Общая теория измерений. Практикум. Учебное пособие

Условие принятия гипотезы о равнорассеянности выражается следующим неравенством:

т. е. если при выбранном уровне значимости q отношение большей дисперсии к меньшей будет меньше значения F(k1 ; k2 )q , полу-

ченного из таблицы распределения Фишера, это означает, что различие оценок незначимо, и они являются двумя независимыми оценками одной и той же дисперсии.

Другой способ оценки равноточности дисперсий заключается в нахождении доверительных границ для истинной дисперсии s2X по формуле

Нижнюю и верхнюю границы для s2X находим по формуле

Задаваясь уровнем значимости q = 1 - Р или доверительной вероятностью Р, можно найти предельное значение tР

в приложении, табл. 5, и если t1-2 < t p , то гипотеза о равенстве

математических ожиданий принимается.

Вычисляют величину t1-2 на основании двух средних арифметических:

Если результаты наблюдений распределены нормально, то t1-2 имеет распределение Стьюдента с n1 + n2 - 2 степенями свободы, асимптотически переходящее в нормальное при большом числе наблюдений с математическим ожиданиемМ ( t1-2 ) = 0 и дисперсией D(t1-2 )=1.

31

Распределением Стьюдента пользуются и в том случае, когда проверка равенства дисперсий в группах дала отрицательные результаты. Тогда необходимо проверить разность всех сочетаний групп, поскольку незначимость различия между Хmax и Хmin в группах еще не означает, что между другими средними различия тоже будут незначительными. Причиной этого является различие дисперсий в отдельных группах наблюдений.

Значимое различие групповых средних X j говорит о том,

что на формирование результатов оказывает влияние сильнодействующая причина или ряд причин (факторов). Следует провести анализ условий измерения, попытаться найти причины систематической погрешности, определить ее значение и ввести поправку в соответствующие результаты.

В том случае когда различие дисперсий значимо, а различие средних арифметических незначимо, группы результатов называются неравнорассеянными.

Ряды получающихся при этом результатов наблюдений называются неравнорассеянными, если оценки их дисперсий значительно отличаются друг от друга, а средние арифметические являются оценками одного и того же значения измеряемой величины.

Если средние неравнорассеянных рядов наблюдений мало отличаются друг от друга, то говорят о высокой воспроизводимости измерений, которая количественно характеризуется параметрами рассеивания результатов.

Рассмотрим некоторые случаи, приводящие к необходимости обработки результатов неравнорассеянных измерений.

1. Если при точных измерениях необходимо убедиться в отсутствии неисключенных систематических погрешностей, то измерения проводятся несколькими исследователями или группами исследователей. Если средние арифметические полученных рядов наблюдений незначительно отличаются друг от друга и ничто не указывает на наличие систематических погрешностей, то заманчиво объединить все полученные результаты и на основе их математической обработки получить более достоверные сведения об измеряемой величине.

32

2.Аналогичные измерения были выполнены в разных лабораториях различными методами и получены отличающиеся друг от друга результаты. Естественно, и в этом случае, используя все имеющиеся данные, попытаться получить более достоверные значения измеряемых величин.

3.Измерения, относящиеся к образцовым мерам и измерительным приборам, часто повторяются через некоторое время. В конце концов накапливаются ряды наблюдений и возникает необходимость объединить их. Точность рядов наблюдений различна, с одной стороны, из-за того что для впервые проводи-

мых измерений характерно большее рассеивание результатов, а с другой - из-за того что с течением времени средства измерения стареют или заменяются новыми.

Во всех описанных ситуациях приходится прибегать к методам обработки результатов неравнорассеянных рядов наблюдений, задача которых в общем случае заключается в нахождении наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценки воспроизводимости измерений.

Для практической обработки результатов неравнорассеянных рядов наблюдений необходимо ввести параметр вес:

Веса характеризуют степень нашего доверия к соответствующим рядам наблюдений. Чем больше число наблюдений в каждом данном ряду и чем меньше дисперсия результатов наблюдений, тем больше степень доверия к полученному при этом среднему арифметическому и с тем большим весом оно будет учтено при определении оценки истинного значения измеряемой величины.

33

Весовые коэффициенты для трех рабочих термометров определяются по формуле

åa j

i=1

где αj – безразмерные относительные весовые коэффициенты; n – число наблюдений.

Среднее взвешенное для трех рабочих термометров определяется по формуле

Х 0 = åа j X j .

Дисперсия среднего взвешенного для трех рабочих термометров определяется по формуле

Задания Задание 1. Даны результаты трех групп наблюдений деци-

метрового интервала штрихового эталона метра с визированием на штрихи по фотоэлектрическому микроскопу. Каждая группа наблюдений объединяет результаты наблюдений, полученные в течение 10-15 мин в утренние часы после стабилизации температуры. Результаты наблюдений (отклонения в микрометрах), так-

34

Пример 1. Вычислить оценки дисперсий для каждой группы результатов (СКО).

