3. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

3.1. Многие процессы (и в первую очередь, задачи механики) описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.

Линейным однородным уравнением (ЛОУ) второго порядка с постоянны-

ми коэффициентами называется уравнение вида

даментальная система решений (ФСР), т.е. пара линейно-независимых (непропорциональных) решений. Такая пара всегда определяется однозначно следующим образом.

Шаг 1. Строится характеристическое уравнение (квадратное уравнение с теми же коэффициентами, что и (12)):

Шаг 2. Определяем характер корней характеристического уравне-

ния (13):

а) если (5) имеет действительные различные корни λ1 и λ2 (дискриминант D = p2 −4q > 0 ), то ФСР принимает вид

г) если уравнение (5) имеет комплексно-сопряженные корни ( D < 0 )

λ1 = a +ib, λ2 = a −ib ,

(здесь число i – мнимая единица, i2 = −1) то

В частности, если λ = ±ib , то y1 = cosbx , y2 = sinbx . Завершающий этап – запись общего решения: y = C1 y1 +C2 y2 .

64

3.2. Рассмотрим примеры. Пример 1. Найти общее решение

2y′′+ 2y′+5y = 0 .

Решение. Это – линейное уравнение типа (12). Запишем структуру общего решения y = C1 y1 +C2 y2 , и найдём ФСР y1 = y1(x) и y2 = y2(x) . Характеристическое уравнение имеет вид

2λ2 + 2λ +5 = 0 .

Определяем корни квадратного уравнения:

D = 4 −40 = −36; D = 6i; λ1,2 = −24±6i ; λ1,2 = − 12 ± 32 i;

получили случай г) с a = − 12 ; b = 23 . Следовательно,

и общее решение

y = C1 y1 +C2 y2

принимает вид

y′′−8y′+16 y = 0 , начальное положение определяется условием y(0) =1 ,

начальная скорость равна 1. Восстановить закон движения.

Решение. Математической моделью процесса служит, очевидно, задача Коши

y′′−8y′+16y = 0

y(0) =1y′(0) = 4.

Найдём общее решение линейного однородного уравнения. Характеристическое уравнение

λ2 −8λ+16 = 0

65

имеет корни λ1 = λ2 = 4 . Значит (см. случай б)), ФСР определится в виде y1 = e4x , y2 = xe4x ,

поэтому общим решением служит

y = C1e4x +C2 xe4x .

Подберём теперь постоянные С1 и С2, так чтобы решение y = e4x (C1 + xC2 )

удовлетворило начальным условиям. Потребуется производная

y′ = 4e4x(C1 + xC2 )+e4x C2 ,

т.е.

y = e4x – искомое частное решение.

3.3.Линейным однородным уравнением (ЛОУ) произвольного (п-го,

п=1, 2, ...) порядка с постоянными коэффициентами называется уравне-

ние вида

y(n) + p1y(n−1) + p2 y(n−2) +...+ pn−1y′+ pn y = 0, pi = const, i =1, ...,n. (14)

Поскольку линейные однородные уравнения первого и второго порядка рассмотрены выше, можно считать n > 2. Структура общего решения (14) определяется в виде

y =C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ,

где совокупность {y1, y2 , ..., yn} именуется фундаментальной систему ре-

шений. В общем случае алгоритм нахождения ФСР аналогичен вышерассмотренному для п = 2. Её можно найти следующим образом.

а) Строится характеристическое уравнение (алгебраическое уравнение n-й степени с теми же коэффициентами, что и (14)):

66

Это алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней, среди которых могут быть действительные простые или кратные корни, а также пары комплексно-сопряженных корней (простых или кратных).

б) Если все корни λ j уравнения (15) действительные и различные, то получаем следующую ФСР

y1 = eλ1x , y2 = eλ2x , ..., yn = eλnx .

