Общая теория измерений. Практикум. Учебное пособие

Решение.

1. По виду гистограммы (рис. 2) предполагаем, что закон распределения нормальный.

2.По данным примера 1: mx = x = 11,9 и s = 1,81.

3.Заполнить табл. 5.

21

5. По виду статистических кривых можно сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия.

Задание 3. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении, табл. 2. Найти доверительный интервал.

Пример 3. По данным примера 1 найти доверительный интервал.

Решение.

1.По данным примера 1: x = 11,9 и s = 1,81.

2.Так как закон распределения результата измерения нормальный, то стандартное отклонение

s x = 1,81 = 1,81 = 0,256 . 50 7,07

3.Доверительная вероятность Р = 1 – 0,05 = 0,95.

4.По приложению, табл. 5, для Р = 0,95 и числа степеней

свободы k = 49, t p = 2,01.

5. Полуширина доверительного интервала

e= 2,01 × 0,256 = 0,514 .

6.Доверительный интервал

[11,9 - 0,514, 11,9 + 0,514].

Контрольные вопросы

1.Что такое кумулятивная кривая?

2.В каком случае используется выравнивание статистических распределений?

3.Что представляет собой аргумент t p ?

4.Что понимают под доверительным интервалом?

5.Какова последовательность определения интервальной оценки параметров распределения?

22

Практическая работа № 3.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ

Цель работы: провести проверку гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона и проверку гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.

Теоретические сведения

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как проверка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Среди наиболее известных критериев следует отметить

2

критерий Пирсона χ , критерий Колмогорова, составной критерий d, критерий Мизеса – Смирнова ω2.

Порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия может быть следующим:

1)выбирают меру расхождения между теоретическим и эмпирическим законами распределения u;

2)задают уровень значимости критерия α;

3)вычисляют меру расхождения для исследуемого статистического распределения uэ;

4)находят табличное значение uα , отвечающее заданному уровню значимости α;

5)делают вывод относительно проверяемой гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений:

если uэ > uα – гипотеза отклоняется; если uэ < uα – гипотеза принимается.

1.Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона.

23

При числе измерений n ≥ 50 используется критерий согласия Пирсона (критерий c2):

где r – число интервалов;

mi - частота i-го интервала; n - число испытаний;

Pi - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

При n ® ¥ случайная величина и = c 2 имеет распределе-

ние Пирсона с S = r - k - 1 степенями свободы, где k - число параметров распределения.

Результаты наблюдений x1 , x2 ,...,xn группируют в интервальный вариационный ряд; интервалы, в которых mi < 5, объединяют с соседними; число степеней свободы при этом уменьшается.

Строят гистограмму или полигон и выдвигают гипотезу о виде закона распределения. Вычисляют оценки параметров распределения, (для теоретического нормального распределения такими оценками являются среднее арифметическоех и среднее квадратическое отклонение s).

Определяют теоретическую вероятность попадания -слу чайной величины Х в каждый интервал

Pi = F(xi+1 )- F(xi )

или

f (x )= P x( =)h × f (t ); s

24

По формуле (1) определяют величину расхождения c2э. Задают уровень значимости критерияα. Определяют число степеней свободы k = r - S - 1,

где r – число интервалов выборки;

S – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборкам.

Для нормального распределения принимаютS = 2, k = r - 3 . Рекомендуется, чтобы каждая группа содержала не менее 5-8 частот; малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя эмпирические частоты.

Мера расхождения сравнивается с табличнойc2α, найденной (приложение, табл. 6) по заданному уровню значимости α (q) = = 1 – Р (рекомендуется выбирать q = (0,01 - 0,02) и числу степеней свободы k;

Делают вывод о проверяемой гипотезе: если c2э >c2α - гипотезу отвергают; если c2э < c2α - гипотезу принимают.

2. Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения”. При проверке задаются уровнем значимости qI (αI) (для критерия I) и qII (αII) (для критерия II). Уровень значимости составного критерия должны удовлетворять условию: q ≤ qI + qII · (α ≤ αI + αII).

Гипотеза о согласованности опытного распределения с теоретическим нормальным проверяется следующим образом.

1) Проверяют выполнение критерия I.

Для этого определяют значение d по формуле

где S * - смещенная оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений определяется по формуле

25

Подставляя выражение (3) в формулу (2) получают

Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:

2) Проверяют выполнение критерия II.

