Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие
.pdf
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
9 |
|
2 |
|
|
Решение. Окружность |
x + |
|
a |
+ y + |
|
a |
= |
|
a |
|
пере- |
8 |
8 |
32 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
секает стороны квадрата в точках C и D, которые равноудалены от точки B (см. рисунок).
A
Расстояние BD равно абсциссе точки пересечения окружности с осью ОХ (у = 0).
Решаем систему:
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
a 2 |
|
9a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x + |
|
|
|
+ |
y |
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
9 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
17 |
|
2 |
|
||||||||
x + |
|
|
|
a = |
|
|
|
|
a |
|
|
− |
|
|
a |
|
|
= |
|
|
a |
|
; |
||||||
8 |
|
32 |
|
|
|
64 |
|
|
64 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a − |
1 |
a = ± |
|
−1 a. |
|
|
|
||||||||||||||||
x = ± |
|
|
17 |
17 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как абсцисса точки D положительна, то
31
x = |
|
17 |
−1 |
a → |
BD = |
|
17 |
−1 |
a = |
|
17 |
−1 |
32( |
|
+1) = 64. |
|
|
|
17 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|||||||||
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: 64 м.
4. Для уборки снега на улицах города используются снегоуборочные машины. Они работают в течение светлого времени суток с 600 до 1800 ч (6 < t < 18) с постоянной скоростью уборки снега 400 м3/ч.
Изменение объема снега в городе в течение суток можно описать уравнением, где S(t) − объем снега, выпавшего за время t, ч (0 ≤ t ≤ 24).
В момент времени t = 0 на улицах города лежит 1000 м3 снега.
1. Пусть V(t) − объем снега, лежащего на улицах города в момент времени t. Создайте математическую модель для нахождения V(t).
2. Пусть снегоуборочные машины не работают в обеденное время (12 ≤ t ≤ 13). Определите объем снега, лежащего на улицах города в конце дня (t = 24), м3.
Решение.
1. Скорость изменения объема снега V(t), лежащего на ули-
цах города, для 0 ≤ t ≤ 6 равна dV = dS =120t − 5t2. Учитывая, dt dt
что в момент времени t = 0 на улицах города лежит 1000 м3 снега, для V(t) получим:
t
V (t) =1000 + ∫(120t − 5t2 )dt.
0
С 600 до 1800 ч работают снегоуборочные машины с постоянной скоростью уборки снега 400 м3/ч.
32
Следовательно, dV =120t − 5t2 − 400, при 6 < t < 18; dt
t t
V (t) = 1000 + ∫(120t − 5t2 )dt − 400∫dt.
0 6
После 1800 ч снегоуборочные машины не работают. Следовательно,
t |
|
|
|
|
|
18 |
5t3 |
|
|
||
V (t) = 1000 + ∫(120t − 5t2 )dt − 400∫ dt = 60t2 − |
|
− 3800, |
|||||||||
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
18 ≤ t ≤ 24. |
|
|
|
|||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1000 + ∫(120t - 5t 2 )dt, 0 £ t £ 6; |
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
||
|
+ ∫(120t - 5t |
2 |
)dt - 400∫ dt, 6 |
< t <18; |
|||||||
V (t) = 1000 |
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
5t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
60t 2 |
- |
|
- 3800, |
|
18 £ t £ 24. |
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
12 |
|
18 |
|
|||
V (24) = 1000 + ∫ (120t − 5t 2 )dt − 400∫ dt − 400∫ dt = |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
6 |
|
13 |
|
|||
=1000 + 60 × 242 - 5 × 243 - 400(12 - 6) - 400(18 -13) =1820. 3
Ответ: 1820 м3.
33
5. Во время весеннего паводка изменение объема поступающей в озеро воды в течение суток можно описать уравнением
dS =10 + 4t, dt
где S(t) − объем поступившей в озеро воды, м3, за время t, ч,
0 ≤ t ≤ 24.
Для того чтобы уровень воды в озере не превысил предельный уровень, оборудован сток воды из озера с постоянной скоростью 58 м3/ч. В момент времени t = 0 объем воды в озере составил 30000 м3.
1.Составьте математическую модель для нахождения V(t) – объема воды в озере в момент времени t.
2.Если в момент времени t = 18 сток воды из озера был перекрыт и до конца суток вода из озера не вытекала, то какой объем воды будет в озере в конце дня (t = 24)?
Решение. Так как V (t) = 2t2 - 48t + 30000, то в момент перекрытия стока объем воды в озере составит
V (t) = 2×182 - 48×18 + 30000 = 29784 м3.
С 1800 до 2400 ч воды прибыло:
24
∫ (10 + 4t)dt = (10t + 2t2 ) 1824 = 564 м3.
18
Тогда общее количество воды:
29784 + 564 = 30348 м3.
Ответ: 30348 м3.
