Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие
.pdf3. При каких5значениях6 параметров a и b
lim # o 3.
IA E
4. Доказать, что для любого натурального n
1 · 2 2 · 3 _ a 1 · a `9 ` `8
E .
|
5. Дана функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
arctg |
I: , |
@ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
^. , |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|||||
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Дифференцируема ли эта функция в точке |
x = 0? |
||||||||||||||||||||
и |
6. Функция y(x) задана неявно: |
|
|
h |
|
~} |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
~} |
|
|
|
|
|
|
|
|#}| |
|
|Ø}| 1 |
|||
|
#} Ø} > o Ø} |
#} o Ø} |
если |
|
|
o |
||||||||||||||||
|
7. Чему |
равенW |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= |
|
|
||||||||
|
|
D |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
8. Найти |
~}координаты центра окружности, |
вписанной в тре- |
|||||||||||||||||||
угольник, ограниченный осями Ох, Оу и прямой 3х − 4у − 5 = 0. |
||||||||||||||||||||||
|
9. Дано 12 произвольных целых чисел. Доказать, что из них |
|||||||||||||||||||||
|
11. Найти D ln 3 |
|
|
2 1 G . |
|
|
|
|||||||||||||||
можно выбрать два, разность которых делится на 11. |
||||||||||||||||||||||
|
10. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
общий интеграл дифференциального уравнения |
|||||||||||||||||||
|
|
|
) dy = −x dy. |
|
C . |
|
||||||||||||||||
|
|
C |
C I . |
|
|
∞ |
|
|
||||||||||||||
|
12. Непрерывная на |
(−∞, |
|
|
функция удовлетворяет ра- |
|||||||||||||||||
венству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2014/15 учебный год (2 курс, весенний этап) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I?: |
H?: |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
, удовлетворяющую уравне- |
||||||||
|
1. Найти функцию |
C . |
|
|
||||||||||||||||||
нию Лапласа |
: |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
101
2. Найти общий интеграл уравнения
G G 0.
3. Разложить в ряд Фурье функцию arccos cos .
4. Два клиента получили от банка «Доверие» письма с требованием срочного внесения платежа по кредиту в один из трех дней: 1 декабря, 2 декабря или 3 декабря. Каждый из них решил обратиться в банк «Доверие» с просьбой об отсрочке платежа в один из указанных дней (равновероятен любой из этих дней). Согласно внутренним инструкциям банка вероятность получить отсрочку по платежу для любого клиента постоянна и равна 0,5. Однако с 2 декабря руководство банка решило снизить эту вероятность до 0,25. Какова вероятность того, что только один из клиентов получит отсрочку по платежу?
|
5. |
Решить уравнение |
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
2a 1 ` ŸI: 5 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
a! |
|
|
|
|
|
|
|
|
`vW |
|
|
arctg ` 9`8 . |
|
|
||
|
7. |
Изобразить на плоскости Oxy∑ |
|
- |
|||||
|
6. |
Найти сумму числового ряда |
∞ |
|
|
|
|
||
|
¡ |
I:9H: |
. |
область`v |
определения: |
функ |
|
||
ции |
|
|
I:8H:9 |
|
|
|
|
|
|
8. Найти предел
lim √2015 · :·;√2015 · ;·Ä√2015 · … · z· z•T√2015 .
`A∞
9. Исследовать на сходимость числовой ряд
∑`v 1 ú, ` `.
∞ ` DI C G C .
10. Решить уравнение W
102
11. Знатоки и телезрители играют в игру «Что, где, когда» до шести побед – кто первый выиграл шесть раундов, тот и победил в игре. Вероятность выигрыша знатоков в одном раунде равна 0,6. Ничьих не бывает. Сейчас знатоки проигрывают
со счетом 3:4. Найти вероятность того, что знатоки все же выиг- |
||||
нению |
|
C |
|
|
рают. |
C 2C 2 . |
|
|
|
12. Найти функцию |
|
, удовлетворяющую при х ≠0 |
урав- |
|
х
х
2015/16 учебный год (1 курс, осенний этап)
1. Составить уравнение окружности, описанной около тре- |
|||||||
2.2 3 4 0 |
, 2 1 0. |
|
|||||
угольника со сторонами: |
|
|
C |
||||
|
; |
|
|
; |
|
||
C C . C |
удовлетворяющую уравнению |
, |
|||||
Найти функцию |
|
||||||
3. Функция |
Y1, |
|
задана |
|
|||
C ^ |
0; |
|
|
||||
I |
@ 0. |
|
|||||
|
)+, : |
, |
|
|
|
|
|
4.Построить график функции C lim`A cos `.
5.Доказать, что для любого натурального n имеет местоC\ 0 ?
