Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

842 Кб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

Ю.А. Чиркунов, Ю.М. Вахромеев, Т.В. Вахромеева, И.А. Бертик, Л.А. Багина

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

(для подготовки студентов к олимпиадам)

Учебное пособие

НОВОСИБИРСК 2017

УДК 51(075) ББК 22.1

Н 47

Нестандартные задачи по математике (для подготовки студен-

тов к олимпиадам) : учеб. пособие / Ю. А. Чиркунов, Ю. М. Вахромеев, Т. В. Вахромеева, И. А. Бертик, Л. А. Багина ; Новосиб. гос. архитектур.- строит. ун-т (Сибстрин). – Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2017. –

108 с.

ISBN 978-5-7795-0812-4

В пособие включены задачи, предлагавшиеся на студенческих математических олимпиадах строительных вузов в 1980−2015 годах. Задачи охватывают практически все разделы математики: алгебру, теорию чисел, геометрию, математический анализ, теорию вероятностей, дифференциальные уравнения. В пособии представлены задачи, связанные с математическим моделированием в строительстве, и варианты их решения.

Широкий спектр задач позволяет использовать учебное пособие в работе студенческих математических кружков и для подготовки к олимпиадам студентов, обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство» и специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» всех форм обучения.

Рецензенты:

–В.В. Адищев, д-р техн. наук, профессор кафедры строительной механики НГАСУ (Сибстрин);

–Е.М. Григорьев, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики (СГУВТ)

ISBN 978-5-7795-0812-4	©	Чиркунов Ю.А., Вахромеев Ю.М.,
		Вахромеева Т.В., Бертик И.А.,
		Багина Л.А., 2017
	©	Новосибирский государственный
		архитектурно-строительный
		университет (Сибстрин), 2017

	ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................		5
РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ......................................		6
1.	Выделение полного квадрата ..................................................	6
2.	Выбор.........................................................................................	7
3.	Использование базовых определений и свойств.................	10
4.	Единственность.......................................................................	11
5.	Выбор удобной системы координат .....................................	13
6.	Эксперимент ...........................................................................	14
7.	Неравенства.............................................................................	15
8.	Рекуррентные соотношения ..................................................	17
9.	Производная по параметру под знаком интеграла
	(правило Лейбница).................................................................	20
10. Различные варианты решения задачи.................................		21
11. Метод от противного............................................................		23
12. Индукция...............................................................................		23
13. Принцип Дирихле.................................................................		25
14. Приложения интегрального исчисления к механике........		25
ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОГО ПРОФИЛЯ...................................		28
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ................		37
Элементарная математика .........................................................		37
Определители..............................................................................		38
Векторная алгебра ......................................................................		40
Аналитическая геометрия на плоскости ..................................		42
Аналитическая геометрия в пространстве...............................		43
Матрицы......................................................................................		44
Функции и графики....................................................................		46
Пределы и непрерывность.........................................................		47
Производная................................................................................		49

Приложения дифференциального исчисления........................	50
Функции нескольких переменных............................................	52
Неопределенный интеграл.........................................................	53
Определенный интеграл и его приложения.............................	54
Теория вероятностей..................................................................	56
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.................................	57
К разделу «Элементарная математика»....................................	57
К разделу «Определители» ........................................................	58
К разделу «Векторная алгебра» ................................................	59
К разделу «Аналитическая геометрия на плоскости».............	60
К разделу «Аналитическая геометрия в пространстве» .........	61
К разделу «Матрицы» ................................................................	61
К разделу «Функции и графики» ..............................................	63
К разделу «Пределы и непрерывность» ...................................	64
К разделу «Производная» ..........................................................	65
К разделу «Приложения дифференциального исчисления» .....	66
К разделу «Функции нескольких переменных» ......................	67
К разделу «Неопределенный интеграл»...................................	67
К разделу «Определенный интеграл и его приложения» .......	69
ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ОЛИМПИАД НГАСУ (СИБСТРИН)............................................	72

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие включает большое количество задач различной степени сложности. Многие из них предлагались на математических олимпиадах НГАСУ (Систрин) и олимпиадах других вузов Новосибирска. Часть задач была предложена на межвузовских математических олимпиадах, в частности на различных этапах Всероссийских математических олимпиад. Представлены также задачи повышенной сложности различных разделов общего курса математики по программе технических вузов. Часто они не требуют дополнительных знаний сверх этой программы. Но есть и такие, для решения которых студенту придется заглянуть в учебник, подробнее ознакомиться с некоторыми разделами, что, несомненно, подтолкнет его к более серьезному занятию математикой.

Пособие может быть полезно для математического кружка. Преподаватели могут использовать его на лекциях и практических занятиях при индивидуальной работе со способными к математике студентами или комплектуя индивидуальные задания. При подборе задач учитывался тот факт, что учебное пособие адресовано не будущим профессиональным математикам, а ин- женерам-строителям. Для них важнее строить модели, использовать фундаментальные законы для достижения профессиональных результатов. Приведено достаточное количество задач на составление дифференциальных уравнений, относящихся к теоретической механике, сопротивлению материалов, физике.

Большинство решений предлагаемых задач краткие, не требующие большого количества выкладок. Акцент делается на умение «догадываться», отчетливо понимать поставленную задачу, использовать относительно небольшой объем средств, приемов для ее решения.

Многие задачи, особенно олимпиадные, ставят в тупик своей формулировкой. С чего начать? Рассмотрим на примерах несколько полезных, с нашей точки зрения, замечаний.

РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

1. Выделение полного квадрата

Этот прием известен со школы. Яркое его применение – приведение к каноническому виду уравнений кривых второго


порядка, если в нем отсутствует член с								. Но иногда не сразу
видно, что его можно применить и					предельно упростить задачу
							·		.
	Пример. Построить график функции
	5 2√4 5 2√4 .
	Область допустимых значений (ОДЗ)
		4 0, 2 х 2;
		5 2 4					0.
	Решение. Перепишем
	1 2√4 4 1 2√4 4 =
				1 2√4	√4						+
			1 2√4 √4							) =
	= 1 √4 1 √4
	1 √4 1 √4 .
	четная функция, 1 √4					0, 3.

0 √3

Решение

этого неравенства

Пусть

на интервале

тогда

√3 , √3

1 √4 1

√4 √4 .

Для

√3 2.,

1 √4

√3 √3

учитывая

;

, получим

что

Таким

образом

четность

√4

2 √3

для

графиком функции

будет верхняя часть ок

√3 2:

для

ружности

2. Выбор

Иногда

задача допускает как элементарное решение, так

и решение с применением элементов математического анализа. Цель – выбрать что попроще. Часто такие задачи встречаются на математических олимпиадах в первом семестре. Студенты только начинают изучать курс матанализа и логично использовать школьные навыки.

$	Пример Канал шириной				делает поворот на 90°. Считаем,
	% & # '()* )+,				0 - $ -	с	осями	координат
что	его	внешние.	границы	#совпадают
	′	′	α	,	.	в	первом	квадранте.

Какова максимальная длина баржи, которая может пройти по такому каналу?

А' /′

В В'

Решение очевидно/. Это длина отрезка, который проходит через угловую точку ′ внутренней границы канала и является гипотенузой2√2равнобедренного#. прямоугольного треугольника

ОАВ, АВ =

Но решение нужно обосновать. Разумно предположить, что баржа максимально возможной длины при повороте обязатель-

но

коснется угловой

точки

′. В

общем

случае ее

длина

% &

′

Решением задачи

минимальное

значение

отрезка

будет /

%′&′.. Покажем, что оно достигается при

$ .0

, 0 - $ - . , cos$ 4 0, sin$ 4 0; %′&′ %′/′ /′&′;

%′/′ '()*7

, /′&′ )+,7 *;

%′&′ # '()* )+,* # )+,*8'()*'()*·)+,* ;

%′&′ %&, так как # )+,*8'()*'()*·)+,*

#2√2.

чем

√равенствоsin$ √ достигаетсяcos$ 2sin$только· cos$ приsin $

.0 Такимsin2образом$ ,

2√2 #.

, при-

С другой стороны%,

′ есть АВ =

минимальное значение

′

$ .0

данную задачу можно рассматривать

как задачу отыскания минимального значения функции на ин-

тервале.

'():*

)+,:*

# '():*)+,:*

′

9)+,*

'()*

)+,;*9'();*

)+,*9'()* )+,:*8)+,*'()*8'():* =

)+,*9'()* 8<=>:?: .

.0.

'():*)+,:*

)+,:*'():*

при $

@ 0

sin$ cos$ 0

Так

как

)+, *

, то

′

при

т.е.

Поскольку $ A ∞ при $ A 0 и $ A ., подозрительная на

экстремум точка одна, то

минимум достигается в этой точке

и АВ =

B+, .0 #

√:

2√2 #.

Мы видим, что второй,

традиционный подход к: решению:

, несколько сложней.

Рассмотрим еще один пример, когда очевидный путь реше-

ния усложняет задачу.

C ,

. DIH 0E F F GF при

области

Пример.

Найти наибольшее значение функции

K L

Решение

Заметим что из геометрического смысла опреде

ленного интеграла следует,

что наибольшее значение функция

, будет иметь в том случае, когда интервал интегрирова-

ния

совпадать

отрезком

на котором парабола

будет

M N

0E 0

Находим корни

будет лежать выше оси Ох.

уравнения

Поэтому

maxRC,

E0.

D9:;

0E F F GF 0E F S: SE; : ;

Если же напрямую искать наибольшее значение функции

DIH 0E

F F GF

0E F S: SE; H

0E I:

IE; 0E H:

HE;

в области J: K L, решение будет гораздо сложнее.

3. Использование базовых определений и свойств

Достаточно сложную задачу, особенно олимпиадную, невозможно решить (иногда даже понять ее) без четкого знания

основных определений и свойств.

Пример. Существует ли производная от функции в точке

@ 0

;

х = 0?

)+,I ,

Если она существует1 0.

, найти ее.

Решение.

, очевидно,

не является элементарной.

Ис-

определение

производной

получим

′

C 0

пользуя

lim

<=>∆Y ,

lim

∆I .

∆I

∆IAW

X W8∆I 9X W

∆IAW

∆Y 9

∆IAW

)+,∆I9∆I.

точке

lim

∆ F

)+,S9S.

Обозначим

Таким образом существование производной в

равносильно существованию предела

SAW

Используем правило Лопиталя

ZW[ limSAW

limSAW

ZW[ limSAW

= 0.

)+,S9S

'()S9

9)+,S

. Касательная к

C 0 0

производная

точке

′

Значит,

существует и

графику такой функции в точке

существует и параллельна оси Ох

Рассмотрим более сложный пример.

M0 1N

C 1 4 C

Пример.

Пусть

− дважды дифференцируемая функция

DW C G 4 .0

, 2

′

на

;

Кроме того

Показать

что

и вогнута. C

Решение Поскольку

вогнута на

;

то график функ

ции лежит над любой

своей касательной

Найдем уравнение ка

M0 1N

сательной в точке

C 1 C\ 1

1 , ] C 1 C\ 1 1 .

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]