Основы механики (Для студентов-иностранцев). Учебное пособие
.pdf
Проекция результирующей силы на эту ось будет:
Fх = F1х + F2х = - F1 + F2.
Направление результирующей силы совпадает с направлением
бóльшей силы. Найдем точку приложения результирующей силы
r
(точку О). Момент силы F равен сумме моментов составляющих
r r
сил F1 и F2 :
М = М1 + М2.
r
Относительно точки О вращающий момент силы F равен нулю (М = 0, так как d = 0). Тогда
М1 + М2 = 0.
Это возможно, если моменты составляющих сил имеют противоположные знаки, т.е. точка О находится справа от точки В.
Тогда F1· АО = F2 |
· ВО => |
AO |
= |
F2 |
. |
|
|
||||
|
|
BO F1 |
|||
Таким образом, точка приложения результирующей силы находится на продолжении прямой(АВ), соединяющей точки приложения слагаемых сил и расстояния от неё до этих точек обратны величинам слагаемых сил.
3. Рассмотрим общий случай: необходимо сложить несколько параллельных сил, расположенных в одной плоскости (рис. 116).
|
|
|
|
|
r |
|
r |
r r r r |
|
|
|
|
|
|
|
F = F1 + F2 + F3 + F4 . |
|||
|
X 2 |
X |
F3 |
X 4 |
X Проекция результирующей силы |
||||
O |
|
|
|
|
X3 |
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
F на координатную ось ОУ рав- |
|||||
F1 |
r |
|
r |
на сумме проекций составляю- |
|||||
|
F4 |
||||||||
Y |
F2 |
|
F |
|
щих сил на эту ось: |
||||
|
Рис. 116 |
|
Fу =F1у + F2у + F3у + F4у = |
||||||
|
|
|
|
|
= F1 + F2 – F3 + F4. |
||||
Знак |
проекции |
покажет |
|||||||
направление |
результирующей силы. |
||||||||
Найдем координату х точки приложения этой силы. Вращательный момент результирующей силы равен сумме моментовсо ставляющих сил относительно любой точки вращения:
М = М1 + М2 + М3 + М4.
Относительно точки О вращающий момент результирующей силы будет
F · х = F1 · 0+ F2 · х2 - F3 · х3 + F4 · х4;
111
х = F2 × x2 - F3 × x3 + F4 × x4 , F
r
где х – координата точки приложения результирующей силы F .
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА
Любое твердое тело можно разделить на большое число малых частей. На каждую часть массойmi дей-
r
ствует своя сила тяжестиmi g , причем все эти силы параллельны (рис. 117).
Равнодействующая этих сил равна их сумме и является силой тяжести, которая действует на все тело со стороны Земли:
n
r r mg = åmi g .
i =1
Точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на отдельные части тела(или на тела, составляющие систему тел), называется центром тяжести тела (системы тел).
x = |
åin=0 mi xi |
, y |
= |
åin=0 mi yi |
, z |
= |
åin=0 mi zi |
|
åin=0 mi |
åin=0 mi |
|||||
0 åin=0 mi |
0 |
|
0 |
|
|||
Относительно центра тяжести сумма моментов составляющих сил тяжести тела (системы тел) равна нулю при любом расположении тела (системы тел).
а) Центр тяжести С однородного тела правильной геометрической формы находится в его геометрическом центре(рис. 118). Центр тяжести может находиться вне тела.
С |
С |
С |
С |
|
|
|
С |
Рис. 118
112
б) Если тело неоднородно или имеет неправильную форму, положение центра тяжести определяют экспериментально. Для этого тело подвешивают в разных точках, проводя при этом вертикальные линии, проходящие через точки подвеса(рис. 119). Точка пересечения этих линий и есть центр тяжести тела.
С
Рис. 119
с) Определим положение центра тяжести системы ,телсостоящей из двух грузов массой m1 и m2, закрепленных на стержне (рис. 120). Массу стержня можно не учитывать.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положение |
центра |
тяже- |
|||
|
|
A |
C |
|
B |
|
|
|
сти системы тел определяем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по правилу сложения парал- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
лельных сил (это точка при- |
||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
m2 g |
|
ложения равнодействующей |
|||||||||||
|
m1g |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
силы mg ): |
mg |
= m g + m g . |
|||||||||
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
Центр |
|
1 |
2 |
||||
|
|
|
Рис. 120 |
|
|
|
|
|
|
|
тяжести С |
делит |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расстояние |
между центрами |
||||||||
|
|
|
грузов А и В в |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тяжести |
|
отношении, обратном |
отношению |
масс |
||||||||||||||
этих грузов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
m1 g |
= |
CB |
или |
m1 |
= |
CB |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
m2 g |
|
|
AC |
|
|
AC |
|
|
|
|||||
ВИДЫ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В статике различают три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.
