Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие

МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Направление подготовки 010200.62 – Математика и компьютерные науки

Профиль «Вычислительная математика, информатика и компьютерные технологии»

Направление подготовки 011200.62 – Физика Профили «Физика конденсированного состояния вещества»,

«Физика Земли и планет»

Направление подготовки 010400.62 – Прикладная математика и информатика

Профиль «Математическое моделирование и вычислительная математика»

Бакалавриат

Ставрополь

2014

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебно-методическое пособие «Определенный интеграл и его приложения» посвящено изложению специальных разделов курса математического анализа. В нем рассматриваются следующие темы: понятие определенного интеграла, его геометрический

ифизический смысл, основные свойства, правила вычисления; вычисление площади и длины дуги плоской фигуры, вычисление объема тела вращения, площади поверхности вращения; приложения определенных интегралов к решению простейших физических задач; несобственные интегралы; приближенное вычисление определенных интегралов.

Должное внимание уделяется применению изложенных теоретических сведений к решению соответствующих задач геометрии

имеханики. Пособие содержит основные теоретические сведения по изучаемому разделу, разбитые на параграфы, изложенные кратко и доступно, решение типовых заданий по темам, а также задания для самостоятельного решения с ответами. В приложении приведены варианты самостоятельных работ, контрольных работ, задания для тестового контроля знаний студентов, список рекомендуемой литературы.

Целью изучения дисциплины «Математический анализ» в соответствии с общими целями ООП бакалавриата является формирование набора общекультурных и профессиональных компетенций будущего бакалавра по направлению подготовки 010200.62 – Мате-

матика и компьютерные науки, профиль подготовки «Вычис-

лительная математика, информатика и компьютерные техно-

логии». Дисциплина «Математический анализ» относится к базовой (общепрофессиональной) части профессионального цикла Б.3. Она обеспечивает фундаментальные знания и формирует умения и навыки, необходимые для изучения всех математических дисциплин. Ее освоение происходит в 1–4 семестрах.

В результате освоения дисциплины «Математический анализ» формируются следующие компетенции:

Общекультурные компетенции:

1. Способность применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальнойи прикладнойматематикииестественныхнаук– ОК-6.

3

2.Способность к постоянной готовности совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям – ОК-8.

3.Фундаментальная подготовка в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовность к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности – ОК-11.

4.Значительные навыки самостоятельной работы с компьютером, программирование, использование методов обработки информации и численных методов решения базовых задач – ОК-12.

5.Способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников, – ОК-14.

Профессиональные компетенции:

1.Понимание корректности постановок задач – ПК-10.

2.Выделение главных смысловых аспектов в доказательствах – ПК-16.

3.Умение увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотнопредставитьиинтерпретироватьрезультат– ПК-22.

Дисциплина «Математический анализ» имеет своей целью развитие у обучающихся личностных качеств, а также формирование общекультурных и профессиональных компетенций будущего бакалавра по направлению подготовки 011200.62 – Физика, про-

фили подготовки «Физика конденсированного состояния веще-

ства», «Физика Земли и планет». Дисциплина «Математический анализ» обеспечивает приобретение знаний, которые способствуют фундаментальному образованию, формируют мировоззрение и развивают логическое мышление.

Дисциплина относится к математическому и естественнонаучному циклу Б2 (базовой части). Ее освоение происходит в 1–4 семестрах. Эта дисциплина является фундаментальной, имеет общеобразовательное и прикладное значение; многие вопросы содержат методологический материал, необходимый для дальнейших приложений кобщей, теоретическойиматематической физике.

В результате освоения дисциплины «Математический анализ» формируются следующие компетенции:

Общекультурные компетенции:

1. Способность овладеть основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, иметь

4

навыки работы с компьютером как средством управления информацией – ОК-12.

2.Способность использовать в познавательной деятельности навыки работы с информацией из различных источников – ОК-16.

3.Способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в области информатики и современных информационных технологий, навыки использования программных средств и работы в компьютерных сетях; умение создаватьбазы данных ииспользоватьресурсы Интернета – ОК-17.

4.Способность понимать сущность и значение информации

вразвитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны – ОК-21.

Профессиональные компетенции:

1.Способность использовать базовые теоретические знания для решения профессиональных задач – ПК-1.

2.Способность применять на практике базовые профессиональные навыки – ПК-2.

