Глава 4

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1.1.Как отмечалось выше, общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольных постоянных (две «степени свободы»). Частное решение может быть выделено из общего путем задания двух начальных условий. Например, в механике это может быть задание положения движущегося объекта в начальный момент и начальной скорости. Однако, может быть задано также положение объекта в два различных момента времени. Например, процесс механических колебаний объекта массы m относительно положения равновесия описывается уравнением

где y = y(t) – отклонение в момент t точки от положения равновесия;

h – коэффициент трения; k – коэффициент упругости восстанавливающей силы; f (t) – внешняя сила. Если задать положения α и β объекта в мо-

менты соответственно τ и τ

y (τ) = α

(20)y (τ ) =β,

то приходим к так называемой краевой задаче (19)–(20). Подобная математическая модель возникает и в задаче об электрических колебаниях и др.

1.2. В общем случае краевая задача для ЛНУ y′′+ py′+qy = f (t)

с условиями (20) может быть решена путём выделения из общего решения

того частного решения, который удовлетворяет (20). Подставляя t = τ и t = τ в соотношение (21), получаем систему алгебраических линейных уравнений

C1 y1(τ) +C2 y2 (τ) = α− yч(τ)C1 y1(τ ) +C2 y2 (τ ) =β− yч(τ )

88

для нахождения соответствующих значений постоянных C1 и C2 . Най-

денные значения следует затем подставить в (21). Тем самым будет получено решение краевой задачи.

Пример 1. Механические колебания материальной точки описываются уравнением

у′′+8у′+17 у = е−4t ,

причём положение точки в начальный момент и в момент t =1 заданы: y (0) = 0, y (1) = 0 .

Определить отклонение y (t) точки от положения равновесия в лю-

бой момент времени t.

Решение. На первом этапе мы ищем общее решение линейного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим соответствующее ЛОУ. Запишем характеристическое уравнение

λ2 +8λу +17 = 0

и найдём его корни λ1,2 =−4 ±i . Поскольку корни оказались комплексносопряжёнными, то

в неоднородное уравнение, получаем

16Me−4t −32Me−4t +17Me−4t = e−4t ,

откуда М =1 так что уч =е−4t . Теперь мы можем записать общее решение ЛНУ

у = у0 + уч = е−4t (1+C1 cost +C2 sin t) .

На втором этапе решения подбираем значения постоянных C1 и C2 , так чтобы соответствующее решение удовлетворяло краевым условиям.

89

Окончательно, найдено решение

у(t) = e−4t 1−cost + cos1−1sin t

sin1

которое и определяет искомое отклонение в любой момент времени t. Вычисляя приближённо (с точностью до 0,1) постоянный коэффициент

cos1−1 , получим sin1

у′′+2у′+10у = sin 3t ,

причём положение точки в начальный момент и в момент t1 =1 заданы: y (0) = 0, y (5) = 0 .

Найдём общее решение ЛНУ. Составляем характеристическое уравнение

λ2 + 2λ+10 = 0 .

90

Это уравнение для соответствующего ЛОУ имеет комплексные корни λ1,2 =−1±3i , поэтому общее решение ЛОУ получаем в виде

Поскольку контрольное число S =3i не совпадает ни с одним из корней, то частное решение ЛНУ ищем в виде

уч = М cos3t + N sin 3t .

Находя

у′ч = −3М sin 3t +3N cos3t , у′ч′ = −9M cos3t −9N sin 3t

и подставляя результаты в ЛНУ, получаем

−9M cos3t −9N sin3t +2(−3M sin3t +3N cos3t) +10(M cos3t + N sin3t) =sin3t; cos3t(−9M +6N +10M ) +sin3t(−9N −6M +10N) =sin3t;

cos3t(M +6N) +sin3t(−6M + N) =sin3t.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях, получаем

91