6. |
1 2 _ a 1 2 _ a |
|
|||
равенство |
E |
E = |
|
E. |
|
|
E |
|
|||
|
Найти угловой коэффициент прямой |
||||
|
|
1 1 |
1 1 – |
|
|
|
y = |
1 4 3 2 1 1 . |
|
||
|
|
Š 1 3 4 3 2 1 |
Š |
|
|
|
|
1 2 3 4 3 1 |
Š |
|
|
|
|
Š 1 1 2 3 4 1 |
|
||
|
|
1 1 1 1 1 1 |
|
|
|
103
7. Найти
sin `. sin `
8.Дан ∆АВС: А(1,2,3); В(3,1,2); С(2,3,1). Найти все плоско-
сти, равноудаленные от вершин треугольника.
9.Найти уравнения касательных, проведенных из точки
4 1. _ sin `9 ³•` .` •sin .`lim`A(4,1) к эллипсу E.
10. Боинг 777 взлетел в 900 ч утра в городе Х и приземлился в 900 ч утра того же дня в городе Y. Найти приблизительно широту траектории его полета, если он летел вдоль параллели
2015/16 учебный год (2 курс, осенний этап)
|
e|¡ 1 w| 5; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Решить систему |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
|
|
|¡ w| 3. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
. |
arctgE 2 µ |
sinE E 2015 1 |
|
|
||||||
|
|
E |
G . |
|
||||||||
|
Ž . |
|
|
|
cos |
|
2 |
|
|
|
||
C , |
9E |
|
|
|
|
|
I H |
|||||
|
|
|
|
1 1 1 1 – |
производную |
|||||||
3. |
Вычислить смешанную |
|
:X |
от функции |
||||||||
|
, |
|
|
Š |
1 4 3 2 |
1 |
|
1 . |
|
|
|
|
C |
|
1 3 4 3 |
2 |
|
1 |
Š |
|
|
|
|||
Š |
1 2 3 4 |
3 |
|
1 |
Š |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 1 2 3 |
4 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 1 1 1 |
|
|
|
|
|||
104
4. |
|
9'() , |
|
; |
15-го порядка |
|
h |
0 |
, |
|||
Найти производную |
|
|
||||||||||
5. |
|
|
I, |
|
@ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
общее решение дифференциального уравнения |
|||||||||||
0 |
0. |
|
\ . |
|
|
|
|
|
||||
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Исследовать5 на сходимость |
числовой ряд |
|
|||||||||
|
∑`v •aln |
Ê `9`8 Ê 1•. |
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
sin 1 \; |
1 0; |
|
|
|
|
|||||
Решить задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|||||||
\1 1.
8.Телефонный номер состоит из 7 цифр. Вася Пупкин легко запоминает телефонный номер, если этот номер палиндром, т.е. одинаково читается справа налево и слева направо. Так, например, 1235321 – палиндром, а 1234567 – не палиндром. Найти вероятность того, что номер нового случайного знакомого Вася Пупкин запомнит легко.
9.Определить давление воды на вертикальный параболический сегмент, основание которого равно 4 м и расположено на
поверхности воды, а вершина находится на глубине 4 м. 10C. Найти все такие непрерывно дифференцируемые функ-
ции , для которых выполняется неравенство
D D C\ ³ 2 C\ ))G G > 2.
W W
2015/16 учебный год (1 курс, весенний этап)
1. Некий господин, умирая, оставил завещание в пользу своей жены и ребенка, который должен родиться. Если на свет появится мальчик, то он должен получить две трети наследства, а жена − одну треть. Если девочка, то она получит одну треть,
105
а жена − две трети. Но родились близнецы: мальчик и девочка. |
|||||||||||||||||||
|
3. |
Найти первообразную для |
|
cos 2 arccos . |
|
||||||||||||||
Как разделить наследство? |
|
|
|
|
|
|
|
|
9|I| |
|
|||||||||
|
2. |
Построить график функции |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
5. |
4 |
|
|
|
52 0 |
|
функции |
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 9 144 . |
||||||||||||
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от эллипса |
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
|
до прямой |
|
E |
2 |
. |
|||||||
DW |
|
+ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
G |
|
|
|
задана уравнением |
|
|
|
|
|
Найти |
|||||||||
|
|
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
6. |
2F 1, F. 1, |
|
¡ F 1 на плоскость |
|||||||||||||||
|
Найти уравнение проекции прямой |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 2¡ 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8. На |
|
D ln 3 |
|
2 1 G |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
7. |
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A (6, −2), |
координатной |
плоскости задан |
четырехугольник |
||||||||||||||||
B (0,6), C(8,12), D (11,8). Вычислить площадь фигур, |
|||||||||||||||||||
|
которые разбивает его прямая |
|
DI ¨S GF |
|
0. |
|
|
|
|||||||||||
на |
9. Построить график функции 7 67© . |
|
|
|
|||||||||||||||
10.Определитьnцентр масс пластинки D:
,.
