Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

казать, что траектория точки лежит в некоторой плоскости.

Показать, что при любом значении а линия

cостоит из двух прямых.

сти W W n .

Составить уравнения всех прямых, касающихся окружно-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

842 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

7. Найти область определения функций:

sin√

¡ I:8H:9

а)

;

б)

I:9H:

8. Доказать

lim`A

DW 1 ` G 0.

9. Решить уравнение

•∑`v ` `8 •

∑`v ` `8

Ø 0

M2 2N

–

10.

Коэффициенты b и c квадратного уравнения

наугад выбираются из отрезка

;

Найти вероят-

ность того

что корни полученного квадратного уравнения

‹ C

действительные числа.

I: H: 0

удовлетворяющую

11. Найти функцию

уравнению Лапласа

2009/10 учебный год (1 курс)

1. Вывести формулу для вычисления суммы:

1 2 3

_ a`9

+… .

2. Найти геометрическое место вершин прямых углов, обе

стороны которых касаются графика функции

3. К реке шириной а метров построен

под прямым углом

0 .

канал шириной b метров. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал.

4.ŽПри каком#значенииŸ G параметра а интеграл

W W I:

выражается в элементарных функциях.

5.	Построить график функции
6.	F F DW \| F\| G .
		.			sina		,
	Вычислить							a ¼.
	Ž			c	sin	d G
7.	W
	Решить уравнение
8.	D√I F√F 1 9 GF . .
	Найти отношение интегралов
	DW 1 ˆ ` G
	и		DW 1 ˆ `9 G , 8a, • é; a, • 4 0.

C C 0 0

функции

9. Найти

все непрерывно

дифференцируемые

такие, что объемы тел, полученных враще-

0 > F C

0 F C

нием вокруг оси Оy

криволинейных трапеций

ограниченных

графиками:

совпадают для всех t

n 1 π

2π

10. Найти

`Alim a sin a sin a _ sin

2010/11 учебный год (1 курс)

1. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство1E 2E _ aE 1 2 _ a .

Доказать, что для любого натурального n справедливо

1 2 _ a a a 16 2a 1 .

равенство

1, если 1,

, если 2

ö e

2 если 4 2.

Построить графики0 ефункцийсли 4

;

Пусть

;

в)

C C

;

г)

ö C

C ö

б)

ö ö

;

Вычислить

sin sin a

G .

Вычислить

¡ .

объем тела

Если в гармоническом ряде 1 E _ ` … вычерк-

нуть все члены, знаменатели которых, записанные в десятичной системе, содержат цифру 9, то оставшаяся часть ряда будет сходящейся.

7.Сколькими способами можно рассечь выпуклый n-угольник на (n−2) треугольника (n−3) непересекающимися диагоналями? Многоугольник считается жестко закрепленным на плоскости.

8.Можно ли на шахматной доске расставить восемь ферзей так, чтобы ни один из них не находился под ударом какого-то другого.

9.Определить, относительно какого центра симметричен

1	1	1
график функции	2	3.
1	2	3.

10. Определить, относительно какой вертикальной оси симметричен график√# функции√o , 0 - # - o .

	%WW		% ò 1	1	0ó.
11. Найти		, где	2	0	1
11. Найти		, где	1	2	1

	%hW		% ò 2	1	0ó.
12. Найти		, где	3	0	1
12. Найти		, где	1	3	2

2011/12 учебный год (2−4 курсы)

Интегрируемая по Риману на

функция f,

удовлетво-

ряет неравенству

M# oN

ŽyC

G 4 0.

4 0 на некотором отрезке

MØ GN : M# oN.

Докажите,

,,что C

Пусть на множестве G задана бинарная операция *, удов-

летворяющая тождеству

. Докажите, что эта опе-

1 2

• @ a

рация удовлетворяет

также тождеству

p p

при

взаим

Доказать, что числа

‘

но просты.

4. Квадратные матрицы A и B с вещественными элементами

перестановочны и при возведении в квадрат их ранг не меняет-

ся. Доказатьrang %&, что rang %&.

5. Доказать, что существует√ бесконечно3 много рациональных x, при каждом из которых тоже рационально.

2013/14 учебный год (1 курс, осенний этап)

1. Три альпийских луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади 10/3 га, 10 га, 24 га. Первый прокормит 12 быков в течение 4 недель; второй – 21 быка

в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?

2.Сторона прямоугольника выражается целыми числами.

Какой длины должны быть стороны, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся 1его площади0. ?

3.Известно, что

Найти		9 0;		h 9 h.
	0								.
4.	Решить систему							_ ` `
								_ 0 1;
5.	Вычислить			0		1	W E.
						0
			1						cos sin
		График				³		?
sincos.					. ;		заданы функции		,
6.	На	интервале

какой функции выше

7.Исследовать3 2ô и найти2 ôрешение системыô b 2 ô 2 ô EE 1 ;

2 ô E 1. ;

8.Заданы% # матрицыmaxwx. четвертого порядка &А oи В. minwxЭлементы. матрицы , su Элементы матрицы , su Оп-

ределитель какой матрицы больше?

9.Водитель «Жигулей» проехал расстояние между городами со скоростью 60 км/ч и возвратился со скоростью 40 км/ч. Какова была средняя скорость его езды?

10.Как надо написать три двойки, чтобы изобразить ими возможно большее число?

11.Найти, как нужно разделить (разрезать) квадрат, чтобы из полученных частей можно было составить 5 равных квадратов.

