Глава 5

ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В СТЕПЕННОЙ РЯД

1.1.Рассмотрим произвольную функцию y = y(x) , дифференцируе-

мую сколь угодно много раз в точке x0 и некоторой её окрестности (x0 −R, x0 + R) . Как известно, такую функцию при определённых условиях можно аппроксимировать многочленом достаточно высокой степени.

с некоторым θ (0, 1).

Как оказывается, во всех практически интересных случаях выполняется соотношение RN (x, x0 ) →0 для каждого x (x0 −R, x0 + R) т.е. значения y(x) могут быть аппроксимированы значениями многочлена про-

извольной степени. Речь идет, фактически, о применении к функции y(x)

98

что, в свою очередь позволяет получить первичную информацию о решении задачи, вычислять приближённые значения y(x) и т.п. Такая инфор-

мация особенно полезна, если не удается получить запись решения в аналитическом виде, а также если оно получено, но в терминах «неберущихся» интегралов.

1.2. Чтобы найти члены указанного разложения, следует знать значения коэффициентов разложения, т.е. числа y(x0 ) , y′(x0 ) , y′′(x0 ) , ...,

уравнения, и снова воспользовавшись начальным условием, имеем значение y′′(x0 ) . Последовательно повторяя процесс дифференцирования обе-

их частей получаемого уравнения, мы можем прийти к значениям (в точке x0 ) производных любого порядка, в результате чего разложение реше-

ния по формуле Тейлора будет получено.

Пример. Найти три первых отличных от нуля члена разложения по формуле Тейлора решения y = y(x) следующей задачи Коши:

y′ = e y +1 − ex−1 + 3(x −1)

y(1) = −1.

Решение. Запишем разложение Тейлора в окрестности точки x0 =1:

Согласно заданному начальному условию имеем y(1) = −1. Далее, подставляя значения x = x0 =1 и y(1) = −1 в дифференциальное уравнение y′ = ey+1 −ex−1 +3(x −1) , получаем

y′(1) = e−1+1 −e1−1 +3(1−1) ,

т.е. y′(1) = 0 .

Продифференцируем теперь данное уравнение по переменной x ; при этом помним, что y есть функция от x , т.е. пользуемся правилом диф-

ференцирования сложной функции: y′′ = ey+1 y′−ex−1 +3 . В точке x0 =1 имеем:

99

y′′(1) = e−1+1 0 −e1−1 +3 = 2 .

Мы уже получили два ненулевых коэффициента (члена) в разложении по формуле Тейлора; осталось найти еще один ненулевой коэффициент. Полученное выше уравнение второго порядка еще раз дифференцируем по переменной x : y′′′ = ey+1( y′)2 +ey+1 y′′−ex−1 . Имеем тогда

y′′′(1) = e−1+1(0)2 +e−1+1 2 −e1−1 =1 .

Теперь мы можем записать первые члены разложения:

y(x) = −1+0 + 22!(x −1)2 + 31!(x −1)3 +...

т.е.

y(x) = −1+(x −1)2 + 16 (x −1)3 +...

Задача решена.

2. МЕТОД ЭЙЛЕРА ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

2.1. Рассмотренные ранее методы решения дифференциальных уравнений называются аналитическими. С помощью этих методов удается получить решение уравнения в виде формул путем аналитических преобразований. Однако класс дифференциальных уравнений, которые можно решить аналитическими методами, весьма узок. Поэтому в большинстве случаев дифференциальные уравнения приходится решать приближённо, используя приближённые методы или численные методы. Численные методы не позволяют найти общее решение дифференциального уравнения, поэтому их применяют для решения краевых задач или задачи Коши.

Наиболее распространенным методом численного решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. При этом область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек – узлами сетки, а само дифференциальное уравнение заменяется системой конечно-разностных уравнений. Неизвестная функция заменяется сеточной функцией, т.е. функцией дискретного аргумента на заданной сетке.

2.2. Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

y′ = f (x, y)

y(x0 ) = y0.

100

Наиболее простым численным методом решения такой задачи является метод Эйлера. Будем предполагать, что функция f (x, y) в окрестно-

сти точки (x0 , y0 ) удовлетворяет условиям существования и единствен-

ности решения. В этом случае можно доказать, что имеется отрезок [x0 −δ; x0 +δ] , на котором существует единственное решение y(x) задачи

Коши. Пусть точка xk принадлежит этому отрезку, т.е. xk [x0 −δ; x0 +δ] . Излагаемый ниже метод Эйлера позволяет приближённо найти значение y(xk ) с любой наперед заданной точностью.

f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) . С геометрической точки зрения (рис. 1) это означает, что искомую интегральную кривую y(x) мы заменили отрезком касательной кинтегральнойкривойв точке (x0 , y0 ) . Из формулы(26) получаем

y1=y0+hf (x0 , y0 ) .

Аналогично может быть найдено значение «сеточной» функции в следующем узле

y2=y1+hf (x1, y1) .

С геометрической точки зрения это означает, что на отрезке [x1; x2 ]

искомая интегральная кривая заменяется отрезком касательной к решению задачи Коши

y′ = f (x, y)y(x1) = y1

(кривая y *(x) на рис. 1).

101