Общая теория измерений. Практикум. Учебное пособие

значения и наименования единиц, т. е. для одних единиц приводить обозначения, а для других - наименования.

Допускается применять сочетания специальных знаков...°,

...' ...", % и ‰ с буквенными обозначениями единиц, например,

...°/с и т. д.

Задания Задание 1. Переведите из одной единицы измерения в дру-

гую, с учетом обозначения кратных и дольных единиц путем возведения в степень (приложение, табл. 1):

1.45 км в см.

2.10 км2 в мм2.

3.300 мм3/с в см3/с.

4.25 МПа в мПа.

5.15 фм в дм.

6.0,05 дм в км.

7.0,001 мкм в мм.

8.20 MB в мВ.

Задание 2. Образуйте когерентные производные единиц в системе СИ, если даны следующие уравнения:

1. В = m·m0·H,

где В - магнитная индукция, Тл; Н - напряженность магнитного поля, А/м;

m - магнитная проницаемость вещества - безразмерная величина; m0 - магнитная константа (4∙p∙10-7), Гн/м.

2.Второй закон Ньютона: F = m·a. Определить размерность

иединицу силы.

3.Закон импульса: р = m·v. Определить размерность и единицу импульса материальной точки.

4.Атомы, ионы и молекулы под действием внешнего электрического поля способны приобретать электрический момент. В

11

слабых полях этот момент пропорционален напряженности электрического поля Е и в СИ выражается формулой:

(иона, молекулы); e0 - электрическая постоянная.

Выразить a, найти размерность и единицу поляризуемости.

Контрольные вопросы

1.Что такое эталон единицы массы?

2.Что относят к основным и дополнительным единицам

СИ?

3.Что такое когерентные производные величины?

4.Какие правила образования десятичных кратных и дольных единиц, а также их наименований и обозначений (по ГОСТ 8.417-2002) вам известны?

Практическая работа № 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ ГИСТОГРАММЫ

Цель работы: определить характеристики дискретной случайной величины и выравнивание статистических распределений; определить интервальные оценки параметров распределения

Теоретические сведения

1. Характеристика дискретной случайной величины. Чи-

словые характеристики. Среднее арифметическое п случайных величин определяется по формуле

где хi – значение измеряемой величины в середине интервала;

12

mi - частость появления значения х1; n

n – число измерений.

Несмещенной оценкой дисперсии является среднеквадратическое отклонение:

Смещенная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений определяется по формуле

n

s = åРi* × (xi - x )2 ,

i=1

где Pi* - статистическая вероятность попадания i-го результата в интервал.

Кроме определения числовых характеристик, для достижения наглядности строят различные графики статистического распределения, из которых чаще всего используют полигон, гистограмму и кумулятивную кривую.

Отношение частоты mi к общему числу наблюденийn на-

зывают частостью и обозначают Рi* .

Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений xi в i-й интервал. Очевидно, что

n

åРi* =1. i=1

Для наглядности эмпирическое распределение можно представить графически в виде полигона или гистограммы распределения, а также ступенчатой функции распределения.

Полигон строят следующим образом: на оси абсцисс откладывают интервалы значений измеряемой величины, в серединах интервалов отмечают ординаты, пропорциональные частотам или частостям, и ординаты соединяют прямыми линиями, таким образом, он представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (хi,; mi).

13

Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а вычеты равны частотам или частостям соответствующих интервалов, деленным на ширину интервала. При различных значениях Dх вы-

сота прямоугольника будет пропорциональна эмпирической плотности вероятностей

р*i = Pi* .

Dxi

Ступенчатую функцию распределения строят следующим образом: в середине каждого интервала по оси абсцисс ордината

возрастает скачком на значение, соответствующее Рi* , и оттуда проводят горизонтальную прямую до середины следующего интервала, где она возрастает. Высота ординаты в каждой точке соответствует эмпирической интегральной функции распределения

Значение Fi* называют кумулятивной частотой.

2. Выравнивание статистических распределений. При ис-

пользовании вероятностных методов оценки полученных результатов важной задачей является нахождение функции распределения по данному статистическому ряду. Такая операция называется выравниванием статистического распределения, а искомую функцию распределения или плотность распределения называют выравнивающими.

Вид полигона или гистограммы позволяет сделать вывод о возможности выравнивания с помощью того или иного закона распределения.