34
6. Свайное основание фундамента состоит из 400 железобетонных свай, забитых в грунт. Рассматривая несущие способности каждой сваи как случайные независимые величины с известными математическими ожиданиями и среднеквадратическими отклонениями, равными M (xi ) = 12, σ (xi ) = 5 т, оп-
ределить с надежностью 0,95 несущую способность всего основания.
Решить задачу самостоятельно.
400
Ответ: η = ∑xi ≤ 4635,5 т.
i=1
7.Вездеход находится в лесу в 5 км от дороги и в 13 км от строящегося дома, стоящего у дороги. Он может ехать по лесу
со скоростью 30 км/ч и 50 км/ч − по дороге. За какое кратчайшее время он может добраться до стройки?
Решение/. . Пустим прямолинейную дорогу (см. рисунок) по оси Вездеход находится в точке A. Кратчайший путь вездеходa до дороги − АО (5 км), а до строящегося дома − AB
(13 км).
Пусть вездеход вышел на дорогу в неизвестной пока точке Х. Необходимо найти такое значение Х, чтобы время его в пути (АХВ) было бы минимальным.
35
Время движения вездехода по лесу:
tл ( Х ) = 
52 + Х 2 ,
30
по дороге
tg ( Х ) = 
132 - 52 - Х . 50
Общее время в пути:
|
t ( Х ) = |
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
(12 − Х ). |
|||||||||
|
25 + Х 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
30 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Осталось найти минимум этой функции: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
t¢( Х ) = |
1 |
× |
|
Х |
- |
1 |
= 0, откуда Х = |
15 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
30 |
|
|
25 + Х 2 |
50 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||
Нетрудно проверить, что t′′( Х ) > 0 в этой точке. Таким обра- |
||||||||||||||||||
зом, минимальное время вездехода в пути t |
= |
5, 6 |
(≈0,373 ч), |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
15 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а вообще вездеход может добраться до стройки за t ³ tmin . Время
13
движения вездехода по кратчайшему пути (АВ) составит
30
5 + 12 = 61
(≈0,433 ч), а по угловатому маршруту (АОВ) −
30 50 150
(≈0,407 ч).
Ответ: По лесу ≈0,433 ч; по дороге ≈0,407 ч.
36
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
|
|
|
|
|
1⁄4 |
Элементарная математика |
|
10 |
|
|||||||||||||
|
|
2. В |
|
от |
20 |
равна |
6 |
, |
то чему равна |
1⁄5 |
от |
? |
||||||||||
|
|
1. |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
63! 61! |
какой степени входит число |
11 |
в разложение числа |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
04. |
1 |
на простые множители? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3. |
Найти иррациональное число, записанное только цифра- |
|||||||||||||||||||
рациональными |
sin Æ |
|
?cos Æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ми |
|
и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Могут ли |
|
|
|
|
и |
|
|
быть одновременно ненулевыми |
|||||||||||
|
|
6. 1⁄ |
|
|
числами |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
целое число. Докажите, что чис- |
||||||||||||
|
|
5. |
Известно, что |
|
|
|
||||||||||||||||
ло |
|
† |
|
|
† – |
|
|
|
|
целое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
|
также 1⁄. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 · 1! 2 · 2! 3 · 3! _ a · a!; . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Упростить выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
а) |
3 1 3 1 30 1 … 3 ` 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
б) |
2 |
|
или |
|
999; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
7. Что больше: |
|
Ï; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
а) |
WW |
или |
√9! |
|
|
|
, если |
|
|
|
|
? |
|
||||||
|
|
|
в) |
√8! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ñ |
|
|
|
Ò |
|
|
tg $ )+, * |
|
0 - $ - ³⁄2 |
|
||||||||
|
|
|
|
sin α |
¦§ Ô |
или |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.Сколько0 5 Eотрицательных4 7 4корней0 имеет уравнение
9.Найти все корни уравнения? E Ö × 0, если из- Öвестно× , что один из них – двукратный. Укажите связь между
и0 . Известно что # o Ø - 0 и уравнение # o Ø
10.,
Øне имеет действительных корней. Какой знак имеет число ?
37
11. По какой линии движется точка окружности, которая катится без скольжения внутри окружности вдвое большего радиуса?
12. Вершина одного квадрата со стороной 1 находится в центре другого такого же квадрата. Найти площадь части плоскости, накрытой двумя квадратами.
13.Показать, что существуют многогранники с любым числом ребер, большим пяти, за исключением многогранника с семью ребрами.