Гипотеза о нормальности распределения по критериюII подтверждается, если не болееm разностей xi - x превзошли значения

Z P × S ,

2

где Z P - верхняя квантиль интегральной функции нормирован-

2

ного распределения Лапласа; S - несмещенная оценка СКО результата наблюдений определяемая по формуле

стей m, задаются уровнем значимости qII и для известного n (приложение, табл. 9) находят значения P и m.

Результирующий уровень значимости составного критерия: q ≤ qI + qII. Если окажется, что хотя бы один из критериев не выполняется, то считают, что распределение исследуемой совокупности результатов измерений не соответствует нормальному закону.

26

Задания Задание 1. Произведено 50 измерений напряжения радио-

сигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении, табл. 2. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим. Вычисления свести в табл. 1.

Значения функции Лапласа F (ti ) определить по прило-

жению, табл. 4. Суммирование чисел в графе 7 дает c2э. Сделать вывод о согласованности эмпирического закона распределения с теоретическим.

Пример. По данным практической работы №2 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим.

Решение.

1.По данным примера 1: x = 11,9 и s = 1,81.

2.Заполнить табл. 2.

Таблица 2

27

Окончание табл. 2

c2э = 14,15.

4. Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = 7 – 3 = 4 в приложении, табл. 6 найти c2α = 9,488.

5. Так как c2э >c2α – гипотеза о согласованности эмпирического распределения с теоретическим отвергается.

Задание 2. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении, табл. 2. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим, используя составной критерий.

Пример. По данным практической работы №2 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим, используя составной критерий.

Решение.

1. Результаты наблюдений группируем в интервальный вариационный ряд.

2.Построить гистограмму или полигон.

3.Исходя из вида диаграммы выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения результатов.

28

4.Вычислить оценки среднего арифметическогоx = 11,9 и среднего квадратического отклонения S = 1,81.

5.По формуле (3) найти смещенную оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений S = 1,79.

6.Определить значение составного критерия d по формуле (2):

d = 68,49 = 0,765 .

50×1,79

7.Задать уровень значимости qI = 0, 05.

По приложению, табл. 8 для числа опытов n = 50 найти: d1-0,05 = 0,7518 ; d0,05 = 0,8481 .

Поскольку 0,7518 < 0,765 < 0,8481, переходим к проверке по критерию II.

8.Задать уровень значимости qII = 0, 05.

9.По приложению, табл. 9 для qII = 0, 05 и n = 50 найти

Р= 0,98 и m = 2.

10.По приложению, табл. 8 для Р = 0,98 определить значение верхней квантили интегральной функции нормированного

распределения Лапласа Z P = 2,33.

2

11. Рассчитать величину Z P × S = 2,33 ×1,79 = 4,17 .

2

12. Число разностей xi - x , превышающих значение 4,17,

равно 3, что превышает предельно допустимое значение m = 2. Поскольку критерий II не выполнен, распределение иссле-

дуемой совокупности результатов измерений не соответствует нормальному закону. Результирующий уровень значимости составного критерия: q ≤ 0,05 + 0,05 = 0,1.

Контрольные вопросы

1.Каков порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия?

2.Каков порядок проверки гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений?

3.Чем отличается эмпирическая кривая от теоретической?

29

Практическая работа № 4.

ОБРАБОТКА РАВНОРАССЕЯННЫХ И НЕРАВНОРАССЕЯННЫХ РЯДОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Цель работы: провести обработку равнорассеянных и неравнорассеянных наблюдений.

Теоретические сведения

Равнорассеянными называют результаты наблюдений х, которые получены одним или группой наблюдателей с помощью одних и тех же методов и средств измерений в неизменных условиях внешней среды.

Однако во многих случаях результаты измерений могут быть представлены несколькими сериями, которые получены для разных условий, например, с помощью различных средств измерений. В этих случаях необходимо решить две задачи: первая задача - проверка равноточности этих серий, в случае отрицательного заключения вторая задача - обработка полученных неравноточных результатов.

Для проверки гипотезы о равнорассеянности наблюдений применяется распределение Фишера. Распределению Фишера подчиняется отношение

Распределение Фишера задается в виде процентных точек в табличной форме в зависимости от числа степеней свободыk1

разных значений доверительной вероятностиa = 1 - q или уровня значимости q , априорно принимаемых при проверке гипотезы о равнорассеянности дисперсий (приложение, табл. 10).

30