Равновесие называется устойчивым, если при отклонении тела от положения равновесия возникают силы, которые стремятся вернуть тело в первоначальное положение равновесия (рис. 121):
r |
r r |
mg |
+ N = F . |
113
При отклонении тела из положения устойчивого равновесия
его потенциальная энергия увели- |
r |
чивается. |
N r |
Равновесие называется неустой- |
N |
чивым, |
если при |
отклонении |
тела |
|
|
r |
|
|
|
|||||||
|
|
F |
|
|
|
|||||||||||
от |
положения |
равновесия |
возника- |
|
r |
|
r |
|
|
|
||||||
ют |
силы, |
которые |
стремятся |
уда- |
|
|
|
|
|
|||||||
|
mg |
|
|
|
|
|||||||||||
лить тело от первоначального -по |
|
|
|
mg |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ложения равновесия (рис. 122): |
|
|
|
Рис. 121 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg + N = F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
|
При отклонении тела из положе- |
||||||||
|
|
|
|
r |
|
ния неустойчивого равновесия его по- |
||||||||||
|
|
N |
|
|
|
тенциальная энергия уменьшается. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
N |
|
вид |
||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
Безразличным называют |
такой |
|||||||
|
|
|
|
|
|
равновесия, когда |
при изменении |
по- |
||||||||
|
|
r |
|
r |
F |
|
ложения тела оно остается в равнове- |
|||||||||
|
|
mg |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
mg |
|
|
сии (рис. 123). |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Рис.122 |
|
|
|
В безразличном равновесии потен- |
||||||||||
|
|
|
|
циальная энергия тела не изменяется. |
||||||||||||
|
Тело, |
находящееся |
в |
|
положении |
- ус |
|
r |
r |
|
|
|||||
тойчивого |
равновесия, |
обладает |
мини- |
|
N |
N |
|
|
||||||||
мальной |
потенциальной |
энергией. Это |
|
|
|
|
|
|||||||||
справедливо и том случае, |
если тело име- |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
r |
r |
||||||||||||||
ет |
не одну точку |
опоры, а |
опирается |
на |
|
|||||||||||
|
mg |
mg |
||||||||||||||
плоскость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.123 |
|
|
|||
|
Положение тела устойчиво, если верти- |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
кальная |
линия, |
проведенная |
через |
центр |
|
|
|
|
|
|||||||
тяжести тела, проходит через площадь опоры.
Равновесие тел, имеющих плоскость опоры тем устойчивее, чем больше площадь опоры и чем ниже находится центр тяжести тела.
Рассмотрим пример. Определить положение центра тяжести однородной пластины. Ширина пластины а = 0,1 м, длина b = 0,2 м. На расстоянии с = 0,05 м от конца пластинки находится центр круга диаметром d = 0,06 м, вырезанного из пластины.
114
Дано: |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
||
a = 0,1 м |
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
||
b = 0,2 м |
|
r |
силу тяжести |
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
mg |
|
|
|
|
|
||||
c = 0,05 м |
|
пластины без вы- |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
d = 0,06 м |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
реза, m2 g – силу |
|
O2 x O |
O1 c |
|
|
||||
|
|
тяжести |
пласти- |
|
|
|
||||
|
|
ны |
с вырезом |
и |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
m2 g |
m1g |
|
|
|
|
m1 g |
– силу тяже- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
|
||||
|
|
сти, |
|
которую |
|
|
mg |
|||
|
|
имела вырезанная часть. |
|
|
|
|||||
х – ? |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что mg – это равнодействующая двух параллель- |
||||||||||
r |
r |
r |
r |
|
r |
|
|
|
||
ных сил m1 g |
и m2 g : |
mg = m1 g |
+ m2 g ; |
|
|
|
||||
mg = m1g + m2g.
Точка приложения равнодействующей двух параллельных сил делит отрезок, соединяющий точки приложения сил, на части, обратно пропорциональные силам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
m1 g |
или |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 g |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OO1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
= |
m1 g |
, так как ОО1 |
= |
b |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
m2 g |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
х = |
b |
× |
m1 g |
. |
Так как m2g = mg – m1g, |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
|
m2 g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
то |
|
х = |
b |
× |
|
m1 g |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 mg - m2 g |
|
|
||||||
Масса |
пластины m |
= abhρ, где h |
– |
|
толщина пластины, |
|||||||||||||||
ρ – плотность вещества, |
|
из которого сделана пластина. Анало- |
||||||||||||||||||
гично: m1 = πr2 hρ, где r = d/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставим значения m и m1 в формулу для х:
115
bπr 2
х= 4 × ab - πr 2 .
Вычисляем х:
х = |
0, 2 |
× |
3,14 × |
( |
0, 03 |
) |
2 |
= 0,008 м. |
|
|
|
||||||
|
0,1× 0, 2 - 3,14 ×(0,03)2 |
|||||||
4 |
|
|
||||||
Ответ: х = 0,008 м.
Контрольные вопросы
1.Что называется центром тяжести тела?
