Моделирование процессов и систем. Учебное пособие

УДК 330.43

Моделирование процессов и систем: учеб. пособие / Ю.А. Сосулин; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. - Рязань, 2020. - 48 с.

Содержит описание методов статистического анализа экспериментальных данных и организации исследований сложных технических объектов и технологических процессов.

Предназначено для студентов специальности 15.03.04 "Автоматизация технологических процессов и производств".

Табл.1. Ил.6. Библиогр.: 4 назв.

Статистический анализ, регрессионный анализ, метод наименьших квадратов, планирование эксперимента

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра АИТП РГРТУ (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. А.К. Мусолин)

©Рязанский государственный радиотехнический университет, 2020

Введение

Решение задач автоматизации сложных технических объектов и технологических процессов, анализа и синтеза производственных, фи- нансово-экономических и социальных систем требует высокого уровня представления о зависимостях, существующих в исследуемых объектах между выходными показателями, характеризующими свойства объекта и качество его работы, и факторами, оказывающими влияние на значения этих показателей. Определение существующих в исследуемых объектах зависимостей и представление их в количественной форме является предметом математического моделирования процес-

сов и систем.

Наличие математической модели, связывающей входные и выходные переменные объекта управления, является необходимым условием решения задач управления, автоматизации и оптимизации технических объектов и технологических процессов, а также эффективного функционирования систем поддержки принятия управленческих решений в сложных производственных и социально-экономических системах.

Получить математическую модель объекта управления можно двумя способами: аналитическим и используя экспериментальностатистические методы.

Аналитический метод предполагает изучение процессов, происходящих в объекте управления, и описание их на основе соответствующей отрасли науки. Построение теоретических моделей связано с необходимостью проведения обширных и длительных исследований, поскольку при этом необходимо выяснить механизмы явлений, протекающих в объекте, и описать их математически. Как правило, такие аналитические модели представляются в виде сложных систем алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Такой подход возможен только при моделировании достаточно хорошо изученных объектов и процессов и не обеспечивает качественного моделирования сложных объектов управления, функционирующих в реальных условиях.

Экспериментально-статистические методы позволяют моде-

лировать объекты и системы, функционирующие в реальных условиях. Статистические модели получаются в результате обработки экспериментальных данных, собранных на исследуемом объекте.

Экспериментально-статистические методы, как правило, предполагают, что структура математической модели известна с точностью до некоторых коэффициентов или параметров, а основной целью этих методов является определение этих параметров. Соответствие модели

4

объекту ограничивается лишь количественными соотношениями. Область соответствия ограничивается ближайшей окрестностью точек проведения наблюдений, что позволяет выбирать статистические модели с относительно простой структурой, очень часто представимой в виде полиномов.

Основной задачей статистических процедур в поставленных условиях является оценивание коэффициентов постулированных моделей на основе данных экспериментальных исследований. При этом при решении задач моделирования основным методом современной математической статистики является регрессионный анализ. Популярность метода объясняется относительной простотой регрессионных моделей и соответствующего математического аппарата, а также широким спектром возможных практических применений и интерпретации построенных регрессионных моделей.

Как правило, построение таких моделей можно выполнить ценой сравнительно небольших затрат времени и средств.

Понятие регрессии

Различается два вида зависимостей между явлениями и процессами: а) функциональная; б) стохастическая. В случае функциональной зависимости имеется однозначное отображение множества А в множестве В. Множество А называют областью определения функции, а В – множеством значений функции. Если yi – отображение xi, причем уi – элемент множества В, a xi – элемент множества А, то это записывается в виде равенства y f x . Здесь x называется аргументом функции, а

у называется значением функции в точке xi.

Приведенное равенство указывает правило соответствия зависимой переменной у независимой переменной х. Для каждого допустимого значения х можно указать вполне определённое значение у.

Для функциональных зависимостей характерно, что они справедливы для каждой отдельно взятой единицы совокупности и не содержат никаких элементов случайности.

Совсем по-другому обстоит дело в закономерностях, проявляющихся только в массовых процессах, только при большом числе единиц совокупности. Такие закономерности называются стохастическими (вероятностными).

При стохастической закономерности для заданных значений независимой переменной можно указать ряд значений зависимой переменной, случайно рассеянных в некотором интервале. Каждому фиксированному значению аргумента соответствует определенное статисти-

5

ческое распределение значений функции. Это обусловливается тем, что зависимая переменная, кроме выделенной переменной, подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указываются с определенной вероятностью. Возникающие значения зависимой переменной являются реализациями случайной величины. В технике, экономике, социологии и т.д. обычно приходится изучать явления, имеющие вероятностный характер. Например: число бракованных изделий, получающихся в процессе изготовления за определенные промежутки времени; количество простоев оборудования за смену; стоимость продукции предприятий; полная себестоимость товарной продукции.

Регрессия – это односторонняя стохастическая зависимость. Она устанавливает соответствие между случайными переменными. Например, при изучении потребления энергии (у) в зависимости от объема производства (х) речь идет об определении односторонней связи, следовательно, о регрессии. Обе переменные являются случайными. Каждому значению х соответствует множество значений у, и, наоборот, каждому значению у соответствует множество значений х. Таким образом, мы имеем дело со статистическими распределениями значений х и значений у. Исходя из этих распределений, мы и должны находить стохастическую зависимость между х и у.

