Общая теория измерений. Практикум. Учебное пособие
.pdfРешение типовых задач
Задача 1. Совокупные измерения углов трехгранной призмы выполнены с трехкратным повторением наблюдений. Результаты наблюдений следующие:
a1 = 89°55¢; |
b1 = 45°5¢; |
g1 = 44°57¢; |
a2 = 89°59¢; |
b2 = 45°6¢; |
g2 = 44°55¢; |
a3 = 89°57¢; |
b3 = 45°5¢; |
g3 = 44°58¢. |
Найти с доверительной вероятностью Рд = 0,95 результаты совокупных измерений углов a, b, g.
Решение. Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:
3 |
|
° |
|
3 |
|
° |
|
a0 = åαi / 3 |
= 89 |
|
57¢; |
b0 = å βi / 3 |
= 45 |
|
5.33¢; |
i=1 |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
= 44°56,67¢. |
|
|
|
|
g0 = ågi / 3 |
|
|
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
||
Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию a + b + g = 180°. У нас же получилось a0 + b0 + g0 = 179°59¢. Это несовпадение - результат погрешностей измерений. Необходимо
изменить полученные значения a0, b0, и g0 |
с тем, чтобы точно из- |
|
вестное условие было выполнено. |
|
|
Примем a = a0 + Da; |
b = b0 + Db; |
g = g0 + Dg, и будем |
искать значения поправок Da, Db, Dg. |
|
|
Получаем: |
|
|
Da1 = a1 - a0 = -2¢; |
Db1 = b1 - b0 = -0.33¢; |
|
Dg1 = g1 - g0 = +0.33¢; |
|
|
Da2 = a2 - a0 = +2¢; |
Db2 = b2 - b0 = +0.67¢; |
|
Dg2 = g2 - g0 = -1.67¢; |
|
|
Da3 = a3 - a0 = 0¢; |
Db3 = b3 - b0 = -0.33¢; |
|
Dg3 = g3 - g0 = +1.33¢. |
|
|
Следовательно, Da + Db + Dg = 180° - 179°59¢ = 1¢.
Исключим из исходных уравнений Dg, пользуясь соотношением Dg=1¢ - Da- - Db, и в каждом уравнении укажем оба неизвестных. Получаем следующую систему исходных уравнений:
51
A1 × Da + B1 × Db = Da1; |
A4 × Da + B4 × Db = Db1; |
|
A2 × Da + B2 × Db = Da2; |
A5 × Da + B5 × Db = Db2; |
|
A3 × Da + B3 × Db = Da3; |
A6 × Da + B6 × Db = Db3; |
|
A7 × Da + B7 × Db = 1¢ - Dg1; |
A8 × Da + B8 × Db = 1¢ - Dg2; |
|
где |
A9 × Da + B9 × Db = 1¢ - Dg3, |
|
|
|
|
A1 = 1; B1 = 0; |
A4 = 0; B4 = 1; A7 = 1; B7 = 1; |
|
|
1 - Dg1 = +0,67¢; |
|
A2 = 1; B2 = 0; A5 = 0; B5 = 1; A8 = 1; B8 = 1; |
||
|
1 - Dg2 = +2,67¢; |
|
A3 = 1; B3 = 0; A6 = 0; B6 = 1; A9 = 1; B9 = 1; |
||
. т.е |
1 - Dg3 = - 0,33¢, |
|
|
|
|
1 × Da + 0 × Db = -2¢; |
0 × Da + 1 × Db = - 0,33¢; |
|
1 × Da + 0 × Db = +2¢; |
0 × Da + 1 × Db = +0,67¢; |
|
1 × Da + 0 × Db = 0; |
0 × Da + 1 × Db = - 0,33¢; |
|
1 × Da + 1 × Db = +0,67¢; |
1 × Da + 1 × Db = +2,67¢; |
|
|
1 × Da + 1 × Db = - 0,33¢. |
|
Теперь составим систему нормальных уравнений: |
||
A11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; |
A12 = 1 + 1 + 1 = 3; |
|
A21 = 1 + 1 + 1 = 3; |
|
A22 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; |
C1 = -2¢ + 2¢ +0.67¢ + 2,67¢ - 0,33¢ = +3¢;
C2 = -0,33¢ + 0,67¢ - 0,33¢ + 0,67¢ + 2,67¢ - 0,33¢ = +3¢.
Следовательно, нормальные уравнения примут вид
6 × Da + 3 × Db = 3¢; 3 × Da + 6 × Db = 3¢.