11.Металлический стержень длиной 4 м согнули посереди-
не так, что образовался угол 240°. Каково расстояние между |
|||||
ство |
|
|
. |
•0 |
|
концами согнутого стержня? |
, . |
|
|||
|
tg sin 2 |
|
справедливо неравен- |
||
12. |
Доказать, что для всех |
||||
2016/17 учебный год (1 курс, осенний этап) 1. Доказать #} ¶ o~} #} · o~} #} · o~} .
2. Найти
lim sin√ 2 sin√ cos√ 2 cos√ .
IA
3. Пусть матрицы А и В такие, что АВ = А + В и Е – единичная матрица. Доказать, что det(A − E). det(B − E) = 1.
106
1 2 2 1 2 2 1 . 2 p
5.Матрица А получена из матрицы А симметричным ото-4. Построить график функции
бражением ее элементов относительноp вспомогательной диаго- нали. Доказать, что detА = det А . 4 cos 4 0.
6. Найти все решения уравнения
7. Найти множество значений функции
2 E 3 12 1 на интервале M 3;2N.
8. Найти все квадратные матрицы второго порядка, для ко-
торых А = А−1. |
|
#} A} » o A} » |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Проверить, могут ли векторы |
|
Ø |
|
, |
|
быть |
|||
произвольных а, б, с. |
# o |
|
|
#o #Ø oØ |
|
||||
сторонами куба. Если да, то найти третью |
сторону |
~} |
|
|
|||||
|
|
~} ~}. |
|
|
|||||
10. Доказать неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
для |
|
11. На танцплощадке установлены пять динамиков, разбитых на две группы: в одной 2 − динамика, в другой − 3. Расстояние между группами 50 м.
Найти:
а) хотя бы одну точку на площадке, в которой звуки обеих групп доносились бы с одинаковой силой;
б) все множество таких точек.
Сила звука обратно пропорциональна квадрату расстояния.
|
2016/17 учебный год (2 курс, осенний этап) |
|
||||||
1. |
Доказать, что . - DW. √1 cos G - h†.. |
|
||||||
2. |
Вычислить |
: |
|
|
|
|
||
I8√I:8 : |
|
|
|
|
||||
3. |
На параболеD |
√I |
найти точку нормаль в которой отсе |
- |
||||
8 |
G . |
, |
. |
|||||
кает от параболы |
сегмент наименьшей площади |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
107 |
|
|
|
|
4. Решить уравнение |
числа |
`9 , |
|
|
|
, , , |
|
где и |
− со- |
|||||||||||||||||||||
пряженные комплексные |
|
|
|
|
|
a 0 1 2 |
|
|
¡ |
¡ß |
|||||||||||||||||||||
|
¡ß .¡ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5. Из кофемашины в чашку, которая имеет форму парабо- |
||||||||||||||||||||||||||||||
лоида |
¡ |
|
E |
, равномерно льется струйка кофе со скоро- |
|||||||||||||||||||||||||||
стью |
|
|
|
. Найти скорость движения поверхности кофе |
|||||||||||||||||||||||||||
в |
чашке |
|
см ⁄с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ÀW |
. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C, |
||||||||
|
6. Найти |
|
максимальное. |
|
|
значение |
|
функции |
|||||||||||||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Разложить функцию |
|
в ряд Маклорена. Найти сумму |
||||||||||||||||||||||||||||
DI |
2 F F GF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
коэффициентов этого ряда с |
номерами |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
08I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
а) кратными трем; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
б) кратными двум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
8. а) Найти общий интеграл дифференциального уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
H ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
9. |
б) Решить задачу Коши |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
= 1. |
, |
|
|||||||||||||||||
|
Найти |
минимальное |
значение функции |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I8H |
|
|
1 |
|
C |
E |
|||||||||
|
|
в области Д: 0 |
|
|
|
|
|
; 0 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
510. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
, |
|
где |
|
|
|
непрерывна при |
||||||||||||||
|
|
02016 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
2016. |
|
|
|
|
|
C G |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
C C 2016 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
108
Учебное издание
Юрий Александрович Чиркунов Юрий Михайлович Вахромеев Татьяна Васильевна Вахромеева Илья Абрамович Бертик Людмила Алексеевна Багина
НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ
(для подготовки студентов к олимпиадам)
Учебное пособие
Темплан 2017 г.
Редактор Г.К. Найденова
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 54.НС.05.953.П.006252.06.06 от 26.06.2006 г.
Подписано к печати 27.04.2017. Формат 60×84 1/16 д .л. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная. Ризография. Объем 6,36 уч.-изд.л.; 7,0 п.л. Тираж 75 экз. Заказ №
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сиб стрин) 630008, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113
Отпечатано