Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие

1

ln(1 + x)

π /

4

ln(1 + tgt

dt

π /

4

I = ∫

dx = ∫

×

= ∫ ln(1 + tgt)dt.

1 + x

2

1 + tg

2

t

cos

2

t

0

0

0

1+ tgt =

sin(t + π / 4)

.

2

cos t

С учетом этого

ln 2

π / 4

π / 4

π / 4

I =

∫ dt +

∫ ln sin(t + π / 4)dt −

∫ ln cos tdt.

2

0

0

0

π / 4

π / 4

t = π / 4 − z

∫ ln sin(t + π / 4)dt = ∫ ln cos zdz .

0

0

Тогда

ln

π / 4

π ln 2

I =

∫ dt =

.

2

8

0

1.

Вычислить

ò

0

1

0ó

1

1

0 ÏÏ.

2.

Найти

уравнения

касательных

,

проведенных из

точки

I:

0

0

1

(4, −1) к эллипсу

1.

3.

Вычислить:0

T

z:

а)

8z

;

б) lim`A

¨z

_

T

lim`A ·

·E E·0

`· `8 .

I

лентными бесконечно

arctg

.

4.

Исследовать и построить график функции ŸY:“ Y•Tg.

5.

Доказать,

что

.

и

являются эквива-

малыми

при

и

до па

6.

из точек

(0;4)

(0;6)

-

Найти расстояние от каждой A ∞

7.

W

-

раболы

I:.

ру. Пройдя 32

ступеньки, он оказался

наверху

эскалатора.

Сколько ступенек было в эскалаторе?

# 0

#` 0

8. Доказать,

что последовательность

,

7z“T8E

2.

5

2 10

1.

Вычислить кратчайшее расстояние от окружности

до прямой

.

C √3 arctg .

Найти расстояние между асимптотами графика функции

3.

Вычислить

0

1 ÏÏ”.

√a.

4.

cos

2arccos lim

Построить

график функции

1

0

z

5.

Можно

ли утверждать

что квадрат разрывной функции

,

`A

limIA7 C

есть разрывная функция? Приведите пример.

ö

.

ли

из

limC

lim ö

6.

Следует

существования

предела

существование пределов

IA7

и

IA7

?

Приве-

дите пример

e

7.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,

графиком параметрически заданной функции

cos F

и гра-

фиком функции

., заданной в полярной

системе координат

√2

.

(Полюса

полярных систем координат совпадают с началом де

-

Æ ”

картовой система координат, а полярные оси –

с положитель-

ным направлением оси абсцисс).

| |

| |

1.

8.

¡

в области

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

9.

Решить

∑`v ` `8 ∑`v ` `8

.

10. При каком а интеграл

3# 2# G

прини-

мает наибольшее значение?

DW #E

J

11. Вычислить двойной интеграл

I

, если область

ограничена параболами

и

ÇR. H G G

12. Найти все

функции

вторая производная которых совпа

-

,

1996/97 учебный год (2 курс)

# ÏÏ”

Найти сумму1 2

ÏÏ”

1 # #

ÏÏ”.

1.

Дано:

+…+

2.

коэффициентов при

# #

# ÏÏ”.

Область D ограничена прямыми у = 0, у = 1,

х = 0, х =1.

#G G

интеграл

ÇR|

При каком значении параметра а

Ø 4 0

ство

C\

Ø

достигает наименьшего

значения

3.

Известно,

что

,

где

.

Доказать неравен-

D D "C\

#

:$ G G 2.

4.

X

H

тяжести шарового сегмента,

Найти координаты

центра

¡ n

от шара

уравнение

отсекаемого плоскостью

¡ ½ 0

- ½ -

.n

,

поверхности которого

’

5.

Учитывая,

что

)+,I

'()I

)+,I , вычислить криво-

линейный интеграл

’I I

I

I:

D )+,IH: '()IH

G%

вдоль отрезка прямой, соединяющей точки А(0; 0) и В(1; 2).

7.

&

,

0 3

0

3

0

1.

ëaŸ 1

6.

при , Ÿ′

1, если,

,что

Вычислить, у(х)

известно,

.

при

0 - - 1

.

что

C\sin

cos2 tg

Найти

C

Известно

8.

Найти все такие трижды дифференцируемые функции,

для которых справедливо неравенство

0.

2 +2

2&

&

9.

Найти общее решение уравнения

C

\

#C

, где а –

действительное число.

4.

Верно ли, что произведение функций

не име-

ет производной в точке

,

если обе

функции не имеют произ

-

W

C

· C

водной в точке

?

5.

Вычислить

минимум функции

C

W

6.

1 2 3

?

< 3)

7. При каком

1996

1997

(0 <

Ïϵ

ÏÏ”

Что больше

или

.

D

# G

Ïϵ

a

интеграл

E

9.

