Общая теория измерений. Практикум. Учебное пособие

Задание

Задание. Значения xi взять из табл. 2 в соответствии с номером варианта и занести их в табл. 3.

Таблица 2

Определить значения величин: x , (xi- x ), (xi- x )2, Dx , S, dx . Выполнить расчеты по формулам. Результат занести в табл. 3.

Результат записать в виде X = x ± Dx при Рд = К, dx1 = К %. Расчеты сделать для двух значений вероятности Рд.

Пример. Составить таблицу для записи в нее результатов наблюдений и расчетных значений (табл. 4).

41

По формуле (1) вычисляем x = 99,6 . По формуле (3) вычисляем S = 0,21.

Р1 = 0,95, n = 15, следовательно, tnp1 = 2,145; Р2 = 0,99, n = 15, следовательно, tnp2 = 2,977.

dx2 = 0,63 %.

Записываем результат:

Х1 = 99,6 ± 0,45, Рд = 0,95, dx1 =0,45 %. Х2 = 99,6 ± 0,63, Рд = 0,99, dx2 =0,63 %.

Контрольные вопросы

1.Какие результаты многократных измерений называются равноточными?

2.Привести схему статистической обработки результатов наблюдений.

3.Как определяется оценка среднего квадратического -от клонения среднего арифметического?

42

4.Как определяется коэффициент Стьюдента?

5.Как определяется оценка среднего квадратического -от клонения результата измерения?

Практическая работа № 6.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

Цель работы: изучить методику обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями.

Теоретические сведения

В измерительной практике для повышения качества измерений часто обращаются к измерениям с многократными наблюдениями, т.е. к повторению одним и тем же оператором однократных наблюдений в одинаковых условиях с использованием одного и того же средства измерения. В результате соответствующей обработки полученных данных удается уменьшить влияние случайной составляющей погрешности на результат измерений. При этом могут быть использованы различные процедуры обработки. Ниже кратко описана стандартная методика выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями и основные положения по обработке результатовна блюдений и оцениванию погрешностей результатов измерений.

Исключение систематических погрешностей из результатов наблюдений проводится либо расчетным путем(см. практическую работу № 2), либо по результатам поверки. После исключения систематических погрешностей все дальнейшие вычисления проводятся для исправленного ряда наблюдений.

Среднее арифметическое ряда наблюдений (результатов наблюдений) рассчитывают по формуле

43

где xi – i-й исправленный результат наблюдения; x – среднее арифметическое исправленного ряда наблюдений; n – число результатов наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений рассчитывают по формуле

Среднее квадратическое отклонение s x является основной характеристикой размера случайных погрешностей результатов наблюдений.

Для расчета среднего квадратического отклонения результата измерения s x используется формула

Среднее квадратическое отклонение s x является основной

характеристикой размера случайных погрешностей результата измерений.

Чтобы установить принадлежат(или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.

В случае проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению предпочтительным, при числе результатов n > 50, является один из критериев: χ2 Пирсона или ω2 Мизеса – Смирнова. В работе используется критерий Пирсона.

При числе результатов наблюдений 50 < n < 15 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.

При n ≤ 15 гипотеза о принадлежности результатов наблюдений к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения ре-

44

зультатов от нормального закона, для обработки результатов наблюдений используется распределение Стьюдента.

Для проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.

Построение гистограммы включает в себя следующие этапы.

1.Исправленные результаты наблюдений располагаются в порядке возрастания x1, x2,…, xn, где xi <= xi + 1.

2.Вычисляется диапазон изменения значений результатов

наблюдений: Rn = xn − x1.

3.Весь этот диапазон разбивается на r интервалов одинаковой длины (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу: r =1+3,32×lgn с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно r лежит в диапазоне от 7 до 15.

4.Определяется ширина интервала:

6.Для каждого j-го интервала (j = 1, 2,..., r) вычисляются числа nj – частость попадания результата наблюдений в интервал.

7.Строится гистограмма. Для этого по оси результатов наблюдений в порядке возрастания номеров откладываются интервалы j, и на каждом интервале строится прямоугольник высота которого, пропорциональна nj.

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона(для нормального распределения такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согла-

сия для проверки гипотезы.

