Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

842 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Кразделу «Аналитическая геометрия в пространстве»

1.1;√EE.

2.Шар с центром, удаленным от Земли несколько далее

	â											Ÿ√³						â;			−			-
центра Луны.							Éоснов			= E									основ −
3.	сечения						Éоснов			= E					,	где			основ −				площадь эллипса,
являющегося направляющей'()														цилиндра						Ù		угол между плоско
стью ОХY и данной.																				Ù
4.	Центр (2, 0, 0, 0),										радиус .
5.	Однополостной									гиперболоид
5.	Однополостной															√5 .
6.	ç ,					¡ 0.
8.	Fö																							-
7.						¢.
	Исключив параметр а из канонических уравнений пря
мой, получим									1 ¡ .
									К разделу «Матрицы»
3	# # #										# #								(сравните с решением за-
1.														su			us		(сравните с решением за-
дачи	следующегоsu su								разделаus				.	su			us		1
3.					0			0	1		0 .					1			1
2.	а) Да, например, матрица																1			1 .
					0			0	0		0
							0		0		0 r
	В q1						0		0		0 r
	1		0				0		0		1
	1			2			3		…		a
4. 0				1 2					… a 1 .
	0…								…	a 2
	0…			0 …1 …						…		…
		0			0				0	…		1

5.	Покажите, что F½ %&								F½ &%		∑s,uv`	#suosu.
		%ÏÏ %					20		2	1 1
6. a)				0		; б)	WW		WW		.
7.	б) q0			0		r.
8.			0	0	,	0		= 1, 2, 3.
	Для		всех λ			кроме λ
	Для		0	0		0
9.							o		#
9.	Все матрицы вида							#	o .

10.Да.

11.Вычитая из каждого уравнения предыдущее, получим одно и то же уравнение, таким образом, ранг матрицы данной системы уравнений не превосходит 2. Из единственности реше-

ния следует, что n = 2 и система имеет вид
# # G			# 2G;			(причем		G @ 0		)
e # 3G # 4G # 5G								G @ 0
и имеет решение	1		2	независимо от a и d.
и имеет решение		,		независимо от a и d.
12. Пусть X =	a	b
12. Пусть X =		, тогда, используя правило умноже-
	c	d				a + 2c = a + 3b;

ния матриц, получаем систему уравнений						b + 2d = 2a + 4b;
ния матриц, получаем систему уравнений							+ 4c = c + 3d ;
						3a	+ 4c = c + 3d ;
							+ 4d = 2c		+ 4d.
						3b	+ 4d = 2c		+ 4d.
Получаем решение			2a	2b
Получаем решение		X =			.
			3b	2a + 3b

Здесь a, b − произвольные числа.

+ bc	ab + bd		2	+ ad
		- a
+ dc	cb + d 2	ac + dc

ab + db		+
ab + db		+
ad + d 2

						ad -bc							0				0			0
					+				0					=							.
									0		ad -bc						0			0
			14.			2			-1 2			2 -1 2							-1				=	1						0
			14.								=				×								=								;
						3			-2			3 -2 3							-2					0						1
						2			−1 2016				2	−1			2 1008					=	1					0
											=											=								.
						3			−2				3	−2									0					1
						3			−2				3	−2									0					1
											2	-1 2017			=			2			-1
Таким образом,															=								.
											3	-2						3			-2
			15. Равенство								(	)	можно					записать в												сокращенной							форме
		-	λE			=		.			p		,					−1			= E
																		−1
	A						0								A × A									можно записать
	A						0		Учитывая что															можно записать
			\| A - λ A−1 × A \| = 0, \| A \| ×(-λ)n \| A−1 -																						1		× E \| = 0 .
			\| A - λ A−1 × A \| = 0, \| A \| ×(-λ)n \| A−1 -																						λ		× E \| = 0 .
									К разделу «Функции и графики»																								3
стройте						4 625				;	б	2				;		в)			5								,	1		,	3				(по-
			1. a)							;						;		в)				2³a							,			,		2a			(по-
			,		, .						подкоренной											2³a								³				2a		1
							график				подкоренной										функции									последовательным
a 0 1 …											графика);									г)																		,
преобразованием											графика);									г)																		,
			4.	C)				; )MC ; C N MC																		C N
			2.	Нечетная.
			3.																												.	#					C
периодическая.																															Æ	#			9I		C
				а Нет б Нет в) Да.
			5. Подберите такое число а, что функция																																			–

)

;

в)

√

а)

на участке −1

Отрезок графика 2

9. Поровну

(

cos и

, где

точка

Две параллельные

прямые

fØ

пересечения линий

Ø Ø

I).