Вычислим определители Д, ДDa и ДDb :
Д = |
6 |
3 |
= 36 - 9 = 27 ; |
||||
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
Д |
Da |
= |
|
3' |
3 |
|
=18'-9'= 9' ; |
|
|
||||||
|
|
|
3' |
6 |
|
|
|
52
|
|
|
|
|
|
ДDb = |
6 |
3' |
|
=18'-9'= 9' |
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3' |
|
||||||
и находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
α = β = 9' / 27 = 0,33' . |
|
|||||||||||||
Следовательно, и |
|
|
γ = 0,33' . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Подставляя полученные оценки в исходные уравнения, вы- |
||||||||||||||
числим невязки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u1 |
= 2,33¢; |
|
|
u4 |
= 0,67¢ ; |
|
u7 |
= 0; |
||||||
u2 |
= -1,67¢; |
|
u5 |
= -0,33¢; |
|
u8 |
= -2¢; |
|||||||
u3 |
= 0,33¢; |
|
|
u6 |
= 0,67¢; |
|
u9 |
= 1¢. |
||||||
|
Вычислим |
|
|
оценки СКО |
результатов |
совокупных измерений: |
||||||||||||
Д11 =6; Д22 = 6 (алгебраические дополнения элементов определи- |
||||||||||||||||||
теля Д): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
σˆ |
|
|
|
|
= σˆ |
|
|
= å9 υ × Д |
/(( 9 -2 )× Д ) » 0,68' . |
|||||
Dα |
Dβ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 i |
11( 22 ) |
|
||||||||
|
Ввиду равноточности исходных уравнений и равенстваоце |
|||||||||||||||||
нок |
|
a , |
D |
b, |
D |
g , можно не делать повторных вычислений, а |
||||||||||||
D |
||||||||||||||||||
записать, что sˆ |
|
g = ±0,68' . |
|
|
|
|||||||||||||
D |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Оценим |
|
|
|
|
доверительные |
границы |
погрешностей измерения |
||||||||||
для Рд = 0,95 и tp = 1,96:
D D a = D D b = D D g = ± 1,96 × 0 , 68 » ± 1, 4 ' .
Окончательно можно записать результаты измерения:
a = 89°57,3¢ ± 1,4¢; b = 45°5,7¢ ± 1,4¢; g = 44°57¢ ± 1,4¢; Pд = 0,95.
Задача 2. Найти с доверительной вероятностью Pд = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 22 с его температурой,
R(t) = R0 × (1 + A × t + B × t2 + C × t3).
При этом для t0 = 0 °C, R0 = 100,00 Oм; t1 = минус 50 °C, R1 = 80,00 Oм; t2 = 30 °C, R2 = 111,85 Oм; t3 = 60 °C, R3 = 123,60 Oм; t4 = 90 °C, R4 = 135,24 Oм; t5 = 120 °C, R5 = 146,78 Oм.
Решение. Данные измерения являются совместными. Запи-
шем систему исходных уравнений в виде |
|
A ti + B × ti2 + C × ti3 = Fi ; |
i =1,5, |
53
где
Fi = Ri / R0 - 1;
A × (-50) + B × (-50)2 + C × (-50)3 = - 0,210;
A × 30 + B × 302 + C × 303 = 0,118;
A × 60 + B × 602 + C × 603 = 0,236;
A × 90 + B × 902 + C × 903 = 0,352;
A × 120 + B × 1202 + C × 1203 = 0,468.
Систему исходных уравнений можно преобразовать в систему нормальных уравнений:
R11 × A + R12 × B + R13 × C = P1;
R21 × A + R22 × B + R23 × C = P2;
R31 × A + R32 × B + R33 × C = P3,
где |
|
2 = 2,9500 × 104; R12 = R21 = |
|
|
= 2,5750 × 106; |
||||
R11 |
= 3 |
3 |
3 |
||||||
|
åti |
|
|
åti |
|
|
|
||
|
i =1 |
|
|
i =1 |
|
|
|
||
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
3 |
10 |
R13 = R31 = R22 = åti4 = 2,9299 |
× 10 ; R23 |
= R32 = åti5 |
= 3,1277×10 ; |
||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
R33= åti6 =3,5804×1012; |
P1 |
|
= |
|
åti × Fi =1,1557 ×102 ; |
|||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
3 t 2 |
×F = 1,0047×104; |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
P2= |
P3 = åt |
× Fi = 1,1444 × 106. |
||||||
|
|
å i |
i |
|
i=1 |
i |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||
Систему можно записать в матричной форме [R] × [X] = [P],
где X1 = A; X2 = B; X3 = C. Отсюда [X] = [P] × [R]-1,
и, решая, получим
X1 = A = 3,96904×10-3 1/град.;
X2 = B = -6,097×10-7 (1/град)2;
X3 = C = 1,70×10-10 (1/град)3 .
Найдем определитель Д матрицы[R]:
Д= 3,8998×1023.
Затем найдем алгебраические дополнения матрицы[R]:
54
Д11 = 1,0750×1019; Д22 = 1,9780×1016; Д33 = 2,0126×1012.