Критерий согласия χ2 Пирсона имеет вид:

45

где r – число интервалов;

mi - частота i-го интервала; n - число испытаний;

Pi - теоретическая вероятность попадания случайной вели-

чины в i-й интервал.

Определяют теоретическую вероятность попадания -слу чайной величины Х в каждый интервал

Pi = F (x i + 1 )- F (x i )

или

f (x )= P (x )= h × f (t ). s

По таблицам χ2 – распределения находят критическое зна-

2

чение критерия согласия χ . В технической практике обычно

кр

2

задаются уровнем значимости α= 0,05. Значения χ , для этого

кр

уровня значимости, приведены в приложении, табл. 6.

Если χ2 < χ2кр принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, в противном случае – гипотеза отвергается.

Доверительные границы ε (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле

e = t ×s (x),

где t – квантиль распределения Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности P и числа наблюдений n. Значения величины t при Р = 0,95 и 0,99 приведены в приложении, табл. 5.

Hеисключенная систематическая погрешность результата измерения образуется из составляющих, которыми могут быть неисключенные систематические погрешности метода, средств измерения и другие. За границы составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы основных и допoлнительных погрешностей средств измерений.

46

При суммировании составляющие неисключенной систематической погрешности рассматриваются как случайные величины с равномерными законами распределения. Границы неисключенной систематической погрешности θ результата измерения рассчитывают по формуле

m

q = K × åqi2 ,

i =1

где θi – граница i-й неисключенной систематической погрешности, K – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,95 полагают к = 1,1).

Доверительная граница погрешности результата измере-

q

ния устанавливается в зависимости от соотношения ( ). s x

погрешностями пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения = ε.

s x – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

47

Коэффициент К рассчитывается по формуле

должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности .

Если данные о виде функции распределения случайной и неисключенного остатка систематической составляющих - по грешности результата измерения отсутствуют то, результаты измерения представляют в виде x; s x ; n; θ.

Задание Задание. В соответствии с этой методикой обработку ряда

наблюдений следует выполнять в следующей последовательности.

1.Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.

2.Вычислить среднее арифметическое исправленных -ре зультатов наблюдений, принимаемое за результат измерения.

3.Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения.

4.Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения.

5.Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

48

6.Вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения.

7.Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения.

8.Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

9.Представить результат измерения в соответствии с установленными требованиями.

При выполнении этой последовательности действий руководствуются следующими правилами:

− проверку гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению проводят с уровнем значимости α, выбираемым в диапазоне от 0,02 до 0,10.

− при определении доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятностьР принимают равной 0,95.

− в тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятностиР = 0,95, допускается указывать границы для Р = 0,99 .

Контрольные вопросы

1.Каковы требования к совокупности операций, чтобы их можно было назвать измерением?

2.Дайте определение и назовите составляющие систематической погрешности.

3.Возможно ли для случайной погрешности, распределенной по нормальному закону, ввести понятие «пределы максимально допустимой погрешности»?

4.Разъясните термин «доверительные границы». Объясните

49

6.Каков правильный результат измерения, если среднее значении по 20 наблюдениям 109,23 А, оценка среднего квадратического отклонения результата измерения0,94, а необходимая доверительная вероятность 0,99?

7.С какой целью и в каких случаях выполняют многократные равноточные измерения?

8.Перечислите и дайте краткую характеристику основным этапам обработки результатов многократных равноточных измерений.

9.На какой закономерности случайной погрешности основаны критерии обнаружения грубых погрешностей?

10.Справедливо ли утверждение«Проведение многократных равноточных измерений позволяет исключить из результата случайную погрешность»? Дайте пояснение.

11.Что такое систематическая погрешность?

12.По какому алгоритму объединяют границы случайной и систематической погрешности измерений? Почему арифметическое сложение погрешностей является неправильным? Ответ поясните примером.

Практическая работа № 7.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ СОВОКУПНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Цель работы: изучить обработку результатов наблюдений совокупных и совместных измерений.

Теоретические сведения

При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:

-отличие cовокупных и совместных измерений от прямых и косвенных;

-примеры совокупных и совместных измерений;

-метод наименьших квадратов.

50