Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие

5. Найти силу давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга диаметром 6 м, который находится на поверхности во-

ды. Плотность воды: 1000 кг/ м3 .

Дифференциал силы давления на элементарную площадку (рис. 20) выразится так:

Рис. 20

6. Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длиной а и шириной b ( a b ), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом , и ее большая сторона находится на глубине h (рис. 21)?

Рис. 21

51

dP ax g dx ( – плотность жидкости). Отсюда находим: sin

7. При изменении температуры сопротивление металлических проводников меняется (при обычных температурах) по закону

R R0 1 0.004v , где R0 сопротивление при 0 С и v – темпера-

тура по Цельсию (приведенный закон справедлив для большинства чистых металлов).

чение 10 мин. В это время по нему идет ток под напряжением U 120 B . Сколько кулонов электричества протечет за это время

через проводник?

По условию задачи температура проводника v увеличивается

меняется по закону: v v1 0.3t 20 0.3t . При этом сопротивление проводника:

RR0 1 0.004v 10 1 0.004 20 0.3t 10.8 0.012t ,

исила тока по закону Ома:

I 120 . 10.8 0.012t

Проинтегрировав эту функцию по промежутку [0; 600], получим искомое количество электричества:

52

104 ln18 ln10.8 5108

8.Найти статический момент верхней части эллипса:

b

демвычислятьпоформуле: M x ydl , гдеa иb – конечныеточкикри-

53

Находим момент инерции относительно оси Ох:

10. Найти центр тяжести полуокружности x2 y2 a2 , распо-

ложенной над осью Ох.

Воспользуемся формулами (38). Из уравнения окружности на-

(рис. 18).

54

Из симметричности астроиды следует, что x y . Далее, учи-

тывая, что длина дуги четвертой части астроиды L 32 a . Теперь

Рис. 22

Координаты центра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной отрезком a;b оси абсцисс, прямыми x a, x b и графикомфункции y f (x) (рис. 22), вычислим по формулам(39).

Как известно, площадь четверти фигуры, ограниченной эллипсом

55

рассматриваемой фигуры находится в точке: M 4a ; 4b .

3 3

13. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной параболой

Рассматриваемая фигура симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла (рис. 23), следовательно x y .

Рис. 23

используя формулы (39) и наличие симметрии фигуры, получим:

56

Таким образом, центр тяжести данной фигуры находится

вточке M a ; a .

5 5

14.Используя вторую теорему Гульдена, вычислить объем тора, образованного вращением вокруг оси Ох круга (рис. 24):

x2 y b 2 a2 , a b .

Рис. 24

Площадь данного круга S a2 , центр тяжести круга совпадает с его центром, следовательно, путь, описываемый центром тяжести круга при вращении его вокруг оси Ох, равен 2 b . Тогда по второй теореме Гульдена искомый объем равен:

Va2 2 b 2 2a2b .

15.Используя первую теорему Гульдена, найти площадь поверхности тора, рассмотренного в задаче 14.

Длина L данной окружности равна 2a . Центр тяжести ок-

ружности, очевидно, совпадает с ее центром, следовательно, длина пути, описываемого центром тяжести, равна 2b . Таким образом, по первой теореме Гульдена площадь поверхности тора равна:

P2b 2a 4ab 2 .

16.Пользуясь второй теоремой Гульдена, найти центр тяжести полукруга радиуса а.

57

5.Найти силу давления на пластинку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями а и b и высотой h, погруженную в жидкость на глубину с.

6.Найти статический момент пластинки, ограниченной одной

аркой циклоиды x a t sin t , y a 1 cost и ее основанием, относительно оси Ох.

7.Вычислить момент инерции квадрата со стороной а относительно диагонали.

8.Вычислить момент инерции правильной шестиугольной пластинки относительно ее оси симметрии, проходящей через противоположные вершины. Сторона шестиугольника а.

9.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной

верхней половины кардиоиды: a 1 cos .

Ответы

1. 23,7 м; 2,4 м/сек. 2. A mgh , mgR . 3. 50,7 Дж. 4. 161.7 kH . 1 Rh

наотрезке a; b , называюттакжесобственныминтегралом.

Рассмотрим теперь так называемые несобственные интегралы, то есть определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования, или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

59

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

В данном случае несобственный интеграл f x dx сходит-

a

ся. Если же указанный предел не существует, или он бесконечен,

то интеграл f x dx расходится.

a

Аналогично определяется несобственный интеграл на проме-

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется по формуле:

c

f x dx f x dx f x dx ,

c

где с – произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функ-

дится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис. 26).

60