Определим невязки уравнений связи: |
|
ui = Pi - A × ti + B × ti2 + C × ti3; |
i =1,5; |
u1 = -2,3318×10-6; u2 = -2,7254×10-5; u3 = -1,5189×10-5; u4 = --3,3792×10-7; u5 = -1,4988×10-6.
Теперь можно найти оценки СКО результатов совместных
измерений |
|
(1/град); |
||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
||
|
|
sˆ |
|
= å u i2 ×Д 1 1 /( ( 5 - 3 )×Д ) » 2 ,9 8 ×1 0 - 7 |
|
|||
A |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
sˆ |
|
|
= |
å u i2 ×Д 2 2 |
/( ( 5 - 3 )×Д ) » 4 ,9 9 ×1 0 - 9 |
(1/град) ; |
||
В |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
sˆ |
|
= |
å u i2 ×Д 3 3 /( ( 5 - 3 )×Д ) » 5 ,0 3 ×1 0 - 1 1 |
(1/град) . |
||||
C |
|
|||||||
i =1
Оценим доверительные границы погрешностей измере-
ния. Для Pд = 0,95, tр = 1,96
DА = ±1,96×2,98×10-7 » ± 5,8×10-7 (1/град);
DВ = ±1,96×4,99×10-9 » ±9,8×10-9 (1/град)2;
DС = ±1,96×5,03×10-11 » ±9,9×10-11 (1/град)3.
Окончательно можно записать |
|
A = (3,96904±0,00058) ×10-3 (1/град); |
Pд = 0,95; |
B = (-6,097±0,098) ×10-7 (1/град)2; |
Pд = 0,95; |
C = (1,70±0,99) ×10-10 (1/град)3; |
Pд = 0,95. |
Задания Задание 1. Проведены совокупные измерения емкости двух
конденсаторов. Получены следующие результаты: С1 = 0,2071 мкФ;
С2 = 0,2056 мкФ; C1+ C2 = 0,4111 мкФ; C1×C2/(C1+C2) = 0,1035 мкФ,
55
найти с доверительной вероятностьюРд = 0,99 результаты совокупных измерений емкостей C1 и C2.
Задание 2. |
Найти с доверительной вероятностьюPд = 0,95 |
значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем со- |
|
противление платинового термометра гр. 21 с его температурой |
|
|
R(t) = R0 × (1 + A × t + B × t2 + C × t3). |
При этом |
для t0 = 0 °C, R0 = 46,00 Oм; t1 = минус 20 °C, |
R1 = 42,34 Oм; t2 = 20 °C, R2 = 49,64 Oм; t3 = 40 °C, R3 = 53,26 Oм; t4 = 60 °C, R4 = 58,86 Oм; t5 = 100 °C, R5 = 63,99 Oм.
Контрольные вопросы
1.Что такое совокупные измерения?
2.Чем совместные измерения отличаются от совокупных?
3.Что собой представляет система исходных уравнений?
4.Что такое невязка уравнений связи?
5.Какова суть метода наименьших квадратов?
6.Каким образом составляется система нормальных уравнений и какие известны методы ее решения?
Практическая работа № 8.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Цель работы: изучить систематические погрешности результатов наблюдений.
Теоретические сведения
Исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений или измерений выполняем введением поправок к этим результатам. Поправки по абсолютному значению равны этим погрешностям и противоположны им по знаку. Введением поправок исключаем:
56
-погрешность, возникающую из-за отклонений действительной температуры окружающей среды при измерении от нормальной;
-погрешность, возникающую из-за отклонений атмосферного давления при измерении от нормального;
погрешность, возникающую из-за отклонений относительной влажности окружающего воздуха при измерении от нормальной;
-погрешность, возникающую из-за отклонений относительной скорости движения внешней среды при измерении от нормальной;
-погрешность, возникающую вследствие искривления светового луча (рефракции);
-погрешность шкалы средства измерения;
-погрешность, возникающую вследствие несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера.
Поправки по указанным погрешностям вычисляем в соответствии с указаниями табл. 1.
