Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие

2 1 ,

1

имеет

в

поперечном

?

фигуру

2.

Стальной

брус

сечении

4.

. Можно ли хранить такой груз на стел-

Что

0 - #:

- o #

;o

1 -?# - Ÿ - o

лаже расстояние между полками которого равно

,

5.

Даны числа

Ÿ

.

,

,

³

¨

99

.

101

ÏÏ

3.

Дано:

,

y

7.

Доказать:

3√7⁄4 .

больше

или

или

`

… ,

Найти такое число

чтобы

6.

При∑]v #] #

наименьшей

величина

#

# была

#`

.

#

#

#I

каких положительных значениях

уравнение

имеет решения и сколько?

0

7.

Доказать,

что уравнение

4 1 0

имеет два раз-

личных действительных корня.

9.

Ÿ

9I

Ÿ

9I

1 0

.

8.

Найти все действительные решения уравнения

б) Известно, что sin sin

.

.

а)

Известно,

что

Ÿ

,

I

Ÿ

H

Верно ли, что

ŸI

?ŸH

10. Доказать, чтоarctg arctg

?

Верно ли что

уравнение

ln 1

задает на

плоскости прямую линию.

данной площади .

„ 1000 è ⁄1000

?

сти затраты на

км

км ч ис

15. Затраты

на ч движения поезда со скоростью

-

â

E

/

1

.

При какой скоро

-

числяется по

формуле

1

è

16. Два коридора шириной

и

пересекаются под прямым

углом. Трубу какой длины

можно пронести горизонтально из

#

o

одного коридора в другой?

C

.

такое

,

, что

17.

Показать, что для любой дважды дифференцируемой на

Ø

2

C

2C

1

C 2

C Ø

всей числовой прямой функции

и любой точки

найдется

Функции нескольких переменных

2. а)

C

,

, если

C

.

1.

Найти

,

Сколько различных производных третьего порядка

имеет функция пяти переменных?

»

б

Сколько различных

производных порядка

имеет

функция)

a переменных?

0

0 H I 0

0

3. Верно ли, что

I H

,

,

,

:X

:X

если

,

I:8H, :

@ 0

C

^

I:9H:

,

;

0

0.

4. а) Существует ли

limIAW I:8H:

?

IH

б) Имеет ли функцияHAW

0

C , I:8H:,

если @,

G‹

IH

,

0

;

а)

;

б)

.

частные производные0

в точкеесли ,

‹ H

,

‹ H ¢

5. Найти

если

0 0 ?

Неопределенный интеграл

2.

)

C

\\\

0

,

,

C \\

| |

–

а)

C

1.

Найти все функции

, для которых:

а

б)

.

Доказать

что производная периодической функции

в) При каком дополнительном условии обратное утвержде-

3.

а)

C: ,

:

;

ние верно?

sin

.

б)

C

\ '(): I

4.

Найти

если

C

\ )+, I

: cos 2 tg

а)

D

C

G ;

б) D C

G ;

Вычислить

G

5.

в)

D

`

C

`8

.

:

Вычислить неопределенные интегралы

D

tg G

D ¨Y8 G

D 8E'(): I

а)

¨Y8

;

б)

’I

;

в)

D I I 8

;

D )+, I8'()I G

D cos ln G

г)

)+, I9'()I

;

д)

ú, ú, I

;

е)

’I

;

ж)

ú, I

;

з)

;

и)

)+, I )+, I ’I .

D I ú, 0I G

D I ú,: I G

D )+,Ä I8'()Ä I8

6. Вывести формулы понижения показателя

для следую-

в)

`

D cos G;

г) ` D sin

G .

щих интегралов:

G

, D.

arcsin

a

а)

D tg

;

б)

G

`

`

`

`

”

`

`

;

Вычислить в каждом случае

h

7. Выразить ` через

`9 , если `

D

8I’I z

.

8.

Найти интеграл ∫

x2 dx

.

( x sin x + cos x)

2

9.

Найти ∫ max(1, x2 )dx.

Определенный интеграл и его приложения

1.

Вычислить следующие пределы, рассмотрев их как пре-

делы интегральных сумм:

_ `9 ;

а)

lim`A

`

`8

`8

lim`A

`ý•T

б)

ý8 ý8_8`ý;

2.

Вычислить:

F DWS ¡ G¡ GF;

а)

ç

DWI

б) Ф ¡

D9¢¢ F DW√S Ÿ9I: G GF;

’I DW

ú, 8S

’I DI;

C ‹ G‹

в)

’

I

’S

;

г)

’

)+, I

.

3.

Вычислить

limIAW

DgY<=>; ©

’S.

;é :

4.

I √I

Найти область определения функции

ç

чтоW

cos F GF

Доказать,D

I

;

.