2.Как определить положение центра тяжести тела, имеющего неправильную форму?
3.Какое равновесие называется устойчивым, неустойчивым, безразличным?
4.Каким запасом потенциальной энергии обладает тело в положении устойчивого равновесия?
5.Какими условиями определяется устойчивость тела?
Задания
1. Найти величину и направление равнодействующей двух параллельных сил 4 и 8 Н: а) направленных в одну сторону; б) направленных в противоположные стороны.
2.Два шара радиусом 30 см каждый касаются друг друга. Определить центр тяжести системы, если масса одного шара в два раза больше массы другого.
3.Определить положение центра тяжести однородной круглой пластины радиуса R, в которой вырезано квадратное отверстие со стороной а = R/2 (рис. 124).
116
4. Однородная балка массой m = 140 кг подвешена на двух канатах (рис. 125). Каковы силы натяжения канатов Т1 и Т2, если
АС = l1 = 3 м, СВ = l2 = 1 м?
a
R
C
A 
B
r mg
Рис.12 |
Рис. 125 |
5. Два однородных цилиндра соединены между собой так, что их оси лежат на одной прямой линии. Масса одного цилиндра 3 кг, его длина 1 м. Масса второго 1 кг, а его длина 0,6 м. На каком расстоянии от центра большего цилиндра находится центр тяжести системы?
117
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Мякишев, Г.Я. Физика [Текст]: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский; под ред. В.И. Николаева, Н.А. Парфентьевой. – 17-е изд. перераб. и доп. – М. : Просвещение, 2008. – 366 с.
Павленко, Ю. Г. Физика. Полный курс для школьников и поступающих в вузы [Текст] : учеб. пособие / Ю. Г. Павленко. – 3-е изд. испр.— М.: Большая медведица, 2002. - 576 с.
Перышкин, А.В. Физика [Текст]: учеб. 7 кл. для общеобразоват. учреждений / А.В. Перышкин. – 10-е изд., доп. – М. : Дрофа, 2006. – 192 с.
Прудников, В. Н. Физика для поступающих в вузы: задачи, вопросы, тесты [Текст] / В. Н. Прудников, А. Г. Хунджуа. — М.:
ИНФРА, 2004. - 362 с.
Сивухин, Д. В. Общий курс физики [Текст]: учеб. пособие. В 5 т. Т. 2 Термодинамика и молекулярная физика / Д. В. Сивухин. - М. :
Физматлит, 2011. - 576 с.
Физика для студентов-иностранцев [Текст] / Л. Н. Корочкина, А. С. Кауров, Л. Д. Шубенко, Б. П. Стасюк. — М.: Высш. шк., 1983. – 392 с.
118
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Что изучает физика?………………………………………. |
3 |
Скалярные и векторные величины ……………………….. |
6 |
Механическое движение. Относительность движения и |
|
покоя………………………………………………………… |
12 |
Траектория………………………………………………….. |
15 |
Равномерное прямолинейное движение………………….. |
18 |
Переменное (неравномерное) движение ………………… |
24 |
Равнопеременное движение……………………………….. |
28 |
Основные уравнения и формулы равнопеременного |
|
движения…………………………………………………... |
33 |
Свободное падение тел…………………………………….. |
39 |
Первый закон Ньютона. Взаимодействие между телами. |
|
Инерция, масса, плотность ………………………………... |
45 |
Основные силы динамики…………………………………. |
48 |
Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона………….. |
53 |
Закон всемирного тяготения………………………………. |
63 |
Равномерное движение по окружности…………………... |
66 |
Импульс силы. Общая форма второго закона Ньютона. |
|
Закон сохранения импульса……………………………….. |
73 |
Механическая работа. Мощность. КПД………………… |
82 |
Кинетическая и потенциальная энергия. Полная |
|
механическая энергия. Закон сохранения энергии………. |
93 |
Центральные удары………………………………………… |
96 |
Статика……………………………………………………… |
102 |
Равновесие тела, не имеющего оси вращения…………… |
103 |
Равновесие тела, имеющего ось вращения……………….. |
105 |
Сложение параллельных сил………………………………. |
109 |
Центр тяжести тела………………………………………… |
112 |
Виды равновесия твердого тела…………………………… |
113 |
Библиографический список………………………………... |
118 |
119
Учебное издание
БОРСЯКОВ Анатолий Сергеевич ЛОПУШАНСКИЙ Владимир Антонович БУНИН Евгений Сергеевич
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Для студентов-иностранцев)
Подписано в печать 29.05.2017. Формат 60х84 1/16. |
|
Усл. печ. л. 7,0. Тираж 150 экз. Заказ |
. С-18. |
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» (ФГБОУ ВО «ВГУИТ»)
Отдел полиграфии ФГБОУ ВО «ВГУИТ» Адрес университета и отдела полиграфии:
394036, Воронеж, пр. Революции, 19
120