Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

830 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Масса m неоднородного стержня на отрезке a,b равна определенному интегралу от плотности x :

m (x)dx .

§ 3. Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке a,b .

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

b	a
f (x) dx f (x) dx .		(3)

2.Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

a
f (x) dx 0 .	(4)

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части (аддитивность определенного интеграла):

b	c	b
f (x) dx f (x) dx f (x) dx .			(5)
a	a	c

4. Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

(x)

(x) dx .

(6)

(x) dx

f (x) dx

5. Постоянныймножительможновыноситьзазнакинтеграла:

b	b
C f (x) dx C f (x) dx , где С – постоянная. (7)
a	a
	b
6. Если m f (x) M	на a,b , то m(b a) f (x) dx M (b a)

(оценкаопределенногоинтеграла).

Теорема о среднем. Если функция			y f (x)	непрерывна на
отрезке	a,b ,	то найдется такое	значение	a,b , что
b		b a .
f (x) dx f ( )		b a .
a
Пусть f (x) 0 на a,b . Тогда теорема о среднем утверждает:
найдется такая точка a,b , что площадь под кривой					y f (x)
на a,b	равна	площади прямоугольника со сторонами			f ( ) и

b a (рис. 5).

Рис. 5

Число

f 1 b f (x)dx b a a

называется средним значением функции y f (x) на отрезке

a,b .

§4. Правила вычисления определенных интегралов

1.Теорема Ньютона – Лейбница. Определенный интеграл от непрерывной функции в данном промежутке равен разности значений любой первообразной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования:

b
f (x)dx F (x)	b		(8)

	a	F (b) F (a) , где F (x) f (x) .

a
2. Замена переменной в определенном интеграле осуществ-
ляется по формуле:
b
			(9)
f (x)dx f (t) (t) dt ,
a
где x (t), a ( ), b ( ), t - новая переменная, ,			– новые

пределы интегрирования.

Формула (7) называется формулой замены переменной в оп-

ределенном интеграле. Важным является соблюдение следующих требований:

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки x t применяют подстановку t x ;

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле осуществляется по формуле:

b u(x) dv(x) u(x)v(x)	b	b v(x) du(x) .
			(10)
			(10)

a	a	a

4. Интегрирование четных и нечетных функций в симмет-

ричных пределах: пусть функция f x непрерывна на отрезкеa; a , симметричном относительно точки x 0 . Докажем, что

		a	если f x - четная
	2 f x dx,		если f x - четная
f x dx		0
	0,	если f x - нечетная
	0,	если f x - нечетная

функция.(11) функция

Разобьем отрезок интегрирования a; a на части a; 0 и0; a . Тогда по свойству аддитивности:

a	0		a
	f x dx	f x dx f x dx .		(12)
a	a		0
В первом интеграле сделаем подстановку x t , тогда
0	0	a	a
f x dx f t dt f t dt f x dx ,
a	a	0	0

согласно свойству: определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. Возвращаясь теперь к формуле (9), можем записать:

f x dx f x dx f x dx f x f x dx .(13)


a	0		0	0	f x f x , то
Если	функция	f	x четная		f x f x , то
f x f x 2 f		x ;	если	функция		f x нечетная
f x f x , то		f x f x 0 .			Таким образом, равен-

ство (11) принимает вид (9).

Используя доказанную формулу можно по виду подынтегральнойфункции, непроизводя вычислений, записать, например, что

	3
cos2	x sin3 xdx 0 , e x2	sin xdx 0 .
	3
	Примеры

1. Вычислить определенный интеграл 2			sin3 xdx .
Представим	подынтегральную	0		в	виде
Представим	подынтегральную	функцию		в	виде

sin3 x sin2 x sin x , далее используя для первого множителя основное тригонометрическое тождество и подводя синус под знак дифференциалаввидекосинуса, получимпоформулеНьютона– Лейбница:


2	2		cos x cos	3	x	2
sin3	xdx (1 cos2	x) d(cos x)	cos x cos		x
0	0		3			0
0	0					0

			cos3				cos0			1	2 .
cos			cos3	2	cos0				1	1
cos	2				cos0				1	3
	2	3						3		3	3
					1 2cos x
2. Вычислить интеграл								dx .
2. Вычислить интеграл						2		dx .
				0

Преобразуем подынтегральную функцию, применив известную формулу понижения степени:

		1 2cos x
		1 2cos x	dx	cos2 xdx			cos x		dx
		2
		2
0			0	0

2
cos x dx	cos x dx sin x				02 sin x			1 1 2 .


