Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

830 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Рис. 28

В середине каждого такого отрезка ci xi 12 xi построим ор-

динату yi f ci графика функции y f x . Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h yi .

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

b a

xi 1 xi

f x dx h y1 y2 ... yn

(45)

i 1

Формула(45) называетсяформулойсреднихпрямоугольников.

Абсолютная погрешность

приближенного

равенства

(45)

оценивается с помощью следующей формулы:

b a 3 M2 ,

24n2

на отрезке a; b ,

где M2 – наибольшее значение

f x

b a

xi 1 xi

f x dx

i 1

Отметим, что для линейной функции f x

kx b

форму-

ла (45) дает точный ответ, поскольку в этом случае

f x

0 .

2. Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок a; b на n равных частей длины h		b a	.

		n
Абсциссы точек деления:	x0 a, x1, x2 , ... , xn b . Пусть

y0 , y1, y2 ,..., yn – соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид:

xi a h i , yi f xi , i 0,1,2,...,n ; h b n a .

Рис. 29

Заменим кривую y f x ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yi и yi 1 i 0,1, 2,..., n . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей

обычныхтрапецийсоснованиями yi , yi 1 ивысотой h b n a :

y1 y2

yn 1 yn

f x dx

h ...

или

b a

y0 yn

f x dx

y1 y2 ... yn 1

(46)

			Формула (46) называется формулой трапеций.
			Абсолютная погрешность Rn приближения, полученного по
формуле трапеций,				оценивается		с	помощью формулы:
		3
	Rn		b a 2 M2 , где	M	max	f x	. Снова для линейной
	Rn		b a 2 M2 , где	M	max	f x	. Снова для линейной
			12n		2a x b

функции y kx b формула (46) точная.

3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции y f x на каждом отрезкеxi 1; xi разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную

						b
формулу приближенного вычисления интеграла f x dx .
						a
	Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком параболы y ax2 bx c ,								сбоку
прямыми x h ,			x h и снизу отрезком h; h .
	Пусть	парабола		проходит через		три точки:	M1 h; y0
M2 0; y1 , M3 h; y2				, где	y0 ah2 bh c – ордината параболы
в	точке	x h ;	y1	c –	ордината	параболы в	точке	x 0 ,
y2	ah2 bh c		– ордината параболы в точке x h (рис. 30).

Рис. 30

Площадь S равна:

ax2 bx

c dx a

ah3 2ch .(47)

h ,

Выразим эту площадь через

y0 , y1 ,

y2 . Из равенств для

ординат yi находим, что c y1 ,

2y1

y2 . Подстав-

2h2

ляя эти значения c и a в равенство (47), получаем:

2 h3

y0 2y1 y2 2h y1

2h2

(48)

y0 2y1 y2 2h y1 h y0 4y1 y2

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла

f x dx .

Для этого отрезок a; b разобьем на 2n равных частей (от-

резков)		длиной	h	b a	точками	xi	x0 h i ,	где
				2n
i 0, 1, 2, ... , 2n .			В	точках	деления		a x0 , x1, x2 , ... ,
x2n 2 ,	x2n 1, x2n b		вычисляем значения подынтегральной функ-
ции f	x :	y0 , y1 ,	y2 , ... ,	y2n 2 , y2n 1 , y2n ,		где yi	f xi (рис. 31).

Рис. 31

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h , одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h . На отрезке

x0 ; x2 парабола проходит через три точки x0 ; y0 , x1; y1 ,x2 ; y2 . Используя формулу (48), находим:

			x2
		S1 f x dx h3 y0 4y1 y2 .
			x0
Аналогично находим:
		x4
	S2 f x dx h3 y2 4y3 y4 , … ,
		x2
		x2n	f x dx h3 y2n 2 4y2n 1 y2n .
	Sn		f x dx h3 y2n 2 4y2n 1 y2n .
		x2n 2
Сложив полученные равенства, имеем:
b
f x dx h3 y0 4y1 2y2 ... 2y2n 2 4y2n 1 y2n
a
или
b
f x dx h3 y0 4y1 2y2					... 2y2n 2 4y2n 1 y2n . (49)
a
Формула (49) называется формулой парабол (или Симпсона).
Абсолютная погрешность Rn					вычисления по формуле (49)
оцениваются соотношением:
	Rn	b a 5 M4		4 , где	M 4	max	f IV x	.
				4 , где

		180 2n			a	x b
Отметим, что формула (49) дает точное значение интеграла
b
f x dx во всех случаях, когда					f x – многочлен, степень ко-
a

торого меньше или равна трем (тогда f IV x 0 ).

			2
Пример. Вычислить			x3dx ,		разбив отрезок интегрирования
0; 2 на 4 части.			0
0; 2 на 4 части.
Решение.		Имеем	f	x	x3 ,	a x0 0 ;	b x4	2 ;
h b a	2	1 ,
n	4	2	x1 12 , y1 81 ;
	x0 0 , y0 0 ;		x1 12 , y1 81 ;			x2 1 , y2 1;
		x3 23 , y3	278	; x4 2 , y4 8 (рис. 32).

