Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие

При вращении эллипса вокруг его большой оси получается удлиненный эллипсоид вращения, объем которого V2 43 ab2 . Очевидно,

V1 V2 .

4. x a cos3 t , y a sin3 t вокруг оси Ох.

Рис. 18

Фигура, ограниченная астроидой (рис. 18), при вращении вокруг оси Ох образует тело вращения, объем которого вычисляется по формуле (24):

42

5. a 1 cos вокруг полярной оси.

Полярная ось делит плоскую фигуру, ограниченную кардиоидой надверавныечасти(рис. 13), поэтомупоформуле(25) получаем:

Задачи

1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y 4 x2 , y 0, x 0, где x 0 вокруг: а) оси

Ох; б) оси Оу.

2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: y x2 , y x вокруг оси Ох.

3. Найти объем тела, полученного вращением одной арки цик-

лоиды x a t sin t , y a 1 cost .

Ответы

1. а). 25615 ; б). 8 . 2. 310 . 3. 5 2a3 .

§ 8. Вычисление площади поверхности вращения

Если дуга гладкой кривой y f (x) , где a x b вращается

вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:

43

Примеры

1. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги синусоиды y sin 2x от x 0 до x 2 .

2. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох астроиды x a cos3 t , y asin3 t (рис. 17).

Применяя формулу (27) к уравнению астроиды, получим:

44

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой 2asin вокруг полярной оси.

Кривая 2asin является окружностью, касающейся по-

люса оси, поэтому по формуле (28) площадь искомой поверхности будет равна:

Задачи

1. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой y x3 от x 0 до x 12 .

2.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды x a t sin t , y a 1 cost .

3.Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты 2 a2 cos2 .

45

§9. Приложения определенных интегралов

крешению простейших физических задач

1.Путь, пройденный точкой за промежуток времени.

Если точка движется по некоторой кривой, и абсолютная величина скорости ее v f t есть известная функция времени t, то

путь, пройденный точкой за промежуток времени a;b , равен:

a

2. Работа переменной силы.

Работа переменной силы X F x , действующей в направлении оси Ох, на отрезке a;b определяется формулой:

a

3. Сила давления жидкости.

Сила давления Р жидкости удельного веса на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, вычисляется по формуле:

a

где y f (x) – известная функция, зависящая от формы пластинки.

4. Определение количества электричества.

Пусть по проводнику течет ток переменной силы I I t , I t 0 . Определить количество электричества Q , протекающего через поперечное сечение проводника за промежуток времени

t1;t2 t2 t1 .

Известно, что для постоянного тока I : Q I t2 t1 . Для определения Q в случае переменного тока выделим элементарный отрезок времени t; t dt и подсчитаем соответствующий «эле-

46

(направление тока меняется в течение данного времени), то интеграл (32) даст разность между количеством электричества, про-

шедшим через поперечное сечение проводника за время t2 t1

в одну сторону, и количеством электричества, прошедшим за то же время в противоположную сторону.

5.Статические моменты и моменты инерции плоских дуг

ифигур.

,1 1 1

xOy , ее статическим моментом относительно оси Ох назовем сумму произведений масс этих точек на их ординаты:

k 1

Совершенно аналогично (как сумма произведений масс точек на их абсциссы) определяется статический момент системы относительно оси Оу:

k 1

Моментами инерции Ix и I y системы относительно осей Ох

и Оу называются суммы произведений масс точек на квадраты их расстояний от соответствующих осей. Таким образом,

47

За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур принимаются соответствующие моменты условных масс, равномерно распределенных вдоль этих дуг и фигур с плотностью (линейной или плоскостной), равной единице.

Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кри-

где dl 1 y 2 dx – дифференциал дуги кривой.

Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f (x) , осью Ох и двумя пря-

мыми x a и x b , вычисляются по формулам:

В этих формулах dS ydx – дифференциал площади криволинейной трапеции.

6. Нахождениекоординатцентратяжести. ТеоремыГульдена.

Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кри-

вой y f (x) , a x b выражаются формулами:

где dL 1 y 2 dx , а L – длина дуги.

Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вы-

числяются по формулам:

где dS ydx , а S – площадь фигуры.

48

Теоремы Гульдена

Теорема 1. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

Примеры

1. Скорость точки v=0,1t3 м/с. Найти путь s, пройденный точкой за промежуток времени Т=10 с, протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения точки за этот промежуток?

По формуле (29) получаем:

2. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила 1 н растягивает ее на 0,01 м? Согласно закону Гука, сила Х н, растягивающая пружину на х м, равна X=kx, где k – коэффициент пропорциональности. Полагая, что х=0,01 м и Х=1 н, получим k 100 , следовательно, X kx 100x . Искомую работу определяем по формуле (30):

3. Найти работу, совершенную при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого a, радиус r

(рис. 19).

49