг поднимают при помощи каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Найти силу натяжения каната. Движение считать равноускоренным.
14.На полу лифта лежит груз массой 100 кг. Найти вес это-
го груза, если:
а) лифт поднимается вертикально вверх с ускорением 0,3 м/с2;
б) лифт движется равномерно; в) лифт опускается вертикально вниз с ускорением 0,3 м/с2; г) лифт свободно падает.
15.Космическая ракета стартует с поверхности Земли вертикально вверх с ускорением15 м/с2. Чему равен вес космонавта при старте, если его масса 80 кг?
16. Тело массой 100 кг движется по горизонтальной плоско-
r
сти с ускорением 1 м/с2 под действием постоянной силы F . Сила направлена под углом 30º к горизонту. Найти значение этой силы, если коэффициент трения равен 0,3.
17. Тело движется по наклонной плоскости под действием силы тяжести с ускорением 3,46 м/с2 (рис. 59).
60