|
|
|
Таблица 1 |
||
Наименование поправок |
Указания по определению поправок |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Поправка на температуру |
θXкор t = -L[α1(t1 -20 °C) – α2(t2 - 20 °C)]* |
|
|
||
окружающей среды |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2. Поправка на атмосферное |
Определяется |
при |
применении |
электронно- |
|
давление |
оптических средств измерений в соответствии |
||||
|
эксплуатационной документацией |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3. Поправка на относитель- |
θXкор,w определяется: |
|
|
|
|
ную влажность окружающе- |
а) при |
применении |
электр-онноптических |
||
го воздуха |
средств измерений в соответствии с эксплуатаци- |
||||
|
онной документацией; |
|
|
|
|
|
б) при измерении объектов, изменяющих размеры |
||||
|
в зависимости от влажности воздуха в соответст- |
||||
|
вии со свойствами материала |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
57
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 1 |
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4. Поправка на относитель- |
|
|
|
|
Q 2 lном |
||||
ную скорость внешней сре- |
|
q X кор, с |
= |
|
|||||
ды |
|
|
24 Р 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Поправка на длину шкалы |
|
qX кор, l |
= |
|
L |
Dl |
|||
средства измерения |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
lном |
|||||
6. Поправка на несовпаде- |
|
|
|
|
|
h 2 |
|
||
ние направлений линии из- |
|
qX кор, h |
= |
||||||
мерения и измеряемого раз- |
|
2 L |
|||||||
мера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Поправка на рефракцию q |
кор,r |
определяется при |
|
применении оптических |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или электронно-оптических приборов в зависимости от условий измерения по специальной методике
*L - непосредственно измеряемый размер, мм; lном - номинальная длина мерного прибора, мм;li - действительная длина мерного прибора, мм; l = li -lном; α1, α2 -коэффициенты линейного расширения средства измерения и объекта, 10-6 град–1; t1,t2 – температура средства измерения и объекта, °С; h - величина отклонения направления измерения от направления измеряемого размера, мм; Q - предельное значение допустимой силы ветра, Н; Р - сила натяжения мерного прибора (рулетки, проволоки), Н.
Поправки могут не вноситься, если действительная погрешность измерения не превышает предельной.
Задания Задание 1. Определить систематические погрешности и за-
писать результат с учетом различных параметров. Данные результатов измерений приведены в приложении, табл. 12.
Пример. Определить систематические погрешности и -за |
|
||||
писать результат с учетом различных параметров. |
|
|
|||
Получен |
результат |
измерения |
длины |
стальной |
фермы |
xi = 24003 мм. Измерение выполнялось трехметровой рулеткой из |
|
||||
нержавеющей стали при t = минус 20 °С. При этом α1 = 20,5·10–6, |
|
||||
α2 = 12,5·10-6, |
t1 = t2= минус 20 ºC, lном = 3000 мм, |
li = 3002 мм, |
|
||
h = 35 мм, P = 9 Н, Q = 1,2 Н.
58
Поправка на температуру окружающей среды
qX кор,t = - L[a1 (t1 - 20 °C ) - a 2 (t2 - 20 °C )] =
=-24003[20, 5 ×10 -6 (-20 - 20) - 12, 5 ×10 -6 (-20 - 20)] » 7, 7 мм.
Действительную длину xi фермы с учетом поправки на температуру окружающей среды принимаем равной
xi + q X ко р,t = 24003 + 7, 7 = 24010, 7 м м .
Поправка на относительную скорость внешней среды
q X |
|
= |
Q |
2 l |
но м |
= |
1, 2 × 3 0 0 0 |
= 2 , 2 2 м м . |
||
ко р,с |
2 4 P 2 |
|
2 4 × 9 2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
Действительную длину xi фермы с учетом поправки на относительную скорость внешней среды принимаем равной
xi +qкор,с = 24003 + 2, 22 = 24005, 22 мм .
Поправка на длину шкалы среднего измерения
|
q X к о р l = |
|
L |
D l , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lн о м |
|
Dl = li - lно м = 3 0 0 2 - 3 0 0 0 = 2 м м , |
|||||
q X |
|
2 4 0 0 3 |
2 = 1 6 , 0 0 2 м м . |
||
|
|
||||
|
к о р , l 3 0 0 0 |
||||
Действительную |
длину xi фермы с учетом поправки на |
||||
длину шкалы средства измерения принимаем равной
xi +qкор,l = 24003 +16, 002 = 24019, 002 мм.
59
Поправка на несовпадение направлений линии измерения и измеряемого размера
q X кор,h |
= |
h2 |
= |
352 |
= 0, 025 мм. |
|
2L |
2 ×24003 |
|||||
|
|
|
|
Действительную длину xi фермы с учетом поправки несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера принимаем равной
xi + qкор,h = 24003 + 0, 025 = 24003, 025 мм.
Действительную длину xi фермы с учетом всех поправок принимаем равной
xi + q xкор ,t + q xко р,с + q xкор ,l + q xкор,h =
= 2 4 0 0 3 + 7 , 7 + 2 , 2 2 + 1 6, 0 0 2 + 0, 0 2 5 = 2 4 0 2 8, 9 м м .
Контрольные вопросы
1.Каковы основные признаки, по которым классифицируются погрешности измерений?
2.Какие существуют методы обнаружения и оценки систематических погрешностей?
3.Каковы правила суммирования систематических - по грешностей.
Практическая работа № 9.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВИДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
Цель работы: изучить предварительную оценку вида распределения результатов измерений.
60