Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие

остальные.

ÞÞÞÞ

ÞÞÞÞ

Найти

ÞÞÞÞ

,

-

%& #

„J Ø

&„ o

5. В трапеции

даны векторы, совпадающие с основа-

ниями

,

%&„Jи с одной из боковых сторон

.

сумму векторов

идущих из точки пересечения диагона

лей трапеции в ее вершины.

6. Единичные векторы

,

,

, , приложены к началу ко-

|# o Ø G Ÿ|

4 1

верхней полуплоскости

Доказать

ординат и оканчиваются в# o Ø G Ÿ

.

,

что

8. cos 7

cos 79

.

cos 228

cos 295

°

°

cos 151

°

°

°.

7. Вычислить:

/%&

/

j

, биссектриса

&

и

á

.

проведены медиана

,

.

В треугольнике

из вершины

ÞÞÞÞ,

ÞÞÞÞ

,

# /% o /&

Разложить указанные векторы по

высота

базису

Доказать что в пространстве не существует пяти векторов

образующих попарно тупые углы.

10.

# o Ø

o ¶ Ø Ø ¶ # 0

.

Доказать,

что

9.

Известно, что

векторы ,

,

компланарны

# ¶ o .

.

# o,

Ø

Из одной точки проведены три некомпланарных вектора

, ,

# ¶ o o ¶ Ø Ø ¶ #

. Доказать, что плоскость,

проходящая через концы векто-

ров перпендикулярна вектору

Üo

Ø

#Ü

E.

#o oØ Ø# 0

11. Докажите,

что если

, то

#

o

Ø

#

o

Ø

12. Докажите

Теорему

Пифагора.

Пусть

пирамида,

в одной из вершин которой сходятся

треугольники с прямыми

â

все вершины которого

имеют

целочисленные координаты,

а один из углов равен 60°.

,4

3.

% 2 4 & 6

2.

Составить уравнение всех окружностей, проходящих че-

рез точки

,

(

,

.

| |

#

,

| |

o

n

кривую

заданную

уравнением

4.

Построить

.

# o n

исследовать возможные случаи в зависимо-

сти от

, ,

).

0

0

Построить график функции

√3 . 1

5.

Построить линию

6.

Отрезок длины

движется так

что его концы остаются

4

и

4 ,

1 0

на положительных

полуосях

.

Какую линию описывает

3

точка

, делящая отрезок в

отношении

?

/ã

/ä

, ,

,

7.åРавносторонние

треугольники

со сторонами

1: 2

сторонами

поставлены в ряд на горизонтальном основании со

1 3 5 …

Аналитическая геометрия в пространстве

1.

Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями

граней куба.

2.

Какую форму имеет область пространства, в которой

лунное притяжение превосходит земное?

4. В

³

¨

1

2 2¡ 5

3.

Определить площадь эллипса, образованного пересечени-

ем цилиндра

H::

и плоскости

2

.

0 9

.

пространстве

четырехмерном

сфера

Найти центр и

пересекается с гиперплоскостью

.

E

радиус пересечения

5.

Какую поверхность образует диагональ куба, вращающе-

гося вокруг своего ребра, не пересекающегося с этой диаго-

уравнение

ç

0

.

/ã

налью?

6. Кривая

,

вращается вокруг оси

. Написать

янной

поверхности вращения

/é

-

è

.

7.

Горизонтальная прямая, перемещаясь вверх с постоянной

скоростью , одновременно вращается вокруг оси

с посто-

ности.

/ã

В начальный момент прямая сов

угловой скоростью

падает с осью

.

Составить уравнение полученной поверх

-

ë7

K# #

ê

#

число. Составить

1L

.

8.

Через точку

0

,

0

,

1,

проведены все прямые с направляю-

щими векторами

,

, где

любое действительное

метричной и антисимметричной матриц. (Симметричной назы-

#su

#us

элементы

#su

#us

вается

матрица,

которой

удовлетворяют условию

; для антисимметричной −

.)

%

% /

2. а) Существуют ли такие ненулевые матрицы

,

?

б) Найти все такие 2×2

матрицы.

3. Пусть

любая матрица 4×2.

Найти такую матрицу В,

что при

умножении на нее слева первая и третья строки матри

%

-

цы

меняются местами, вторая − заменяется нулями, а элемен-

четвертой строки меняют знак

.

ты %

1

1

1

1

1

…

ñ

a a

î0

0

1

…

1

1

4. Вычислить

…

…

…

…

…

…

(матрица

× ).

0

1

1

…

1

1

ï

ì0

0

0

…

0

1

5.

Следом квадратной матрицы

называется сумма ее

зать, что для любых

F½ %

# # _ #``

.

Дока-

диагональных

элементов:

F½ %

F½ %&

F½ &% .

квадратных матриц А и В верно равенство

ò 0

1

0

ó

ÏÏ; б)

2 1

6.

Вычислить:

а)

1

1

0

0 1

WW.

7.

1

1

0

.

0 0 1

% ò0

1

1ó

)

0

0

1

;

б) Найти lim`A%`

`: %` .

а

Вычислить

% ò6

4

4ó

8. Вычислить

4

4

5

5

3

2 .

9. Найти

ô

матрица

% ,ôæ

обратима?

