ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Понятийный аппарат и концептуальные положения теории математического моделирования (изложенные в первой главе пособия) применены к процессам, моделируемым средствами обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, уравнения первого порядка могут быть использованы для построения, анализа и интерпретации моделей радиоактивного распада, диффузии, теплообмена. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка являются моделями прямолинейных движений (восстановление законов движений), механических колебаний точек и многих других процессов. Приведены способы приближённого решения дифференциальных уравнений в тех случаях, когда получение аналитического решения в элементарных функциях не представляется возможным. Авторы надеются, что изложенные подходы к математическому моделированию средствами дифференциальных уравнений будут полезны студентам в их будущей профессиональной деятельности.

108

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Арамонович. – М. : Наука, 1967. – 736 с.

2.Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. –

М. : Наука, 1969. – 640 с.

3.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления.

Т. 1, 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1978. – Т. 1: 456 с.; Т. 2: 576 с.

4.Нахман, А. Д. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

иих приложениям / А. Д. Нахман, С. В. Плотникова. – Тамбов : Изд-во ТГТУ, 2005. – 96 с.

5.Нахман, А. Д. Концепция математического моделирования в содержании математического образования : монография / А. Д. Нахман. – Тамбов : ТОГОАУ ДПО «Институт повышения квалификации», 2015. – 138 с.

109

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………... 3

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

ПОНЯТИЙНЫЙ АППАРАТ …………………………………… 7

1.Модель как неопределяемое понятие ………………………….. 7

2.Математическая модель: характеристики и этапы моделирования …………………………………………………... 10

3.Моделирование систем …………………………………………. 12

4.Классификация систем. Системный подход …………………... 17

5.Требования к моделям ………………………………………….. 20

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ………………………….. 23

1.Основные понятия ………………………………………………. 23

2.Уравнения с разделяющимися переменными …………………. 24

3.Однородное уравнение первого порядка ……………………… 27

4.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка …. 30

5.Типовые задания по построению математических моделей средствами уравнений первого порядка ………………………….. 34

Глава 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ………… 51

1.Уравнения, допускающие понижение порядка ……………….. 51

2.Типовые задания по решению уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка ………………………………… 57

3.Линейные однородные уравнения второго порядка ………….. 64

4.Линейное неоднородное уравнение второго порядка.

Метод вариации произвольных постоянных ……………………... 68

5.Линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида ………………………………………………….. 71

6.Типовые задания по решению линейных дифференциальных уравнений второго порядка ………………………………………... 76

110

Глава 4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ …………………………………………………… 88

1.Краевые задачи ………………………………………………….. 88

2.Системы дифференциальных уравнений ……………………… 92

3.Типовые задания по решению систем дифференциальных уравнений ……………………………………………………...... 95

Глава 5. ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ……………………………………………………. 98

1.Разложение решения в степенной ряд …………………………. 98

2.Метод Эйлера приближённого решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

первого порядка ………………………………………………..... 100

3.Типовые задания по приближённому решению дифференциальных уравнений ………………………………… 103

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………. 108

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………… 109

111