Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие

7. Объем тела. Некоторые классы кубируемых тел

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1.Вычислениеобъемателапоплощадипараллельныхсечений.

2.Вычисление объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох.

3.Вычисление объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оy.

4.Вычисление объема тела, полученного вращением кривой, заданной параметрическими уравнениями.

5.Вычисление объема тела, полученного вращением кривой, заданной в полярных координатах.

8. Площадь поверхности вращения

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1.Вычисление площади поверхности вращения в декартовых координатах.

2.Вычисление площади поверхности вращения для случая параметрически заданной кривой.

3.Вычисление площади поверхности вращения для случая, когда кривая задана в полярных координатах.

9.Приложения определенных интегралов к решению

простейших физических задач

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

11

Вопросы для обсуждения

1.Определение расстояния, пройденного точкой за промежуток времени.

2.Определение работы переменной силы, действующей в направлении оси Ох, на заданном отрезке.

3. Определение силы давления жидкости удельного веса на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость.

4.Определение количества электричества, протекающего через поперечное сечение проводника заданный промежуток времени.

5.Нахождение статических моментов и моментов инерции плоских дуг и фигур.

6.Нахождение координат центра тяжести плоских дуг и фигур. Теоремы Гульдена.

10. Несобственные интегралы

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1.Определение интеграла от неограниченной функции.

2.Формула интегрального исчисления для несобственных интегралов на конечном промежутке.

3.Несобственные интегралы от неотрицательных на конечном промежутке функций.

4.Критерий Коши.

5.Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы на конечном промежутке.

6.Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов.

7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций.

8.Критерий Коши.

9.Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами.

12

11. Приближенное вычисление определенных интегралов

Цель – формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с направлением подготовки согласно теме 1.

Организационные формы занятий: предложены в теме 1.

Вопросы для обсуждения

1.Случаи использования численного интегрирования (приближенного вычисления) функции.

2.Общая задача численного интегрирования (приближенного вычисления) функции.

3.Геометрический смысл определенного интеграла.

4.Общий метод нахождения площади криволинейнойтрапеции.

5.Метод прямоугольников. Вывод формулы. Геометрическая иллюстрация.

6.Метод трапеций. Вывод формулы. Геометрическая иллюст-

рация.

7.Метод парабол (Симпсона). Вывод формулы. Геометрическая иллюстрация.

8.Оценка погрешности формул численного интегрирования (приближенного вычисления) функции.

13

§ 1. Понятие определенного интеграла

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на от-

резке a,b задана неотрицательная функция y f (x) . Требуется

найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f (x) , прямыми x a , x b и осью абсцисс y 0 (рис. 1).

Общий подход к решению этой задачи состоит во введении в рассмотрение некоторой ломаной, которая расположена достаточно

близко к кривой y f (x) на a,b (рис. 2). Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь Sл может

быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой

y f (x) , то справедливо приближенное равенство S Sл . Это

равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой, поэтому естественно за искомую пло-

щадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы использовать их на практике, уточним в них то, что описывалось нестрого: выбор ломаной и последующий предельный переход.

Понятие интегральной суммы. Пусть функция f (x) опреде-

лена на отрезке a,b . Разделим отрезок a,b на n произвольных

14

частей точками a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b , выберем на каж-

Рис. 3

15

Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке

a,b (или в пределах от a до b ) называется предел интегральной

суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков ( max xk ) стремится к нулю:

Теорема существования определенного интеграла. Если функция f (x) непрерывна на a,b , то предел интегральной сум-

мы существует и не зависит от способа разбиения отрезка a,b на элементарные отрезки и от выбора k .

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пре-

делами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок a,b – областью(отрезком) интегрирования.

Функция y f (x) , для которой на отрезке a,b существует

b

определенный интеграл f (x) dx , называется интегрируемой

a

на этом отрезке.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, не-

посредственно вытекающие из его определения (1):

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

f x dx f z dz f t dt .

Это следует из того, что интегральная сумма (1), следовательно, и ее предел не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

16

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

a

f x dx 0 .

a

3. Для любогодействительногочисла c справедливоравенство:

b

c dx c b a .

a

Приведем пример нахождения определенного интеграла

1

на основании определения – вычислим интеграл x2dx .

0

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки разбиения xk 1, xk имеют одинако-

вую длину xk , равную 1n , где n – число отрезков разбиения,

причем для каждого из отрезков разбиения xk 1, xk точка k

совпадает с правым концом этого отрезка, т. е. k xk kn , где

k 1, 2, ..., n . (В силу интегрируемости функции y x2 выбор та-

кого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек k на отрезках разбиения не повлияет на иско-

мый предел интегральной суммы.) Тогда

Известно, что суммаквадратовчиселнатурального рядаравна:

17

Анализируя приведенный пример, приходим к выводу, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла.

§ 2. Геометрический и физический смысл определенного интеграла

y f (x) , снизу – осью Ох, сбоку – прямыми x a и x b , называется криволинейнойтрапецией. Найдем площадьэтойтрапеции.

Рис. 4

18

В каждом частичном отрезке xi 1; xi , i 1,2,...,n возьмем произвольную точку сi и вычислим значение функции в ней, то есть найдем значение f сi . Умножим значение функции f сi на длину соответствующего частичного отрезка xi xi xi 1 .

i 1

а также приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

n

S Sn f ci xi .

i 1

Суменьшением всех величин xi точность приближения кри-

волинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn , когда п неограниченно возрас-

тает так, что max xi 0 :

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функ-

ции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

2. Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величи-

ну F F x , где x – абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси

19

тичных отрезков x0; x1 , x1; x2 , … , xn 1; xn . Сила, действующая на отрезке xi 1; xi , меняется от точки к точке, но если

длина отрезка xi xi xi 1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно счи-

n

F c1 x1 F c2 x2 ... F cn xn F ci xi . (2)

i 1

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длинаxi xi xi 1 , поэтому за точное значение работы А принимается

предел суммы (2) при условии, что наибольшая длина частичных отрезков стремится к нулю:

a,b , равна определенному интегралу от величины F x силы, взятому по отрезку a,b .

В этом заключается физический смысл определенного интеграла.

По аналогии можно показать, что путь S , пройденный точкой за промежуток времени от t a до t b , равен определенному интегралу от скорости v(t) :

b

S v(t)dt .

a

20