0						2
	2

	9	2x	1
3. Вычислить интеграл	4	5			dx .

			2	x

На основании свойств 4 и 5 определенного интеграла и формулы Ньютона – Лейбница, получим:

9	2x		1		2		9		9	dx			2		x2	9		9
																9

				dx		xdx											x
	5			dx	5	xdx							5		2		x	4
4	5	2	x		5		4		4	2 x			5		2	4
4		2	x				4		4	2 x						4
		1	81 16					9	4		1	65		1 14.
		5									5
					e2
4. Вычислить интеграл								dx	.
4. Вычислить интеграл								x ln x	.
						e

Преобразуем подынтегральную функцию, подведя под знак дифференциалафункцию 1x , ипроинтегрируемпопеременной ln x :

dx	e2	d ln x	ln ln x	ee2	ln ln e2 ln ln e ln 2 ln1 ln 2 .
dx		d ln x

x ln x		ln x
	e

5. Вычислить интеграл e ln2 x dx .

1 x

Здесь положим ln x t , тогда dx																					dt ; если x 1 ,											то t 0 ; если
																			x
x e , то t 1. Следовательно, e lnx2 x dx 1 t2dt 13 t3																														1	13 13			03 13 .
x e , то t 1. Следовательно, e lnx2 x dx 1 t2dt 13 t3																														1	13 13			03 13 .
															1							0								0
															1							0								0
															2
6. Вычислить интеграл x2																		4 x2 dx .
															0
Положим x 2sin t , тогда dx 2costdt . Если x 0 , то t																																					0;
если x 2 , то t
если x 2 , то t											2 . Поэтому
2
2		4 x2 dx 2													4 4sin2 t 2costdt 162 sin2 t cos2 tdt
x2		4 x2 dx 2								4sin2 t					4 4sin2 t 2costdt 162 sin2 t cos2 tdt
0								0																							0

	2	1									2 1		cos4t										1
	2				2																								2
16					2	2tdt 4										dt		2 t								sin 4t			2		2						.
			sin																		02														0
		4	sin										2								02		4												0
		4											2										4						0			2
	0										0																		0
											e
7. Вычислить x ln xdx .
											1
Относительно подынтегральной функции положим:
																									dx
													u ln x					du								x
																							x2				.
													dv xdx					v					x2
													dv xdx					v
																								2
Применяя формулу (8), получим:
e				x2					e			e	x2	dx x2						e		1 x2					e	e2			e2	1 1			e	2	1 .
e				x2					e			e	x2	dx x2						e		1 x2					e	e2			e2	1 1				2
x ln xdx					2		ln x						2	x			2	ln x				2			2			2			4 4 4
1									1		1									1							1

8. Вычислить xsin xdx .
											0
Интегрируя по частям, получаем:

xsin x dx x d ( cos x) x ( cos x)																			0 ( cos x) dx x cos x														0	sin x
																																		sin x

0						0															0																	0

( cos 0 cos0) (sin sin 0) .

3 xsin x

9.Вычислить интеграл I 3 cos2 x dx .