Выравнивание статистического распределения проводится

вследующем порядке:

1)выбирают теоретический закон распределения;

2)вычисляют параметры распределения;

14

3) строят графики выравнивающей функции распределения F(х) или плотности f(х) = р(х) для значений xi , где xi - середина

интервала (для интервального вариационного ряда ); 4) сравнивают графики теоретической функции распреде-

ления F(х) и эмпирической F/(х) или f(х) = р(х) и гистограммы. Сравнение графиков показывает, насколько теоретический

закон распределения удовлетворительно отражает экспериментальные данные. Если расхождение между F(х) и F/(х) невелико, можно считать, что F(х) определено правильно.

Выравнивающая функция распределения сглаживает все те случайные отклонения, свойственные F/(х), которые происходят из-за ограниченного объема наблюдений.

3. Определение интервальных оценок параметров рас-

пределения. Определение интервальной оценки параметров распределения состоит в том, чтобы построить интервал значений, в котором с заданной вероятностью будет находиться параметр распределения. Такой интервал называется доверительным. а его границы - верхними и нижними доверительными границами. С вероятностью Р = 1 - α доверительный интервал содержит известное значение параметра.

Вероятность Р называют доверительной, а α - уровнем значимости. Порядок получения интервальной оценки параметров распределения может быть следующий:

1) определяют оценку среднего значения результата изме-

рения

2) определяют оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

3) устанавливают закон распределения результата измерения и проверяют согласованность эмпирического распределения с теоретическим;

15

4) если закон распределения результата измерения -нор мальный, то определяют стандартное отклонение по формуле

5) если закон распределения результата измерения отличный от нормального, то определяют стандартное отклонение по формуле

6)задают доверительную вероятность Р = 1 – α;

7)для определения доверительного интервала используют соотношение

e = t ps x ,

где e - полуширина доверительного интервала;

t p - аргумент функции Лапласа, отвечающий вероятности

(1 + Р) / 2, который в литературе называют квантилью нормального распределения, если закон распределения нормальный. Если эмпирическое распределение подчинится закону распределения вероятности Стьюдента, то t p - аргумент интегральной

функции распределения Стьюдента.

Если эмпирическое распределение подчиняется иному -за кону, то t p - аргумент, входящий в неравенство П.Л. Чебышева.

Значение аргумента t p определяют по таблицам функции

Лапласа, Стьюдента и неравенства Чебышева.

При нормальном распределении t p определяют (приложе-

ние, табл. 5).

В то же время e = s , поэтому доверительной вероятно-

n

сти Р отвечает интервал, равный

16

Задания Задание 1. Произведено 50 измерений напряжения радио-

сигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены (приложение, табл. 2).

Вычислить среднее арифметическое, выборочную дисперсию и построить полигон распределения, гистограмму и статистическую функцию распределения.

Массив экспериментальных данных взять в соответствии с вариантом, заданным преподавателем или в соответствии с шифром зачетной книжки студента.

Количество интервалов определяется по формуле Старджесса:

r =1 + 3,3 × l × g × n .

Ширина интервала определяется по формуле

h = xmax - xmin .

r

Для удобства вычисления значения границ интервала, частоту попадания в интервалы и середину интервалов свести в табл. 1.

можно воспользоваться формулой

Fi+1 (xi )= Pi + Fi (xi ),

где Fi (xi )= 0 .

Пример 1. Даны результаты прямых измерений напряжения некоторых физических величин (табл. 2).

17

Таблица 2

Результаты прямых измерений напряжения

Требуется вычислить среднее арифметическое значение, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить гистограмму и статистическую функцию распределения.

7) Рассчитать границы интервалов, середины интервалов, подсчитать число результатов, попавших в каждый интервал, для каждого интервала определяем статистическую вероятность. Полученные результаты занести в табл. 3.

18

Задание 2. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении, табл. 2. Выравнять статистический ряд.

1. Построить гистограмму. По виду гистограммы(определить) выбрать теоретический закон распределения.

Если закон распределения нормальный, то его плотность равна:

19

s× 2 ×p

2.Вычислить mx = x и s .

3.Вычислить f(х) для середин интервалов.

жению, табл. 3 находим значения f(t).

Вслучае использования интервалов применить зависи-

мость f(х) = h × f (t ), где h - ширина интервала. s

Для удобства вычисления свести в табл. 4.

4.Построить графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F/(х).

5.Для построения значенийF/(х) можно воспользоваться данными первой работы.

6.По виду статистических кривых сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных.

Пример 2. По данным примера 1 выравнять статистический ряд.

20