3. Эти отношения имеют распределение Фишера с k1 = 4 и k2 = 4 степенями свободы. Уровень значимости 5 % ( q = 0,05), из таблиц распределения Фишера (см. приложение, табл. 7) определить: F4; 4;0,05 .

4. Проверить по распределению Стьюдента значимость различий средних арифметических каждой группы и вычислить разности t1-2 ; t1-3 ; t2-3 .

5. По приложению, табл. 5 для доверительной вероятности, соответствующей принятому уровню значимости, Р = 1 - q =

= 0,95 и для k = n1 + n2 - 2 найти t0,95 . Сравнить полученные рас-

четом различия средних t с предельным различием.

Задание 2. Произведены измерение температуры на рабочем и образцовом термометрах для 20 точек (см. приложение, табл. 11). Для трех рабочих термометров в соответствии

сзаданным законом изменения температуры:

-необходимо найти наилучшую оценку для объединенных результатов измерений (весовые коэффициенты для трех рабочих термометров);

-определить среднее взвешенное для трех рабочих термометров;

-определить дисперсию среднего взвешенного для трех рабочих термометров;

-определить среднее квадратичное отклонение;

-результаты представить в таблице, сделать выводы.

Пример 2. При испытаниях центробежного насоса на постоянном режиме работы измерялась частота вращения ротора с помощью индуктивного датчика и магнитоиндукционного тахометра. Предварительной обработкой двух рядовнаблюдений, объемами nI = nII = 20, установлено, что распределения не

35

противоречат нормальному. Результаты измерений: X1 = 297,3

рад/с, X 2 = = 296,9 рад/с; оценки СКО средних: S X1 = 0,6 рад/с;

S X 2 = 1,2 рад/с.

Требуется определить наиболее достоверное значение частоты вращения ротора и оценить погрешность при доверительной вероятности P = 0,95. Прежде чем приступить к совместной обработке рядов наблюдений, необходимо определить зна-

чимость различий средних X j и дисперсий S X2 j . Допустимость

различия оценок дисперсий проверяем по критерию Фишера. Вычислить отношение дисперсий по формуле

По приложению, табл. 7 при принятом уровне значимости q = 0,05 и числах степеней свободы k1 = k2 = 20 -1 =19 найти квантиль распределения Фишера, она равна:

= 0,05 делаем вывод, что гипотеза о равноточности рядов наблюдений отвергается.

Допустимость различия средних определить по критерию Стьюдента (приложение, табл. 5). Найти квантиль Стьюдента при вероятности P = 0,95 и числе степеней свободы k = = n1 + n2 - 2 = 38 - t p = 1,9599 .

Гипотеза о допустимом различии средних S X2 2 под-

тверждается, так как

36

1,49 < t0,95 »1,96 .

Следовательно, два ряда наблюдений относятся к нерав-

ских ожиданий выборок имеют допустимое различие. Обработать результаты неравноточных измерений по вышеизложенным прави-

37

Доверительная граница погрешности результата измерения (без учета знака) при вероятности Р = 0,95 будет равна (при

k =1,9599; Р = 0,95, см. приложение, табл. 5. Найти t0,95 » 4,303 :

Xj ú

êúê j=1 j S

Контрольные вопросы

1.Как можно установить соответствие прибора требованиям того или иного класса точности?

2.Что такое неравнорассеянные наблюдения?

3.Какие виды ситуаций, приводящих к необходимости обработки результатов неравнорассеянных измерений, вы можете назвать?

38

4.Какие требования по точности предъявляют к образцовому прибору?

5.Что понимают под воспроизводимостью и сходимостью результатов наблюдений?

6.К какому виду измерений относят неравнорассеянные наблюдения?

7.Что такое равнорассеянные наблюдения?

8.В каком случае пользуются распределением Стьюдента?

9.Каким образом задается распределение Фишера?

Практическая работа № 5.

ОБРАБОТКА МНОГОКРАТНЫХ РАВНОТОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: изучить один из методов обработки многократных равноточных измерений; получить навыки обработки многократных равноточных результатов измерений; закрепить полученные навыки обработки многократных равноточных -ре зультатов измерений, проведя расчеты по вариантам.

Теоретические сведения

Результаты многократных наблюдений, получаемые при прямых измерениях величиныХ, называются равноточными (равнорассеянными), если они являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Измерения проводятся одним наблюдателем в одинаковых условиях внешней среды и с помощью одного и того же средства измерения.

Статистическая обработка группы результатов наблюдения при равноточных измерениях, нормальном распределении, выполняется в следующей последовательности.

1.Производят n измерений хi величины х.

2.Вычисляют среднее арифметическое значение x , принимая его за оценку истинного значения измеряемой величины:

39

3. Вычисляют отклонения каждого результата измерения относительно среднего арифметического(абсолютную погрешность):

4. Вычисляют среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения:

n

åvi2

5.Задают доверительная вероятность Рд.

6.Вычисляют размах доверительного интервала через коэффициент Стьюдента tnp:

40