Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

830 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Рис. 9

Случай 1.

f2 (x) f1(x) 0

(рис. 9а):

S SaABb SaA1B1b f2 (x) dx f1(x) dx ,

(18)

откуда следует формула (17).

Случай 2.

0 f2 (x) f1(x) (рис. 9б):

S S

(19)

aA1B1b

aABb

f (x) dx

(x) dx ,

откуда следует формула (17).

Случай 3.

f2 (x) f1(x),

f2 (x) 0, f1(x) 0 (рис. 9в):

S S

(20)

aABb

aA1B1b

(x) dx

откуда следует формула (17).

Случай 4. Является общим случаем (рис. 9г) и сводится к ча-

стным, рассмотренным выше путем разбиения отрезка

a,b на

отдельные отрезки a,c ,

c,d ,

d,b .

3. Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями x (t), y (t), t ,

определяется по формуле:


	(21)
S (t) (t) dt .	(21)

4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ( ),

и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , находится с помощью формулы:

	S 1
	S 1	2 ( ) d .	(22)
	2
	Примеры		y x2 , пря-
1. Вычислить площадь, ограниченную параболой			y x2 , пря-
мыми x 1	и x 2 и осью абсцисс (рис. 10).

Рис. 10

Искомая площадь вычисляется по формуле (9):

S 2 x2dx	x3	2	3.

	3
1		1

2. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой y x от параболы y 2x x2 .

Построим данную параболу и прямую, для этого выделением полного квадрата упростим уравнение параболы:

y (x2 2x);

y (x2 2x 1) 1; y 1 (x 1)2 ;

откудаследует, чтопараболасимметричнаотносительнопрямой x 1 , ветвяминаправленавнизивершинаеележитвточке(1; 1) (рис. 11).

Рис. 11

Совместным решением уравнений параболы и прямой определяем абсциссы точек А и В. Имеем:

			2x x		2	, 3x	x	2	0,
y			2x x			, 3x	x		0,
			x, x(3 x) 0, x							0; x			3.
y			x, x(3 x) 0, x							0; x		2	3.
									1			2
Теперь по формуле (17) вычисляем искомую площадь сегмен-
та при f (x) x;		f	2	(x) 2x x2			; a 0;				b 3 :
1			2
3	2						3			2		3x2		x3	3	9
3	2						3			2		3x2		x3	3	9
							3x x				dx						.
S 2x x		x dx					3x x				dx		2			2	.
0							0						2	3	0	2
0							0							3	0

3. Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой циклоиды

xa t sin t , y a 1 cost

иотрезком оси абсцисс (рис. 12).

Рис. 12

Точкам О и А соответствуют значения параметров

0 и			=2 , поэтому по формуле (16) искомая площадь равна:
		S	2 a 1 cost a		t sin t dt 2 a2 1					cost 2 dt

			0						0
a	2	2	2cost	1 cos2t 2		2		3	t 2sin t		1			2	2	.
	2	2		1 cos2t 2		2		3			1			2	2
		1		2	dt a			2			4	sin 2t			3 a
		0												0
		0												0
	4. Вычислить			площадь,			ограниченную						кардиоидой
a 1 cos .

Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 13).

Рис. 13

Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора ОАВ. Дуга АВО описывается концом полярного радиуса r при изменении полярного угла от 0 до . Поэтому,

согласно формуле (12):

	1
S 2	1	2d a2 1 cos 2 d a2 1 2cos cos2 d
	2	0					0					0
		a	2	d 2 cos d						1


										2	1 cos2 d
					2	3			1					3	2		0
																	0
			a					2sin		sin 2						.


						2			4					2	a
													0
													0

Задачи

1.Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной синусоиды y sin x и осью Ох.

2.Найти площадь, ограниченную кривыми y ex , y e x и прямой x 1 .

3. Найти площадь, ограниченную параболами y2 2 px и x2 2 py .

4. Вычислить площадь эллипса, используя его параметрические уравнения x a cost, y bsin t .

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой

xa cos3 t , y asin3 t .

6.Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли

2 a2 cos2 .

7.Найти площадь одного лепестка кривой 4sin2 .

							Ответы
		e 1	2		4		2				3 2		2
					4		2		ab .		3 2	6. a	2
1. 2.	2.	e	.	3.	3	p		. 4.	ab .	5.	8 a .	6. a		. 7.	3 .