5.

√:

б) 1 - DW…: )+,I I G - ..

а) DW0. )+,I I G 4 0;

0, ∞

взаимно

C

и

Æ

–

,

.

6.

Пусть

#

возрастающие при

обратные

o

Показать что при

функции

и C 0

любых

положительных

справедливо

неравенство

0

#o DW C G D.W Æ G

7.

7

o C #

y

,

причем

равенство

достигается

лишь при

Найти связь между первообразными прямой и обратной

функций.

DW

8'(): I

‹ tg

это сделать правильно?

заменять

? Как

8.

Можно ли в интеграле

.

’I

DW

8I? 8I:

$

9. Показать, что величина

,W

’I

не зависит от

.

10.

Дано:

#

,

y

9I: ’I

.

Доказать:

o D7

8I:

√ 8IÄ

а)

#, o

o, # ;

б) #,o 7 , y ;

в)

#, 7 0.

’I’ 1 µ

G 0;

11.

а)

D9 ’I’TgTg

1 W

Доказать,

что:

б) D9 ’I’ÒÒ 1 Ï

’I’T—T— 1 h

G 0.

12.

Вычислить

D

I¨Y D¨

I:

G

.

’I

¨: ú, ú, I

13.

Доказать не вычисляя, что

’I

:

’I:

.

сумма

двух

14.

При каких

значениях

из

отрезка

,

DW 8I

D 8I

площадей, ограниченных

линиями

,

M0

,1N

,

,

F

0

F

будет наименьшей и наибольшей.

1

2π

15.

Вычислить ∫ sin(sin x + 2016 x)dx.

0

1 ln(1 + x)

16.

Вычислить ∫

dx.

1 + x2

0

К разделу «Элементарная математика»

1.

2

(в системе счисления с основанием 12).

2.

Вhшестой.

3.

Например, 0, 101

01 000 100 001 … .

4.

Да, например,

E и

0.

»»! » 1 ! »!

5.

a 1 ! 1

Возведите

данное выражение в квадрат

h

h

.

3 1 .

7. a) 3

1 /2

.

6.

а)

2

2

. Указание:

4.

999

;

б)

72-4 1000

Ï

б)

WW

W W

W

z•T

.

Указание: домножить на

Возведите в

ю степень

8.

Ни одного. Указание: выделите полный квадрат.

9.

Eр

= 0. Корни

;

(дважды) и −

;

4×.

10. Сравните значения трехчлена при х = 0 и х = 1.

11. По диаметру большей окружности.

a

2a 3

12. .

−

a 3

13.

n

угольная

пирамида имеет

2

ребер

;

срезав

0

из них делится на 4, следовательно,

( p -1)( p +1) делится на 8.

Таким образом, ( p -1)( p +1) делится на 24.

17.

1

<

1

=

1

−

1

.

n2

(n −1)n n −1 n

Тогда

1

+

1

+

1

+ +

1

<1 -

1

+

1

-

1

+ +

1

-

1

=

2

2

2

2

2

2015

2

3

4

2016

2

3

2016

7.

p,

$ÙÛ ×

.

: $ Ù Û 0

$Ù ÙÛ

$Û

,

Используйте формулы Виета

a2

b sin α

c sin α

1 cosα

9.

b sin α

1

cosα

= a2

−

c sin α

cosα

1

cosα

1

−b sin α

b sin α

cosα

+ c sin α

b sin α

1

=

c sin α

1

c sin α

cosα

³

К разделу «Векторная алгебра»

2.

√2; 2√5

1. .

0; 2; 4; 2

.

|7|:

F# где F

и b перпендикулярны; общий вид решения

9.

Только если а

x = 7¶y

,

любое действительное число.

10. Обозначим ÐA =α,

ÐB = β,

ÐC = γ .

е

С

е

А е

е

В

е

е

→

→

→

Обозначим орты векторов AB, BC, CA соответственно

e1 , e2 , e3 .Тогда (e1 , e2 ) = π - β , (e1 , e3 ) = π - α ,

(e2 , e3 ) = π - γ .

→

→

→

Скалярный квадрат вектора неотрицательный (e1

+ e2

+ e3 )2

³ 0,

К разделу «Аналитическая геометрия на плоскости»

1.

tg 60° число иррациональное, а все стороны треугольника

имеют

F .F 2 2F 8F 40

F

рациональные угловые коэффициенты.

2.

, где

- любое

действительное число

-

o n

.

часть

окружности

3.

Достаточно построить

, лежащую в первом квадранте, и

отобразить

#

относительно обеих осей В зависимости от

, ,

насчитыва

ется, по крайней мере, 21 существенно

различный случай

# o n

.

6.

Четверть эллипса.

8.

Исходный угол $ определяется из равенства ctg$ 9 .