значении параметра а

При каком значении

DW

1 cos2³

G

,

-

достигает своего наименьшего значения?

W |

8.

Вычислить|

интеграл

Á #cosÆ

.

меньшего круга?

Á 2cosÆ

огра

параметра а площадь фигуры

ниченной окружностями

,

, равна площади

1997/98 учебный год (2 курс)

1.

1 0

Найти интегральную кривую уравнения

\

,

для которой прямые y =

f 1

являются касательными.

2.

Решить:

\

2

1

Ïϵ

W

G .

3. Найти все такие непрерывно дифференцируемыеD

функ-

ции C

одной переменной, для которых выполняется неравенство

DW DW C\

³ 2C\

G G 4 2.

DW DW5|. #

| G G

+

интеграл

4.

При каком значении параметра

a

C

C\ C

?

принимает

наименьшее значение

0 - # - 1

C 0

1.

уравнение

при

условии

Решить

1998/99 учебный год (1 курс)

1. Что больше

1,01d G или

D Ïϵ9W,WÏϵ8W,W c )+,I¦§I

D Ïϵ9W,WÏϵ8W,W )+,I¦§I

G ?

1

/Х

полученного вращением астроиды

:

4.

Найти объем тела,

:

;

5.

;

вокруг оси .

Определить давление воды на вертикальный параболиче-

ский сегмент, основание которого равно 4 м и расположено на

6.

å Ý(âö

( )

,

поверхности воды, а вершина находится на глубине 4 м (закон

Паскаля

).

Найти многочлен Р х

наименьшей степени такой

что

7. Вывести

3 √6

3 √6

-

Р(0) = 8, Р(−1) = 7, а максимум и минимум функции у =

Р(х)

достигаются в точках

и

.

Ï

уравнения всех общих касательных к двум кри

0

1

0

Ï

1.

вым

I8h :

H :

,

I

:

H9h :

8. Верно ли, что сумма функций

+

не имеет произ-

водной в точке W, если обе

функции не имеют производной

C

C

5.

Исследовать

на

сходимость несобственный интеграл

DW I

8)I8

:

’I

(рассмотреть все возможные случаи).

6.

e

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,

графиком параметрически заданной функции

cos F

и гра-

фиком функции

., заданной в полярной

системе координат

√2

.

(Полюса

полярных систем координат совпадают с началом де

-

Æ

”

картовой система координат, а полярные оси –

с положитель-

ным направлением оси абсцисс).

,

-

7.

# # 1 # 4 0

Канал имеет форму, описываемую параболами

,

.

Найти максимальную длину бревна которое может про

плыть по каналу (толщину бревна не учитывать).

8.

Найти максимум

площадей

треугольников, вписанных

в эллипс 7I:: Hy:: 1.

9. Вычислить определенный интеграл

DW WW

1 cos 2³ G .

была бы наименьшей.

)

2.

Ž

1

Доказать,

что

3.

W

сумму

Ö

1 E

h µ 0 _,

-

от величины

не зависит

1

1 .

Найти

`

ряда

если извест

4.

В∑

ln 21000

5

.

-

но, что

9 z•T

.

лотерее`v

продано

билетов по рублей

Разыгрыва

для человека, купившего два билета?

5.

Разложить в степенной ряд

1

1

1 † .

1 1 0

4 0,

нием

C

известно, что

0.

4 4

реше-

6.

Найти функцию

, являющуюся при

7.

Найти

1

.

если

дифференциального уравнения

длину дуги кривой

D9I…Ä √cos G

8. Найти

D sgn sin G.

3.

Что больше или

?

4.

Показать, что функция

C e 0

, если

рационально

х

, если х

иррационально

имеет

производную только при 0.

# 4 0 .

5.

Решить уравнение

# √#

6.

Сколько корней имеет уравнение

1,001I?

7.

2

1

0

…

0

Вычислить определитель

1

2

1

…

0 .

Š

0

1

2

…

0

Š

… … … …

2

0

8.

0 0 0 …

.

Разложить на неприводимые множители

9.

на чашечных ве

-

Покупатель просит отвесить 2 кг товара

1

1.

# и o выбраны так,

W

W

e

,

o

.

#,

имеет единственное решение

, .

Найти ли-

D9 ¨Y8 I:8

G .

нию описываемую точкой

,

W

2.

Вычислить

j W

b

3.

Исследовать функцию и построить ее график

S:

: ;

9SS

Æ ½ * arctg2 и двумя лучами Æ 0, Æ √.E .

9S: .

4.

Найти

площадь части

фигуры,

ограниченной кривой

5.

9I

9 I

G .

9`I

.

луоси Ох.

Ÿчто

C Dú,ú, E C

ПоказатьC ,

2Ÿ непрерывна_ aŸ на всей_ положительной по-