в) Каждому действительному корню λ кратности k характеристического уравнения (15) соответствует ровно k линейно независимых решения уравнения (14)

λ2 = a −ib кратности m характеристического уравнения (15) соответствует ровно 2m линейно-независимых решений уравнения (14) вида

y1 = eax cosbx , y2 = eaxsinbx , y3 = xeaxcosbx , y4 = xeaxsinbx ,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

y2m−1 = xm−1eaxcosbx , y2m = xm−1eaxsinbx .

Определив в каждом из рассмотренных случаев фундаментальную систему решений, мы можем общее решение уравнения (14) записать в виде

y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn .

Пример. Найти общее решение уравнения y′′′+6y′′+12y′+8y = 0 .

Решение. Очевидно, что задано линейное уравнение третьего порядка. Характеристическое уравнение имеет вид

λ3 +6λ2 +12λ +8 = 0 или (λ+2)3 = 0 .

и общее решение y = C1 y1 +C2 y2 +C3 y3 принимает вид y = e−2x (C1 +C2 x +C3x2 ).

67

4. ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ

4.1. Уравнение вида

где f (x) – некоторая заданная и непрерывная функция, называется ли-

нейным неоднородным уравнением (ЛНУ) второго порядка. Коэффициенты p, q в (16) будем считать постоянными числами.

Обсудим вопрос о структуре общего решения (16). Для этого рассмотрим однородное уравнение с теми же постоянными коэффициента-

есть общее решение ЛНУ (16). Поскольку нахождение y0 , как показано

выше, не вызывает затруднений, то, согласно (17), основная трудность состоит в нахождении yч .

4.2. Один из способов нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения (ЛНУ) по известной ФСР {y1(x), y2 (x)} соответ-

ствующего линейного однородного уравнения (ЛОУ) может быть реализован в виде, подобном общему решению ЛОУ, но с переменными вели-

чинами C1 = C1(x), C2 = C2(x):

68

С1(x) = ∫C1′(x)dx, С2 (x) = ∫C2′(x)dx.

Теперь частное решение yч(x) оказывается найденным и остается воспользоваться вышеуказанной структурой y = y0 + yч общего решения ЛНУ, т.е. записать окончательный ответ:

y(x) = C1 y1(x) +C2 y2 (x) +C1(x) y1(x) +C2 (x) y2 (x).

Заметим, что изложенный метод называется методом вариации про-

извольных постоянных.

Пример 1. Определить характер всех процессов у(х) , подчинённых уравнению

y′′+10y′+25y = x2 x+4 e−5x .

Решение. Имеем, очевидно, линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Если обратиться к структуре y = y0 + yч общего решения ЛНУ, то рассмотрение следует начать

с соответствующего ЛОУ

y′′+10y′+25y = 0 .

y2 (x) = xe−5x. Таким образом, получаем общее решение соответствующего ЛОУ

y0 = C1e−5x +C2 xe−5x .

Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения ЛНУ:

yч = C1(x)e−5x +C2 (x)xe−5x .

Как указано выше, следует составить, а затем и решить систему уравнений для определения C1′(x) и C2′(x) :

69

Вычисляя производные функций, образующих ФСР, получаем

после чего

Следовательно,

Теперь остаётся найти соответствующие первообразные, для чего удобно записать

откуда

70

Как указано выше

Наконец, складывая y0 и yч , получаем окончательно общее решение ЛНУ

y= (C1 + xC2 + 2arctg 2x − x + 2x ln(x2 +4))e−5x .

5.ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

5.1. Способ нахождения частных решений ЛНУ, не связанный с явным интегрированием, относится к случаю правой части (16) следующего специального вида

f (x) = eαx(Pn(x)cosβx +Qm(x) sin βx),

где Р и Q – многочлены соответствующих степеней. В этом случае частное решение ЛНУ имеет заранее известную структуру

Здесь N – наибольшая из степеней n и m многочленов, r – количество

в (18) определяются следующим образом на основании так называемого метода неопределенных коэффициентов.

