Нестандартные задачи по математике (для подготовки студентов к олимпиадам). Учебное пособие

12.

Исследовать

arctg

arctg †

arctg `

лить добычу?

+

+ …+

: +… .

11.

Найти сумму ряда

2.

Представить функцию

, определенную на симмет-

3.

C

C

и

ричном интервале, в виде

суммы двух функций

,

C

C

C

таких что

− четная, а

− нечетная.

Привести пример иррационального числа из интервала

(0, 1) в записи которого использованы цифры 2, 5 и только они.

4.

`

1 1

1 _

1

?

Ограничена ли последовательность

5.

Совпадают ли функции

и

?

2

3

a

tg

tg arctg

Ответ проиллюстрируйте

графически

arctg.

6.

Какой интеграл больше:

DW Ÿ9I: G или DW Ÿ9I

G ?

lim a

a

_

a .

9. Найти предел

a a

10.

a 1 a 2:

`A

-

4 0.

11.

ln 1 ,

.

Доказать неравенство

C

M N

.

при

Доказать

что

функция

периодическая

Определить ее период

Здесь

− целая часть числа, наиболь-

шее целое, не превосходящее

данное

M N .

13. Доказать теорему сложения арктангенсов

arctg arctg arctg I9IH-H . , ,

0; 1;

.

− функция, принимающая одно из трех значений:

где

,

−1.

2. Построить графики функций:

б) lim`A

z`8 zY

а)

lim`A

WWh9 zY;

√1 `.

6.

Дано:

C

=

I

I8 I8 _ I 8 WWh .

а) сколько экстремумов имеет функция

?

7.

б) сколько решений имеет уравнение

C = 0?

,

в котором

Вычислить определитель четвертого порядка

C

каждый элемент #su равен меньшему из чисел w,x.

8.

Вычислить limIA

ln W .

9. Показать,

что

lim`A

cos cos … cos

…

существует

/000001000002

при любом

и не зависит от х.

` раз

ближе всех от на

10.

Какая точка параболы

-

sin cos

cos sin

•0

•

12. Вывести

-

чала координат?

2Ö

1

.

11. Что больше:

или

, „ E, E

при

;

?

ка с вершинами %

, , &

,

:

формулу для нахождения площади треугольни

â abs Ê

Ê

1

1

1

,

abs òÜ

EÜó

где abs F

E

E

E

− абсолютная величина t.

2006/07 учебный год (1, 2 курс, осенний этап)

график функции √¦§I9'¦§I9)+, I · sin .

преобразований

1. Построить с

помощью

элементарных

2. Решить уравнение 1

2 · ã 1

2 .

3. Bычислить

определитель n го порядка

0

3

6

-

3

6

7

3

0

…

0

4

7

3

0

…

0 .

0

4

7

3

…

0

Š

Š …

…

…

…

…

…

0

0

0

0

…

7

5.

так, что$: 2 2 2¡ 6 0

Ù: 2

Найти объем куба, расположенного между двумя парал-

2¡ 7 0

,

и

-

лельными плоскостями:

концы диагонали куба принадлежат

соответственно плоскостям

$

и

Ù

а сама диагональ им перпен

дикулярна.

I

C 0

0

7.

4 0

вогнута и

. Доказать,

6.

Непрерывная функция

что при

функция X I

возрастает

C

.

Построить график функции

1.

8.

ŸI

Ÿ

I

1

Вычислить

…

ŸH: G .

DW: sinx G D'()I

2.

Решить уравнение

2

1

3 4

5

E

0.

Š 6 7

8

0Š

9 10 11

h

4.

Найти

C`

, если

C I I9 .

3.

Найти

lim csindI: .

IAW

#

•

a

где

• 4 0 a 4 0

наибольшее значение

и

,

5.

;Найти

, сумма которых равна

.

6.

Построить график функции

61 •1 Ê1 1 |1 |Ê•6.

limIA C

8.

Найти

C,

, если

ln sin

.

Найти

.

7.

Показать что

семейства гипербол

,

этих семейств пере

образуют ортогональную cетку, т.е. кривые

#

o-

1. Вычислить площадь области, ограниченной линиями:

:

:

#:

,

#.

T

T

T

3.

Доказать, что если проекция тела на две различные коор-

динатные плоскости – круги, то радиусы кругов одинаковы.

