Общая теория измерений. Практикум. Учебное пособие

Найти расчетное значение критерия для значения 36,012:

K Д = xn - xn-1 = 36,012 - 36,011 = 0,2 . xn - x1 36,012 - 36,007

Как следует из табл. 2, по этому критерию результат 36,012 не является промахом при всех уровнях значимости.

При числе измерений меньше15 предварительная оценка вида распределения результатов наблюдений не производится. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

4. Определение доверительных границ случайной погреш-

ности

При числе измеренийn = 11 используем распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погреш-

ности D p = ±t p × S x / n . Коэффициент Стьюдента при довери-

тельной вероятности Рд = 0,95 и при n = 11 равен 2,23. Тогда доверительные границы случайной погрешности

D p = ±2,23 × 0,000194 11 = ±0,0012 .

Границы неисключенной систематической погрешности q принимают равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средства измерения. Для рычажного микрометра допускаемая погрешность равна ± 0,7 мкм.

Погрешность результата измерения определяют по следующему правилу. Если границы неисключенной систематической погрешности q < 0,8 < S x , то следует пренебречь систематической составляющей погрешности и учитывать только случайнуюпо грешность результата. В нашем случае q = 1,4 мкм, а S x = 2 мкм,

т. е. соотношение q < 0,8 < S x выполняется, поэтому систематической погрешностью пренебрегаем.

Результат измерения: x = x ± D p = 36,009 + 0,001 при дове-

рительной вероятности Р = 0,95.

71

Контрольные вопросы

1.Как определить доверительные границы случайной погрешности?

2.Какова последовательность обработки результатов прямых многократных измерений?

3.Какие существуют правила построения графиков?

4.Каким образом проводится проверка на наличие грубых погрешностей в результатах измерения по критерию Диксона?

Практическая работа № 12.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СОГЛАСОВАННОСТИ ЭМПИРИЧЕСКОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ КРИТЕРИЮ

Цель работы: изучить гипотезу о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.

Теоретические сведения

Для проверки нормальности закона распределения результата измерения по составному критерию рассчитывается соотношение

и проверяется выполнение условия

dmin ≤ d ≤ dmax,

где dmin и dmax зависят от вероятности Р, с которой принимается решение.

Значения dmin и dmax находим по табл. 1.

72

Если условие выполняется, то дополнительно проверяются “хвосты” теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 ≤ n ≤ 20 считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измеренияхi от х больше, чем на 2,5S, а при 20 < n < 50 допускается не более двух отклонений, т. е. проверяется условие допускается не более 2 отклонений, т. е. проверяется условие

-

xi - x ³ 2,5S .

При выполнении обоих условий гипотеза о согласованности эмпирического и теоретического распределения принимается с вероятностью

пределения вероятности результата измерения по составному критерию. Повторные измерения силы тока дали следующие результаты, представленные в приложении, табл. 15, массив экспериментальных данных взять в соответствии со своим вариантом.

Задание 2. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения результатов прямых измерений приве-

73

дённых в приложении, табл. 1 с теоретическим. Для проверки использовать критерий Пирсона. Результаты вычислений занести в табл. 2.

Таблица 2

Пример. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения результатов прямых измерений приведённых в табл. 1 с теоретическим для уровней значимости q = 1 – P = = 0,1; 0,05; 0,01.

Решение. Так как число измерений n не превышает 50, для проверки гипотезы о виде закона распределения будем использовать составной критерий d, рекомендованный ГОСТ 8.207 – 76 “ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения”:

1)результаты наблюдений (см. приложение, табл. 2) сгруппировать в интервальный вариационный ряд;

2)построить гистограмму или полигон;

3)исходя из вида гистограммы выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения результатов;

4)по формулам (1) и (3) вычислить оценки среднего ариф-

s(см. пример 1, практическая работа № 3);

5)смещенную оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений S определить по формуле

S = 1,79;

6) определить значение составного критерия d по формуле

74

Поскольку 0,7518 < 0,7650 < 0,8481, гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива с вероятностью 95 %.

Контрольные вопросы

1.В чем сущность и виды проверки статистических гипотез?

2.Как производится выбор критериев для проверки статистических гипотез?

3.Перечислите основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез.

4.Что представляет собой гипотезу о нормальном законе распределения результатов?

Практическая работа № 13.

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРОИЗВЕДЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: произвести оценку произведенных измере-

ний.