При каких

1

0

все

матрицы

перестановочные с матрицей

% 0 1 . То есть такие матрицы &, что %& &%.

11.

Ö

×

% Ö% ×æ 0

10.

Для всякой ли матрицы

a

второго порядка можно найти

такие числа

и , что

%

?

Коэффициенты системы

уравнений с

неизвестными

# # _ #` ` o ;;

a 2

# # _ #` ` o

õ

… … … … … … … … … … … … … … …

#` #` _ #`` ` o`

образуют арифметическую прогрессию:

# , # , …, #`, o , # ,

# , …, #`, o , …, o`.

13.

a

b

удовлетворяет урав-

Доказать, что матрица X =

c

d

нению X 2 - (a + d ) × X + (ad - bc) × E = 0.

14.

2

-1 2017

Вычислить

.

3

-2

15.

Число λ называется характеристическим числом мат-

рицы А, если оно удовлетворяет уравнению

a11 − λ

a12

a1n

a21

a22 − λ

a2 n

= 0

( )

an1

a n 2 ann − λ

Функции и графики

1.

Найти области определения функций:

√ 2;

а) log logE log0 logh ;

б)

в)

|

1

|

2 2

;

г)

sin √

.

3.

Показать, что любая функцияC,

ln √1

-

2.

Четная или нечетная функция

?

определенная на всей чи

словой прямой, единственным образом представляется в виде

4. Верно ли, что C ö

ö C , если

суммы четной и нечетной функций.

а) C

2I

, ö

;

б) C

1

√ ,

ö

8I

;

где

C

M N

ö

K L, . .

,

,

;

M N

(

,

,

в)

,

3 M1N 1

M 0,5N 1

M N

?M³N

целая часть числа

т е

наибольшее целое число не

превосходящее

например

дробная часть числа

а)

limIAW

I: )+, ⁄I ; б)

limIA8

I8 I8√I; в)

lim`A

z

;

)+, I

√I8

√a

lim`A

√a!

lim`A

`!

г)

z

;

д)

WWz.

4. Найти

1

1 _ √1 (a корней);

lim`A

lim`A

2

2 _ √2 (a корней);

lim`A

Ø

Ø _ √Ø (Ø 4 0, a корней).

5. Вычислить следующие пределы:

√cos

lim

tg

¦§ I;

lim

а)

IA.⁄0

б)

IAW

Y:

;

в) limIA8

I8EI8 T⁄T⁄YY

I:.

6. Найти числа

#,

o, Ø из уравнения

#.

limIA8

• E √1

o I› •

#

o Ø

# A 0 o

Ø

o @ 0

, если

7.

Что происходит с корнями трехчлена

,

и

не меняются, причем

?

8. Дана

последовательность

биноминальных

коэффици-

ентов:

,

ˆ ˆ9 ,

,

ˆ ˆ9 … ˆ9 `9 ,

где

положительное• è · целое…числоè` . Найти· ·…·`

è

.

•

lim

`A

lim

`A `.

0 `8 1 ` ⁄2

:

a? 1

10.

,

3

.

Найти

9.

Пусть

при

Существует ли такой предел при

Ö. Ö ÖE

_ 11.Ö

0

, то

lim

z

Ö

`

Ö

`

:_ Ö

`

Ö

Докажите следующее утверждение

если

ˆ

`A

ˆ

Построить графики функций

√1 ` 0

lim`A

8I:z

lim`A

а)

lim`A

I:z

;

б)

lim`A

z

`8I

0

;

в)

sin `

;

г)

ú,

z

.

z

15. Найти lim S

, если

S =

12016 + 22016 n2016

.

n →∞

n

n

n2017

n

Производная

1. Для функции

.

1 Ÿ

9I: вычислить левую и пра-

вую производные

при

C

2. Даны

следующие функции

I ,

0

:

sin,I

@;0

@ ;0

C

)+, I

,

0

;

ö

0

,

0

;

1

Æ

ö

,

û

ö

,

ü

дифференцируемымиö

;

.

Являются ли они непрерывными и

√

ö ,

Æ

Построить

эскизы графиков функций

при .0?

µ

G ⁄G.

0

0

1

1

| |

4. 2 sin

следующие функции:

¨Y9¨“Y

(гипербо-

3. Найти

в

точке

,

,

если

Определим

ch

sh

th sh ⁄ch

(

,

).

-

:

¨Y8¨“Y

,

лический

синус),

(гиперболический косинус),

ch sh

1

sh 2 2 sh ch

гиперболический

котангенс

Докажите сле

дующие

формулы

ch 2 ch

sh

.

сравните их с обычными тригонометри-

,

ческими формулами

Найдите

производные

гиперболических

функций.

5. Вычислить W , `

:

в) I:9I;

а)

9I;

б)

8I9I;

г)

I:9EI8

; д)

;

;

е)

sin sin 2 sin 5

;

8I

√

√ 9I

cos 2

к

)

.

Ÿ

sin0

з)

I;

и)

;

ж)

;

6. Показать, что если

cosE

, то

]

E 08E

ý .

7. Доказать, что производная четной функции нечетна, а не-

четной – четна. Верны ли обратные утверждения?

#,

0;