4.

Составить дифференциальное линейное уравнение с по-

5.

,ch ch

правой части), имеющее

стоянными

коэффициентами

(без

функцию

E,

¨Y8¨“Y

своим частным решением.

y

Найти

при котором

7

#

2#o o 2# 10o 7.

B¤ B+,

6.

Прямой

круговой цилиндр и прямой круговой конус

7.

Построить интегральную кривую уравнения

,

8.

Вычислить интеграл

DW

DW Ÿ9I:9H: G G .

.

проходящую через точку (0,0)

и касающуюся прямой

0

ни была¡ X I 9H

I

.· I H H H

C

¢ ¢

9.

:H :

. Убедиться, что

¢: какова бы

дифференцируемая

функция

четвертую вершину D и вычислить объем пирамиды.

2.

1 ³

DW ln · ln 1 G

зная, что

Вычислить

3.

t` a 6 .

Доказать

G = 0.

DW . sin sin a

4. Сколько существует членов последовательности

#`

/001002lnlnln … ln a?

6.

•0

•

`

#sin

на

5.

Найти наименьшее значение функции

отрезке

,.

(в зависимости от параметра а).

t

1

`.

Вычислить

7.

на отрезке

•

.

; .

.

5 cos

cos5

0

0•

значение

функции

Найтиa a наибольшее1 · 2

I

2

.

I 8

8. Найти уравнения всех тех касательных к графику функ-

ции

:

, каждая из которых вместе с осями координат ог-

раничивает треугольник площадью

квадратные единицы

9.

Найти площадь наибольшего прямоугольника, две вер-

3

M0

;

3N

оси абсцисс

,

а две

шины которого находятся на отрезке

оставшиеся –

на графике

:

а)

sin√ ;

б)

I:9H:

.

¡ I:8H:9

2008/09 учебный год (1 курс)

1.

Найти объем усеченного конуса, основания которого суть

эллипсы с полуосями А, В и а, b, а высота равна h.

3.

Вычислить

lim`A

DW 1 ` G 0.

2.

Доказать, что

C

: I9

D

8X: I

I8E

E X\ I ’I, если

I8

: I9 .

4. Вычислить

lim

DWI ŸS:

GF

.

I

Ÿ S

:

GF

IA

DW

5. Найти точку самопересечения линии

F” FE

3F 4F;

√1 10 F0.

ние

7. Пусть

I,

,

.

.

’I

-

6.

j ¼ Ÿ

j ¼ const

I

Найти ’H.

Функция

задана неявно:

H

Вычислить значе

выражения

WWÏ

WW†

W W

8.

Пусть

,

2, ,

,

,

последовательные.

целые числа.

Доказать,

½системаF ‹ Œуравнений

;

имеет единст-

что

%

7

½ % F

венное решение и найти его.

Z‹ Œ

7

9. а) Вычислить

1d G ;

Ž

G carctg

9 G

б) сравнить

.

.

9œs`I

и

DW

8I; G

.:

10. Найти и построить области определения функций:

sin√

¡ I:8H:9

а)

;

б)

I:9H:

.

11. Вычислить

G

sgn ^

0,

0

DW

sgn

E

E

,

где

1,,

- 0;;

1

4 0.

12. Доказать

0,,

• @ a;

.

sin a sin •

G

DW

e³

• a.

2008/09 учебный год (2 курс)

1. Найти сумму ряда

³ .

t

`

³

1

`

∞

cos 2 a 3

sin 2 a

`v 2

описывающей смещение оси балки.

: справа от точки пересе-

3. Между кривыми

; и

чения построены

отрезки

параллельные оси Оу и отстоящие

, I

I

друг от друга на расстоянии 1.

а) Будет ли сумма длин этих отрезков конечной?

4.

I

I

б) Будет ли конечной сумма длин, если кривую

sin .,

5. Область

D

ограничена

прямыми

cos, ,

:

заменить на кривую

?

Решить дифференциальное уравнение

ÇR| #| G G

интеграл

1.

При каком значении параметра a

0 1 0

C

ö

значения

достигает наименьшего

0 - #?- 1

6. а) Найти функции

и

такие, что

C

\

C\

;

ö

ö\

C C C .

б) найти,

функцию C

,

удовлетворяющую уравнению