а) найти y′ч и y′ч′;

б) подставить yч , y′ч , y′ч′ в неоднородное уравнение;

в) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях аргумента (или при синусах и косинусах соответственно) в левой и правой части полученного тождества.

Решив полученную систему уравнений, следует записать (18) с уже найденными коэффициентами. Затем имеем ответ в виде (17).

71

5.2. В следующих частных случаях (18) можно пользоваться таблицей:

таблицы) определяются описанным выше методом неопределенных коэффициентов; если контрольное число S не совпало ни с одним из λ1, λ2 ,

то множитель xr есть 1.

5.3. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти общее решение уравнения y′′−2y′−3y = 3ex .

Решение. Согласно (11) начнем с соответствующего однородного уравнения

y′′−2y′−3y = 0 .

Характеристическое уравнение

λ2 −2λ−3 = 0

имеет корни λ1 =3 , λ2 = −1 и

y0 = C1e3x +C2e−x .

Перейдём к нахождению yч . Правая часть уравнения f (x) = 3e1 x

имеет вид п. 3 таблицы; здесь α =1 и контрольное число S = α =1. По-

скольку S ≠ λ1 , S ≠ λ2 , то r = 0 , т.е. (см. п. 3 таблицы) yч = Mex . Осталось определить коэффициент М. Как указано выше, находим

72

Найдём yч . Правая часть

f (x) = −18x2 +18x −2

есть многочлен степени n = 2 (см. п. 2 таблицы), тогда yч = xr Q2 (x) = xr (Ax2 + Bx +C).

Здесь r – количество совпадений контрольного числа S = 0 с корнями λ1 , λ2 , т.е. r =1 ( 0 = S = λ1 , но S ≠ λ2 ); значит

yч = x (Ax2 + Bx +C)= Ax3 + Bx2 +Cx .

73

Осталось, подставив yч в уравнение, найти коэффициенты А, В, С. Поскольку

y′ч = 3Ax2 +2Bx +C , y′ч′ = 6Ax + 2B ,

то

(6Ax +2B)−6 (3Ax2 +2Bx +C)= −18x2 +18x −2

или

−18Ax2 +(6A −12B)x +2B −6C = −18x2 +18x −2 .

Приравнивая коэффициенты при равных степенях х, имеем:

−18A = −18

6A −12B =18

2B −6C = −2

откуда

A =1

B = −1

C = 0

следовательно,

yч = x3 − x2 и y = y0 + yч = C1 +C2e6x + x3 − x2 .

Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′+4y = 4sin 2x .

Решение. Найдём общее решение однородного уравнения: y′′+ 4 y = 0;

λ2 + 4 = 0;

λ12 = ±2i;

y0 =C1 cos 2x +C2 sin 2x.

Правая часть f (x) = 4sin 2x = 0 cos 2x + 4sin 2x имеет вид п. 5 таблицы; контрольное число S = iβ = i 2 совпадает с одним из корней характеристического уравнения; поэтому r =1 и

yч = x (M cos 2x + N sin 2x).

74

Далее,

y′ч = M cos 2x + N sin 2x − 2x(M sin 2x − N cos 2x), yч′′ = −4M sin 2x + 4N cos 2x − 4x(M cos 2x + N sin 2x)

и, подставляя yч и yч′′ в неоднородное уравнение, имеем

−4M sin 2x +4N cos 2x −4x(M cos 2x + N sin 2x)+

+4x(M cos 2x + N sin 2x)= 4sin 2x

или

−4M sin 2x + 4N cos2x = 4sin 2x .

Итак,

y = y0 + yч =C1 cos 2x +C2 sin 2x − xcos 2x .

Пример 4. Найти общее решение уравнения

9y′′+6y′+ y = 3 .

Решение. Общее решение однородного уравнения

9y′′+6y′+ y = 0

имеет вид

y0 = (C1 + xC2 )e−3x ,

так как λ1 = λ2 = −13 .

Правая часть неоднородного уравнения

75