Рис. 32

Следовательно, а) по формуле прямоугольников:

			с1 14 , y1					1		;	с2 43 , y2 6427 ;
								64
			с3	54 ,		y3 12564 ;					с2 74 , y2	3436 ;
2		1	1		27		125		343			2
3												3
x	dx										3.875 ,	то есть x	dx 3.875 ;
		2	64		64		64		64
0												0

б) по формуле трапеции:

2				1	0 8	1		27						2
	3	dx		1	0 8	1	1	27	4.25 ,					3	dx	4.25 ;
x		dx		2	2	8	1	8	4.25 ,			то есть x			dx	4.25 ;
0				2	2	8		8						0
в) по формуле парабол:
2				2			1	27							2
3				2			1	27								3
x	dx				0 8 4				2 1					4 , то есть x			dx 4 .
x	dx		6 2		0 8 4			8	2 1					4 , то есть x			dx 4 .
0			6 2				8	8							0
								2		x4			2
								2					2
Точное значение интеграла x3dx														4 . Абсолютные по-
Точное значение интеграла x3dx														4 . Абсолютные по-
								0			4		0
								0			4		0

грешности соответствующихформултаковы: а) 0.125; б) 0.25; в) 0.

Задачи

9
1. Вычислить интеграл	6x 5 dx по формуле Ньютона –
1

Лейбница и приближенным формулам прямоугольников, трапеций и парабол, разбивая интервал интегрирования на 8 равных частей, оценить погрешность полученных результатов.

1dx

2.Вычислить интеграл x2 1 по формуле Ньютона – Лейб-

ница и приближенным формулам прямоугольников, трапеций и парабол, разбивая интервал интегрирования на 10 равных частей, оценить погрешность полученных результатов.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Самостоятельная работа по теме: «Определенный интеграл и его приложения»

Вариант 1

1. Вычислить определенные интегралы:


	2		dx
1)			dx			,
1)			1 cos		2 x	,
	4
	1 ln 2			exdx
2)	2			exdx			,
2)				ex e x			,
		0

7dx

3)4 x2 3x 10 ,

4) xarctgxdx .

2. Вычислить несобственный интеграл:

		dx
			.
	3	2 4x
1

3. Найти объем тела вращения, полученного при вращении плоской фигуры, ограниченной линиями y 2x; y 4; x 0 во-

круг оси Оу.

Вариант 2

1. Вычислить определенные интегралы:

	5	dx				e3	ln xdx
1) 2		dx	,		3)	e2	ln xdx
								,
		5 4x x2
		5 4x x2					x 1 ln 2 x
						2
	4					2
	4	sin3x cos5xdx ,			4) y2 ln ydy .
2)		sin3x cos5xdx ,			4) y2 ln ydy .
						1
	0
2. Вычислить несобственный интеграл:
			1	dx
				dx	.
				2	.
			x	4x

3. Найтиплощадьфигуры, ограниченнойследующимилиниями: y 14 x3; x 0; x 2; y 0.

Вариант 3

1. Вычислить определенные интегралы:

	1
1) x3			4 5x4 dx ,
	0

	2	dx
2)		dx		,
2)		sin3 x		,
	3

01 ex

3)ln 31 ex dx , 0

4)x 1 e 2 xdx .

2. Вычислить несобственный интеграл:

3			dx
					.
	x	2	6x 9
1
3. Найти объем тела вращения,				полученного при вращении

плоской фигуры, ограниченной линиями y x 1; x 0; y 0 вокруг оси Оу.

Вариант 4

1. Вычислить определенные интегралы:

			x
1)	sin2			dx ,
			2


2)	2	cos ydy			,
		4	sin y
	0

	4
3)	3	dx				,
3)	3	8 6x 9x			2	,
	1	8 6x 9x
	3
			x
4)	x 2 cos		x	dx .
4)	x 2 cos		2	dx .
	0

2. Вычислить несобственный интеграл:

3		dx
				.
	3	3 x	5
1

3. Найтиплощадьфигуры, ограниченнойследующимилиниями: y 2x2 ; x 1; x 2; y 0.

Вариант 5

1. Вычислить определенные интегралы:

	2	1				3 7		z2dz
1)	2	ex	dx ,		3)			z2dz			,
		ex						9 z		3
		2								3
	1 x					0

						9		xdx
	2	dx				9
	2
2)				,	4)				.
							cos2 3x
		sin x					cos2 3x
		sin x				0

2.Вычислить несобственный интеграл:

x2 4x 5 .1

3. Найти объем тела вращения, полученного при вращении

плоской фигуры, ограниченной линиями	y	x	; y 4; x 0	во-
	y	3	; y 4; x 0

круг оси Оу.
Вариант 6
1. Вычислить определенные интегралы:

	2	xdx
1)		xdx				,
1)		4 x			2	,
	1	4 x
			x				x
	cos		x				x
2)				cos				dx ,
2)			2	cos			3	dx ,
	0

ln 2	dx
3) 0
		,
	ex 3 e x

4) y 1 ln ydy .

2. Вычислить несобственный интеграл:

3	dx
2
1
		.
	3x x2 2	.

3. Найтиплощадьфигуры, ограниченной следующимилиниями:

y ln x; x 1e ; x e; y 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]