12. На координатной плоскости задан четырехугольник с вершинами в точках (0;6), (8;12), (11;8), (3;2). Вычислить площади фигур,7на которые67 0.разбивает его прямая

2013/14 учебный год (1 курс, весенний этап)

1. Найти три последовательных числа таких, что квадрат среднего на единицу больше произведения остальных.

2. Вы предлагаете девушке умножить число даты ее рождения на 12, а номер месяца – на 31. Она сообщает вам сумму обоих произведений. Вы определяете дату ее рождения. Как? Доказать, что фокус всегда удается.

3. У вас на даче уже есть забор и еще осталось m метров изгороди. Как отгородить прямоугольный участок (палисадник) наибольшей площади, используя забор как одну из его сторон?

4. Прямоугольный металлический лист надо согнуть желобом с сечением в форме равнобокой трапеции. Это можно сделать по-разному. Какой ширины должны быть боковые полосы?

Под каким углом они должны быть отогнуты, чтобы сечение желоба имело наибольшую площадь?

W − решение уравнения

√.E ëa2 .

I0Ä

Iµ

√E arctg I√9E ”

Чему равно

(2+

Найти

интеграл

√3

D9 sign · arctg I

sign

0 0

dx, где

1,,

4 0;;

1 - 0.

7. Привести пример функции двух переменных, естественная область определения которой состоит из прямой и двух отдельно стоящих точек.

Найти предел как предел интегральной суммы

lim`A

` sin

sin

`. sin E`. … sin³ .

При каком b Dy9y8 G 6?

10. При каком а

DWE| #| G имеет наименьшее значение?

2013/14 учебный год (2 курс, весенний этап)

Дан эллипс

= 5. Найти уравнение параболы, ко-

1 1 1 1.

торая касается

этого эллипса в точках

Исследовать сходимость ряда

√2+ 2 √2 2 2 √2 ,

и т.д.

2 2 2 √2

Доказать сходимость и определить значение бесконечно-

го произведения

∏ 1 ` `8

I9H:

Решить дифференциального уравнение

Вычислить интеграл

DW ¨Y8

что

I ’I , если известно,

`vt a

Изобразить тело и область интегрирования и вычислить

(переходя к цилиндрическим координатам)

DW G DW√ I9I: G DW7 ¡

G¡.

7.В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью Р, а третий член для вынесения приговора бросает монету. Окончательное решение выносится большинством членов. Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью Р. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

8.Дан шар радиусом R. Какой наибольший объем прямого

10. Изобразить Ÿ		Ÿ		,		sin sin .
кругового цилиндра, вписанного в этот шар?
9. Известно, что	I		H. Верно ли, что
множество			точек		удовлетворяющих
условиюsin³\| \| \| \|	16 = 0.

2014/15 учебный год (1 курс, осенний этап)

1.Луч света распространяется в однородной среде с постоянной скоростью. От точки А до точки В свет идет по такому пути, который занимает наименьшее время. Доказать, опираясь на этот постулат, что угол падения равен углу отражения.

2.В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и дает победителю четыре конфеты, а всем остальным

ученикам − по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля − 32, а Вася − 37. Известно, что один из них пропустил один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике, остальные уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.

3. Найти наименьшее натуральное число, которое начинается на 44, оканчивается на 44, имеет сумму цифр 44 и делится на 44.

4. Решить уравнение

16E 11 1 1.

5.	Девять различных чисел можно расположить в виде оп-
ределителя 9! (n! =						) различными способами. Найти
		#} o Ø} 0.
сумму всех таких				определителей
~}	~}	Ø} и #}		~}
#} и o	o и Ø}		.		Найти сумму углов между
6,.	Дано,
7.	Точка движется в пространстве так, что каждая из ее ко-

ординат выражается через время как квадратный трехчлен. До-

10. Садовод в течение июля и августа наблюдал за яблоней. За каждый месяц каждое яблоко увеличивает вес в 1,5 раза, но при этом 20 % хороших яблок становятся червивыми. Как и на сколько процентов изменился общий вес хороших яблок в конце августа по сравнению с началом июля, если в начале июля не было ни одного червивого яблока?

2014/15 учебный год (2−4 курсы, осенний этап)

1. Найти число всех семизначных натуральных чисел, у ко-

торых цифры в десятичной записи идут в строго убывающем
порядке.
sin cos 2#sin cos 0
2.	Найти все значения параметра а, при которых неравенст-
во	”	”			выполняется для всех x.
4.	1 2 0.
3.	Найти общее решение (или общий интеграл)
			\	E
	,\			4 E;
	Решить	задачу Коши
	e <Iv 1 <Iv 2.

Найти непрерывную в точке x = 0 функцию

, удовле-

творяющую равенству

1 C .

lim

#C o

oC #

Вычислить

yA7

# o

если C дифференцируемая функция.

при. a 2

казать, что

ØW

Ø 4 0 и Ø` Ø`9 Ø`9

На оси

lim`A

Ø`

Пусть

. По-

предел

существует и найти его

достаточно глубокого параболического зеркала

фокус которого удален от вершины на 10 см,

на расстоянии

80 см от вершины находится муха, желающая поскорее сесть на зеркало. Куда ей лететь?

9. Вычислить площадь, ограниченную линией			0.
10. Найти длину кривой	.	до ..
D9I…: √cosF dt от

2014/15 учебный год (1 курс, весенний этап)

$ 4 $ 1 $

1. При каких значениях параметра система уравнений e2 $ 6 $ ; 3

не имеет решений?

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0, такой, что площадь области D, ограниченной этой прямой и параболой y = , была наименьшей.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]