Целью изучения дисциплины «Математический анализ» в соответствии с общими целями ООП ВПО является формирование набора общекультурных и профессиональных компетенций бакалавров, обучающихся по направлению подготовки 010400.62 –

Прикладная математика и информатика, профиль подготовки

«Математическое моделирование и вычислительная матема-

тика», а также получение базовых знаний и формирование основных навыков по математическому анализу, необходимых для решения задач, возникающих в практической деятельности; развитие понятийной математической базы и формирование определенного уровня математической подготовки, необходимых для решения теоретических и прикладных задач их количественного и качественного анализа. Дисциплина «Математический анализ» относится

кбазовой части математического и естественно-научного цикла. Ее освоение происходит в 1 и 2 семестрах.

Врезультате освоения дисциплины «Математический анализ» формируются следующие компетенции:

5

Общекультурные

1.Способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке – ОК-10.

2.Способность владения навыками работы с компьютером как средством управления информацией – ОК-11.

3.Способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях – ОК-12.

Профессиональные

1.Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой – ПК-1.

2.Способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии, – ПК-2.

3.Способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях

всети Интернет и из других источников – ПК-6.

4.Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимых для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам – ПК-7.

5.Способность формировать суждения о значении и последствиях своей профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и этических позиций – ПК-8.

6.Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования – ПК-9.

7.Способностью приобретать и использовать организацион- но-управленческие навыки в профессиональной и социальной деятельности – ПК-11.

6

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Определенный интеграл Римана и его свойства

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций:

1)для направления подготовки 010200.62 – Математика и компьютерные науки, профиль подготовки «Вычислительная математика, информатика и компьютерные технологии»:

-способность применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-6),

-фундаментальная подготовка в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовность к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности (ОК-11),

-способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников (ОК-14),

-понимание корректности постановок задач (ПК-10),

-умение увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотно представить и интерпретировать результат (ПК-22);

2)для направления подготовки 011200.62 – Физика, профили подготовки «Физика конденсированного состояния вещества», «Физика Земли и планет»:

-способность использовать в познавательной деятельности навыки работы с информацией из различных источников (ОК-16),

-способность использовать базовые теоретические знания для решения профессиональных задач (ПК-1),

-способность применять на практике базовые профессиональные навыки (ПК-2);

3)для направления подготовки 010400.62 – Прикладная ма-

тематика и информатика, профиль подготовки «Математическое моделирование и вычислительная математика»:

-способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК-10),

-способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1),

7

- способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2).

Организационные формы занятий

С целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся, а также в соответствии со спецификой осваиваемой дисциплины предусмотрены следующие формы практических занятий:

-разбор конкретных ситуаций (решение типовых задач по темам);

-работа в малых группах над практическими групповыми и индивидуальными упражнениями;

-учебные тренинги;

-решение проблемных задач.

Вопросы для обсуждения

1.Определенный интеграл.

2.Определение интеграла по Риману.

3.Геометрический смысл определенного интеграла.

4.Ограниченность интегрируемой функции.

5.Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу.

6.Основные свойства верхних и нижних сумм.

7.Верхний и нижний интегралы Дарбу.

8.Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

9.Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.

10.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

11.Определенный интеграл и его геометрический смысл.

12.Достаточноеусловиесуществованияопределенногоинтеграла.

13.Основные свойства определенного интеграла.

14.Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

15.Интегрируемость кусочно-непрерывных функций.

16.Определенный интеграл с переменным верхним пределом

иего свойства.

17.Непрерывность интеграла по верхнему пределу.

18.Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу.

8

2. Методы вычисления определенного интеграла. Замена переменной. Интегрирование по частям

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1.Существование первообразной у непрерывной функции.

2.Формула Ньютона – Лейбница.

3.Методы вычисления определенного интеграла. Замена переменной. Интегрирование по частям.

3. Понятие простой кривой. Понятие параметризуемой кривой.

Длина дуги кривой. Понятие спрямляемой кривой

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1.Понятие простой кривой.

2.Понятие параметризуемой кривой.

3.Длина дуги кривой.

4.Понятие спрямляемой кривой.

4.Критерий спрямляемости кривой. Вычисление длины дуги кривой. Дифференциал дуги

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенцийвсоответствииснаправлениемподготовкисогласнотеме1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1. Вычисление длины дуги плоской кривой.

9

2.Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.

3.Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах.

5. Понятия границы множества и плоской фигуры. Площадь плоской фигуры

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1.Вычисление площади плоской фигуры (различные случаи взаимного расположения графиков функций).

2.Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями.

3.Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах.

6.Площадь криволинейной трапеции и криволинейного

сектора

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1.Вычисление площади плоской фигуры (различные случаи взаимного расположения графиков функций).

2.Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями.

3.Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах.

10