Теоретические сведения

Оценка точности измерений производится:

-до начала измерений путем обработки результатов специально выполненных наблюдений;

-после окончания измерений путем обработки результатов наблюдений, выполненных в процессе этих измерений.

75

Для оценки точности измерений используются многократные наблюдения параметра в одном из установленных сечений (мест) или двойные наблюдения параметра в разных сечениях (местах) одного или нескольких объектов измерений.

Общее число наблюдений М, необходимое для оценки точности результата измерений, составляет:

для предварительной оценки – 20; для оценки точности выполненных измерений – не менее 6.

Для уменьшения влияния систематических погрешностей на результат измерения наблюдения производятся в прямом и обратном направлениях, на разных участках шкалы отсчетного устройства, меняя установку и настройку прибора и соблюдая другие приемы, указанные в инструкции по эксплуатации на средства измерения. При этом должны быть соблюдены условия равноточности наблюдений (выполнение наблюдений одним наблюдателем, тем же методом, с помощью одного и того же прибора и в одинаковых условиях). Перед началом наблюдений средства измерений следует выдерживать на месте измерений до выравнивания температур этих средств и окружающей среды.

Оценка точности измерений производится путем определения действительной погрешности измерения dxx мет и сравнения

ее с предельной погрешностьюdxмет . В случаях, когда нормиро-

вана относительная погрешность измерения, определяется действительная относительная погрешность.

Действительная погрешность измерения при многократных наблюдениях определяется по формуле

dxx мет = tSx мет ,

где Sx мет – среднее квадратическое отклонение измерения; t – ко-

эффициент (принимают по табл. 1).

76

Среднее квадратическое отклонение измерения при многократных наблюдениях параметра определяется по формуле

где xj – результат наблюдения; x – результат измерения, полученный по многократным наблюдениям параметра (среднее арифметическое); М – число равноточных результатов наблюдений, выполняемых для предварительной оценки; m – число наблюдений параметра, выполняемых при контроле в данном сечении (месте).

Если при измерениях используются средства и методы, для которых из специально выполненных ранее измерений или из эксплуатационной документации установлено среднее квадратическое отклонение наблюдения Sмет , то действительная погрешность измерения определяется по формуле

dxx мет = t Sмет .

m

Действительная погрешность результата измерения при двойных наблюдениях параметра в одном из установленных -се чений (местах) оценивается по формуле

dxs мет = qxm мет + t × Sx мет ,

где qxm мет × Sx мет – абсолютное значение остаточной систематиче-

ской погрешности, численное значение которой определено из обработки ряда двойных наблюдений.

Задание Задание. Произвести оценку точности произведенных из-

мерений, заполнить таблицу, используя данные табл. 2.

77

Таблица 2

Пример. Произвести предварительную оценку точности измерений длинномером длины изделий при контроле точности их изготовления.

Решение. Измерение длины каждого изделия в процессе контроля будет производиться при числе наблюдений m = 2.

Выполнить многократные наблюдения длины одного изделия при числе наблюдений М = 10. Для уменьшения влияния систематической погрешности первые пять наблюдений выполнить в

78

одном направлении, каждый раз со сдвигом шкалы рулетки на 70–90 мм, а вторые пять наблюдений– в другом направлении с тем же сдвигом шкалы.

Результаты наблюдений и последовательность их обработки приведены в табл. 3 (приведены результаты 10 наблю-

дений, т. е. М = 10).

Таблица 3

79

Среднее квадратическое отклонение результата измерений найти по формуле

Действительная погрешность измерения будет составлять dxx мет = tSx мет = 2,5×2,0 = 5,0 мм.

Предельную погрешность измерения найти по формуле dxx мет = K × Dx .

При допуске на длину 16,5 мм по 16 квалитету dxx мет = 0,2 ×16,5 = 3,3 мм.

Проверить соблюдение условия dxåмет £ dxx мет , которое

не выполняется, так как 5,0 > 3,3 мм.

Действительная погрешность измерения не соответствует требуемой, должны быть приняты другие средства измерений или увеличено количество наблюдений т. Принимаем т = 5, тогда

dxx мет = 2,5×1,29 = 3,2 мм.

В этом случае условие выполняется, так как 3,2 мм < 3,3 мм.

Контрольные вопросы

1.Что относят к числовым характеристикам точности измерений?

2.Каким образом проводится оценка точности функций измеренных величин?

80