§ 6. Вычисление длины дуги плоской кривой

Длина	дуги	кривой			y f (x) ,		где	a x b		вычисляется
по формуле:
		b				b			2
	l 1 y		2	dx или l					2		(23)
	l 1 y			dx или l			1 f		(x) dx .		(23)
		a				a
Длина дуги кривой, заданной параметрически,
		x t ,			y t t1		t t2				(24)
определяется формулой:
	t2					t2
	l	xt 2 yt 2 dt			или l 2 t 2 t dt .						(25)
	t1					t1
Если	кривая	задана			уравнением		в	полярных		координатах
	, то

				l		2 2 d .					(26)

	Примеры
1. Вычислить длину дуги полукубической параболы y x3
от точки O 0;0 до точки	A 4;8 .

Находим y и, подставляя в формулу (18), получаем:

l		4		9	x dx	4	4		9				9		4		2		9		3	2		4
																								4
			1					1
			1	4		9		1	4	x d 1			4	x	9		1		4	x
				4		9			4				4		9		3		4					0 .
		0					0
	8		10	10 1
	8
	27
2.		Найти длину				дуги			кривой			x cos5 t ,					y sin5 t					от t 0
																							1
до t2		.
		2
Найдем				производные					по		параметру					t :		xt 5cos4 t sin t ,

yt 5sin4 t cost . Следовательно, по формуле (20):


l 2		5cos4 t sin t 2							5sin4 t cost 2 dt 52 sin t cost									sin6 t cos6 t dt
0																0

			5	2 sin 2t			1		3 cos2 2t dt					5	2	1 3cos2 2t d cos2t
			2	0			4		4					8	0
				0											0

		5			3	cos2t		1 3cos		2	2t	1	ln			3 cos2t	1	3cos	2	2t		2

	8		3		2							2
	8		3		2							2									0

5 2 ln 2 8 3

3.Найти длину дуги кривой sin3 3 от 1 0 до 2 2 .3 .

	Имеем					r	sin		2						Следовательно,								используя					формулу
	Имеем					r	sin			3 cos			3 .		Следовательно,								используя					формулу
(21), получим:
														2
l	2		sin	6				2			cos			2		2	sin		2			d	1	2			cos	2
l			sin		3		sin			3	cos		3	d			sin			3		d	2		1		cos	d
					3					3			3							3			2					3
	0															0								0

									1			3		sin	2 2			1			2 3		3			.

									2			2			3			8
									2			2			3	0		8
															Задачи
	1.		Вычислить								длину				дуги				полукубической									параболы
y2 x 1 3					между точками А(2; -1) и В(5; -8).
	2.		Вычислить длину дуги кривой																			y ln sin x					от x		3	до
																													3
x		2	.
		2
	3. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды x a t sin t ,
y a 1 cost

4. Вычислить длину дуги кривой a cos3 3 .

Ответы

1. 7,63. 2. 12 ln3 . 3. 8a . 4. 32 a .

§ 7. Вычисление объема тела вращения

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции AabB , где AB – дуга кривой y f (x) (рис. 14),

вычисляется по формуле:

b	b	x dx .
Vx y2dx или	Vx f 2	x dx .	(27)
a	a

Рис. 14

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции CcdD , где CD – дуга кривой x y (рис. 15), определяется по формуле:

d	d	y dy .
Vy x2dy	или Vy 2	y dy .	28)
c	c

Рис. 15

Если кривая, вращением которой образуется тело вращения,

задана параметрическими	уравнениями:			x t , y t ,
t1 t t2 то из формулы (22) получаем:
t2
V 2 t		t	dt .	(29)
t1
Объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси
фигуры , 0		(	и – полярные коорди-
наты), вычисляется по формуле:
V 2
V 2	3 sin d .			(30)
3

Примеры

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1. y2 2 px, x a вокруг оси Ох.

Построив параболу y2 2 px и прямую x a , получим пара-

болический сегмент OAB (рис. 16).

При вращении его вокруг оси Ох образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела, согласно общим указаниям,

b	a	0a
найдем по формуле (22): Vx y2dx 2 px dx px2		0a	pa2
a	0
	40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]