воспользоваться

монотонностью

функции

10. 9 решений, так как

4³ - 12

6 - 4

5³

К разделу «Пределы и непрерывность»

Пример: если

lim

`, то

7T87:8_7z

Нет.

но

lim`A

не существует

3. а) 0; б) 1; в) 1; г) ∞; д) 0.

Если lim`A

Ø _ √Ø ë, то ë Ø ë.

¨ ;

б) √¨ .

# †

o 1 Ø

y›

–

∞

Один корень стремится к

второй

11.

√2 1

Ö _ Öˆ •Ö

10.

; не существует.

lim`A

√• 1

Используйте

неравенства

и равенство

| |

(докажите!).

12. a)

0,,

| |

- 1;;

| |

4 1

a 0 f 1 f 2

1 a³

в)

. ,

, …,

г) maxK2, L . при остальных x;

13.Нет.

14.Да.

15.Опишите любой прямоугольник и поверните его на 90°, все время сохраняя касание всех четырех сторон (длины сторон прямоугольника при этом переменны). Покажите, что в процессе поворота разность сторон прямоугольника меняется непрерывно и изменяет знак.

16.Рассмотрим функцию f ( x) = x 2016 . Составим для этой

функции интегральную сумму на отрезке [0;1] , разбив отрезок

		1		1
на n равных частей, тогда		lim Sn = ∫ x2016 dx =		1	.

				2017
		n→∞		2017
		0
17. an+1 = sin an < an . С другой стороны,				an > 0 . Обозначим
lim an = a,	тогда lim an+1 = lim an = a		sin a = a a = 0.
n→∞	n→∞	n→∞

Кразделу «Производная»

1.f ′(0 + 0) = 1, f ′(0 − 0) = −1.

2.Все функции, кроме g(х), непрерывны, f(х) и φ(х) диффе-

3.Покажите, что | | 0 0.ренцируемы

4.	(shx)′ = chx, (chx)′ = shx, (thx)′ =			1	; (cthx)′ =				1	.
5.			ch2 x						sh2 x
5.	Указания:
	б) выделить целую часть;
	в, г) – разложить по образцу			1	=	A	+	B	(найти
	в, г) – разложить по образцу	x2		− x	=		+	x −1	(найти
		x2		− x		x		x −1
	числа А и В);
	д) 1 + x = 2 − (1 − x);
	и) преобразовать произведение в сумму.
6.	Преобразовать cos3 x в сумму функций.

7. Если производная четная, то функция не может быть не-

четной (например, f ( x) = 1+ sin x ). Если производная нечет-

ная, то функция четная.

8. a = 0,b = 1 .

	9. Найдем			производную				от левой части уравнения
′	=1+ x + x	2	+ + x		n−1	=	xn −1	. Рассмотрим два случая: n − чет-
y							x −1

ное и n − нечетное. Пусть n = 2k . Тогда производная равна 0 при x = −1 и в этой точке функция имеет минимум. Подставим x = −1 в левую часть уравнения

1−1 +	1	−	1	+	1	−	1	+ +	1	−	1	> 0.
									2k −1
2 3 4 5											2k

В этом случае корней действительных нет. Пусть n = 2k + 1 . Тогда производная в ноль не обращается, значит уравнение имеет один действительный корень.

К разделу «Приложения дифференциального исчисления»

1. Покажите, что касательная перпендикулярна к отрезку

АВ.

Можно.

ú,7

ú,y и исследуйте график#

ú,I.

Приведите

равенство

к эквивалентному виду

функции

Воспользуйтесь графиком функции из предыдущей

задачи.

# Ÿ

−

1 - #

− два0 - # 1,

Среднее арифметическое данных чисел.

6. При

−

одно решение, при

решения при

ни одного

7−8. Найдите

интервалы возрастания и убывания данных

# 4 Ÿ

функций.

а) Да; б) Нет.

один корень.

что

функция

C F

FlnF 1

имеет ровно

10.

Покажите,

11.

При радиусе яйца в

раз меньшем радиуса кастрюли.

12.

Надо идти по

прямой к точке

находящейся на дороге

√2

в 8,25 км от дома, затем по дороге.

13.

Тангенс угла между направлением на север и оптималь-

ным направлением ветра равен 2.

14.

50:√2

;

Сектор с углом 2 радиана.

15.

;

км/ч.

17.

16.

;

Æ 1 Æ

Рассмотреть функцию

и приме

нить теорему Лагранжа к

разности

C 1 C.

К разделу «Функции нескольких переменных»

]! `9 !

„

35.

б)

„

2. a)

;

]

`8]9 !.