																									3		xsin x
Подынтегральная функция – четная, а потому																							I 2 0				xsin x		dx .
Подынтегральная функция – четная, а потому																							I 2 0				cos2 x		dx .
Интегрируем				по			частям,							полагая				u x, dv sin xdx								;		тогда
				1																			cos2 x
du dx, v				1			. Отсюда находим:
du dx, v				cos x			. Отсюда находим:
				cos x
3 xsin x							x			3		3		dx									x					3
3 xsin x							x			3		3		dx									x					3
			dx																			ln tg
0 cos	2	x	dx			cos x							0	cos x		3cos(					3)	ln tg		2		4
									0																			0


				2											ln tg				2		ln tg		5	.
				3	ln tg					6			4		ln tg		4			3	ln tg		12	.
				3						6			4				4			3			12
Следовательно,								I					2		ln tg		5
Следовательно,								I			2		3		ln tg		12	.
													3				12

Задачи

Вычислить интегралы: 1. 4 (x3 x) dx .

2
4		x
	e4
3. 1	e4		dx .
0

5.0 cos2 .

	2.	e 1 dx .
		1	x
4.	7		dt		.
4.	7		3t 4		.
	1		3t 4
9				1
6.	3	x			dx .
6.	3	x		x	dx .
4				x

7. e				dx					.	8. 4		1			x	dx .
7. e	x	1 ln x						2	.	8. 4				2		dx .
1	x	1 ln x									1		x
9.	1			xdx			.			10.	e		1 ln x dx
9.						2	.			10.			1 ln x dx
			x	2										x
	1										1
	1				1						1


				Продолжение таблицы
11. 1	dx		.	12.		4	dx		.
		2
0	3 2x x					0 1		x
13. 4	4 x2 dx .			14.	ln 5 ex		xex 1dx .
0					0	e	3

15. 9		xdx	.
15. 9			.
	4	x 1

2		dx
17.		dx		.
17.	1 sin x cos x			.
0	1 sin x cos x

19. 3 x arcrg x dx .

a
16. 2		dx		.
16. 2	a	2	2	.
0	a	x

18. 0 1 2sin2 x .

20. 1 x e x dx .

21. 2 x ln x dx .

22. x3 sin x dx .

									Ответы				.		7 .
1. 66.		2. 1.		3. 4е.		4.	8	3	.	5. 1.		6. 40. 7.	.	8.	7 .	9. 0.	10.
								3					6		4
3 .11.	.	12. 4-2ln 3.				13.				3	.	14. 4 .	15. 7+2ln 2. 16.				.
3 .11.	.	12. 4-2ln 3.				13.	3			2	.	14. 4 .	15. 7+2ln 2. 16.				.
2	6						3			2							6
17. ln 2.		18.			.	19.	5arctg 3					3 . 20. 1	2 .		21.	2ln 2	3 .
17. ln 2.		18.	3 3		.	19.	5arctg 3					3 . 20. 1	2 .		21.	2ln 2	3 .
			3 3									2	e				4
22. 3	6 .

§5. Вычисление площади плоской фигуры

1.Площадь криволинейной трапеции, ограниченная графиком

функции f (x) , отрезком a,b на оси Ох и			прямыми
x a,	x b, a b , выражается формулой:
	S b	f (x) dx .	(14)
	a

Пусть функция y f (x) неположительная и непрерывна на a,b (рис. 6).

Рис. 6

Отражая кривую y f (x) относительно оси абсцисс (рис. 7), получаем кривую с уравнением y f (x) , тогда

S b f (x) dx , т. е.	S b	f (x) dx .	(15)
a	a

Рис. 7

Пусть на отрезке a,b задана непрерывная функция y f (x)

общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция y f (x) будет знакопостоянна или равна нулю.

Выясним, какая существует связь между определенным интегра-

лом b f (x)dx и площадями возникающих криволинейных трапеций.

Рассмотрим, например, случайфункции, изображеннойнарис. 8.

Рис. 8

Площадь заштрихованной фигуры S S1 S2 S3 , т. е. равна алгебраическойсумме соответствующихопределенных интегралов:

S c	f (x) dx d	f (x)dx b	f (x) dx .	(16)
a	c	d
2. Площадь фигуры, заключенной между графиками функций
f2 (x) и f1(x) , прямыми x a и x b, f2 (x) f1(x), a b				находит-
ся следующим образом:
	S b f2 (x) f1(x) dx .			(17)
	a

Возможнынесколькослучаеврасположениякривыхнаотрезке11.

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]