14.По краю квадратного листа бумаги с обеих сторон проведена узкая красная полоска. Сколько раз надо перегнуть лист,
15.Найти функцию f (x) , удовлетворяющую при 0
уравнению f (x) − 2 f 1 = 2x.x
16. Доказать неравенство |
1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
+ + |
||||||||
2 |
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
Определители |
|
|
||||||||
1. Вычислить определители: |
|
|
|
sin $ ; |
|||||||||||
а) |
# o |
# o |
; |
б) |
cos $ |
|
|||||||||
в) |
Ê# o |
# oÊ |
|
; г) |
•sin Ù |
|
cos Ù• |
||||||||
cos $ |
sin $ |
|
# |
1 |
|
|
|
$Ù |
|||||||
|
Ê |
|
Ú $Ù |
|
Ù |
|
1 |
||||||||
|
Ê |
sin $ |
cos $ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
$Û |
|
|
|
|
ÙÛ |
|||||
д) |
Ü |
1 |
0 1 w , |
w 1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
0 |
1 |
w |
Ü |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 w |
w |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 < 1.
20162
$Û Ú ÙÛ
Û 1 ;
38
2.Доказать, что все шесть элементов разложения определителя третьего порядка не могут иметь один знак.
3.Доказать:
б) то же дляf1 |
f1 |
|
. |
|
а) что определитель третьего порядка, |
каждый из элементов |
|||
которого равен |
, не может равняться |
; |
|
|
|
определителя любого порядка |
|
||
4. Доказать, |
что определитель кососимметрической матри- |
|||
цы нечетного порядка равен нулю. Матрица называется кососимметрической, если ее элементы, лежащие симметрично относительно главной диагонали, равны по величине и противо-
положны по знаку, т.е. |
|
|
|
. |
|
покажите |
|
что каждый из |
||||||||
5. Не раскрывая |
определителей |
, |
||||||||||||||
|
#su #us |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||
них равен нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
1 |
2 |
|
3 |
; |
|
б) |
0 |
# 0 |
; |
в) # o Ø 1 |
; |
||||
|
Ü4 |
5 |
6Ü |
|
|
|
Üo Ø GÜ |
|
Üo Ø # 1Ü |
|||||||
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
0 |
Ÿ 0 |
|
|
Ø # o 1 |
|
||||
г) |
sin $ |
|
1 |
|
cos |
$ |
; д) sin $ |
cos $ |
sin $ Ý . |
|||||||
|
Úsin Ù |
|
1 |
|
cos |
ÙÚ |
Úsin Ù |
cos Ù |
sin Ù Ý |
Ú |
||||||
|
sin Û |
|
1 |
|
cos Û |
sin Û |
cos Û |
sin Û Ý |
|
|||||||
6. Пусть |
|
– |
определитель порядка |
|
, |
в котором главная |
||||||||
диагональ и соседняя с ней сверху заняты единицами |
а сосед |
- |
||||||||||||
|
∆` |
|
|
1 . |
|
|
|
a |
|
|
, |
|
||
няя снизу |
числами |
Покажите |
|
|
что |
∆`8 ∆`8 ∆` |
||||||||
и найдите ∆– W. |
|
$ |
|
, |
|
|
|
|||||||
7. Вычислить |
Ù |
Û , |
если , |
|
, |
Û |
– |
|
корни уравнения |
|||||
|
|
|
ÜÛ |
$ |
ÙÜ |
$ Ù |
|
|
|
|
|
|
||
E Ö × 0. |
|
Ù |
Û |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
39
8. Доказать, если система уравнений |
||||
# o Ø ;; |
|
|
||
^# o Ø |
|
|||
|
|
|
|
|
#E oE ØE |
Ø Ü 0 |
|
||
|
Ü# |
o |
|
|
совместна, то |
#E |
oE |
ØE |
. |
# |
o |
Ø |
||
|
a2 |
bsinα |
c sinα |
|
9. Доказать, что |
bsinα |
1 |
cosα |
= 0 , |
|
c sinα |
cosα |
1 |
|
|
|
|
|
|
где а, в, с − стороны треугольника; α − угол, лежащий против стороны а.
|
|
10. Докажите равенство: |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Š |
|
0 |
¡ |
|
Š Š |
1 |
0 |
¡ |
|
Š. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
¡ |
0 |
|
1 |
¡ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
¡ |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Þ |
Векторная алгебра |
|
|
|
#Þ |
|
Þ |
|
||||||
|
и |
1. Дано: |
|
|
|
. Найти сумму углов между |
и |
, |
|||||||||||
|
, и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Þ |
|
|
#Þ o Øß 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
||||||
|
2. Шесть векторов совпадают со сторонами и диагоналями |
||||||||||||||||||
o |
|
ØßØß #Þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрата со стороной 1. Учитывая, что каждый из них может иметь одно из двух направлений, найти все возможные значения модуля суммы всех шести векторов.
3. Дан треугольник |
/%& |
. Описать |
геометрическое |
место |
|||||||
концов векторов вида |
|
ÞÞÞÞ |
, где |
|
, |
|
, |
|
|
. |
|
|
ÞÞÞÞ |
|
$ 0 |
Ù 0 |
|
$ Ù 1 |
|
||||
|
$/% Ù/& |
|
|
|
|||||||
40