`8]9

Неверно

а) Нет, так как пределы по линиям х = 0, у = 0, у = х,

у = −х различны; б) Да, так как IX 0,0

HX 0,0

К разделу «Неопределенный интеграл»

разную

1 cos

а)

Квадратные трехчлены.

а)ç

sin.

имеет первооб-

б)

Например,

функция

б)

то C

I „.

2 C

2C „.

Так как

Указания

‹

‹ tg

а) положить

¨Y8

; б) положить

;

¨Y8

ж)

проинтегрировать по частям дважды;

”;

д)

6. а) ln2 ln2 ln .

;

е) умножить числитель и знаменатель на

` ` sin cos`9 `9` `9

в) ` `9 tg`9 `9

(указание: tg

'():

1 ;

г)

` arcsin` a√1 arcsin`9 a a 1 `9 .

µ `9 8I z“T

`9 1 µ `9

Указание:

I’ 8I

’I

8I 9I

’I

8I z

8I z G 8I

z“T µ 8I

z .

8. Числитель и знаменатель рассматриваем как многочлены переменной х. После выделения целой части дроби:

−

2x sin x cos x + cos2 x

(x sin x + cos x)2

sin2 x

(x sin2 x + sin x cos x)2

Тогда

∫

x2dx

= ∫

− ∫

d (x sin2 x + sin x cos x)

(x sin x + cos x)

sin

(x sin

x + sin x cos x)

= −

cos x

sin x − x cos x

sin x x sin

2 x + sin x cos x

x sin x + cos x

x2 , x < −1;

9.max(1, x2 ) = −1, −1 ≤ x ≤ 1;

x2 , x > 1,

тогда

		x3
				+ c1, x < −1;
			3
∫ max(1, x	2
		)dx = x + c2 , −1 ≤ x ≤ 1;
		x3
				+ c3 , x > 1.
			3

Так как первообразная непрерывна, то должны выполняться равенства

−		1	+ c = −1 + c ;
−			+ c = −1 + c ;
	3			1				2								2					4
	3															2					4
									т.е. c2					= c1 +			, c3 = c1			+		.
						1			т.е. c2					= c1 +			, c3 = c1			+	3	.
1 + c =						1		+ c ,								3					3
1 + c =								+ c ,
			2		3			3
					3
Окончательно получаем
								x3	+ c,				x < −1;


								3
∫ max(1, x					2				2
							)dx = x +				+ c,			−1 ≤ x ≤ 1;
							)dx = x +		3		+ c,			−1 ≤ x ≤ 1;
									3
								x3	+		4	+ c,		x > 1.

											3
								3			3
К разделу «Определенный интеграл и его приложения»
1. a) D ’II							ln2; б)			D		]G ]8 .									3		C
3.		’I ç sinx ç										E		cos .			· C sinx				3		C		E .
2.	г)		’									E	a 0 f 1 f 2 …												E .
5.	2³a ³ 2a 1												a 0 f 1 f 2 …
	Применить правило Лопиталя																		)+,I		)+, I8.
4.				.									,		,			,	I 4		.	I8.		4 0
0 - - ³				.															I 4			I8.		4 0
	a) Использовать										неравенство															при
	a) Использовать										неравенство															при

6. Рассмотрите правую часть как сумму площадей двух криволинейных трапеций, примыкающих: одна к оси абсцисс, другая к оси ординат.

7. Пусть f(х)

и φ(y) − взаимно

обратные

функции, F(х)

–

их первообразные,

. Тогда (пока-

жите это геометрически

)

откуда

D7Ig C .

G DyHg Æ G W W

Правильно

W W „

ç W Ф: W

’

’I

’

: D9

8›mœ:I

8 :

: .

9. Заменив I в данном интеграле I, получим:

H?’H

’H

DW, 8H?

8H:

DW, 8H:

10. a) Заменить

; б) заменить ¢ ;

в) следует из б).

11. a) Используйте результат задачи 7 раздела «Производ-

ция»;’I’ýý) 1 ! обращается в, 0 при ,f1 (докажите» - ë).

функ

ная б

интегрируйте по частям учитывая что при

12. Во втором интеграле положите

затем интегри-

руйте по частям.

13. Заменить

F 0.

Наибольшая сумма E при F 1; наименьшая 0 при

14.

15. Сделаем

замену

переменной

x = t − π ,

тогда получим

интеграл ∫ sin(sin(t − π ) + 2016(t − π ))dt. После преобразований

−π

и применения формул приведения ∫ sin(2016t − sin t)dt = 0, так

−π

как подынтегральная функция нечетная. 70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]