Односторонняя стохастическая зависимость выражается с помощью функции, которая для отличия ее от строгой математической функции называется функцией регрессии или просто регрессией.

Функциональная зависимость и регрессия принципиально различны. При функциональной зависимости факторный признак х полностью определяет результативный признак у. Кроме того, при функциональной зависимости функция обратима. Так, функция х = 1/2 у является обратной по отношению к функции у = 2х. Если между явлениями отсутствует функциональная связь, а существует только стохастическая, то функция регрессии необратима. Это обусловлено, вопервых, самой структурой явления, определяющей направление связи; во-вторых, постановкой задачи исследования, когда преследуется вполне определенная цель: как по значениям одной переменной, выбранной в качестве аргумента, предсказать соответствующие значения другой (функции); в-третьих, способом измерения отклонений эмпирических точек. Вследствие этого, если исследуют стохастическую зависимость переменной у от х, то устанавливают регрессию у на х. Если

6

же изучают стохастическую зависимость х от у, то определяют регрессию х на у. Конкретный практический смысл приводит к одному из двух видов регрессий. Например, при исследовании потребления энергии (у) в зависимости от объема производства (х) отыскивают регрессию у на х. Если же, наоборот, изучается механизм влияния объема производства на величину потребления энергии, то определяют регрессию х на у.

Исследованию проблем, связанных с построением регрессионных функций, посвящаются специальные разделы математической статистики и теории оценивания – регрессионный анализ.

Регрессионные модели

Главная задача, которая решается с помощью регрессионного анализа, – создание математических моделей некоторых объектов или явлений на основе экспериментов или наблюдений [1,2]. Эти модели представляют собой определенные математические соотношения между показателями работы объекта или характеристиками наблюдаемого явления y1, y2, …, yl и обусловливающими их величинами x1, х2, ..., xm. Будем называть y1, y2, …, yl зависимыми переменными, выходными характеристиками или откликами объекта, a x1, х2, ..., xm — входными переменными, независимыми переменными или факторами.

Любая модель отражает только некоторые характерные черты объекта и никогда не бывает его точной копией. Для одного и того же объекта можно создать множество моделей:

y1 f1 x1, x2,..., xm y2 f2 x1, x2,..., xm

.................................

yl fl x1, x2,..., xm ,

причем каждая описывает лишь один из показателей, интересующих

7

интервале х2 < х < х3 подходящей моделью будет у = а + bх + сх2. Выбор подходящей модели — это в значительной степени искус-

ство, и при определении ее вида часто решающую роль играют опыт и знания исследователя. Модель всегда отражает данное явление с некоторым приближением.

Есть и еще одна причина, по которой модель не отражает протекающего явления абсолютно точно. Всегда есть величины, которые влияют на результаты, но не учитываются при построении модели или не измеряются во время эксперимента. Часть из них имеет систематический характер и в силу этого может с течением времени вызвать изменения коэффициентов модели. Другая же часть меняется случайным образом, подчиняясь некоторому закону распределения. Такие величины еще называют случайными возмущениями. В силу их действия повторные опыты при одних и тех же значениях факторов будут давать различные значения зависимой переменной.

При решении задач идентификации (построения математического описания) сложных технических, технологических, экономических, социальных объектов или процессов обычно используется схема

Группа x=(x1,x2,...xm). В эту группу входят контролируемые и управляемые факторы исследуемого объекта. Как правило, с их по-

мощью реализуется заданное состояние технического объекта или технологического процесса либо определяются значения финансовоэкономических параметров экономических и социальных систем. Применительно к техническим системам к этой группе относятся показания расходомеров, положения уставок регуляторов и т.д. На значения управляемых факторов обычно накладываются технологические ограничения, определяющие область их возможных значений.

Группа w=(w1,w2,...wr). Эту группу образуют контролируемые, но неуправляемые факторы исследуемого объекта. Обычно это показатели, характеризующие качество исходного сырья или промежуточных продуктов и не допускающие целенаправленного изменения в ходе проводимого исследования.

8

Группа z=(z1,z2,...zt). Эту группу образуют неконтролируемые и неуправляемые факторы исследуемого объекта. Они характеризуют действующие на объект многочисленные случайные возмущения, которые не могут быть измерены количественно и, тем более, не допускают никаких целенаправленных воздействий.

Группа y=(y1,y2,...ys). В эту группу входят измеряемые количественные непрерывные или дискретные величины, которые называются выходными переменными или откликами объекта. К ним относятся технико-экономические показатели, технические свойства и характеристики готовой продукции в задачах моделирования технических объектов и технологических процессов, а также финансовоэкономические коэффициенты и показатели экономической эффективности при исследовании сложных производственных и экономических систем. Переменные этой группы обычно выступают в качестве целевых показателей при решении задач автоматизации, оптимизации и управления в технических и экономических объектах и системах. Каждая такая задача решается отдельно для каждого показателя данной группы. Поэтому схема исследуемого объекта рассматривается для скалярного выходного показателя.

Решение задачи построения математической модели исследуемого объекта наиболее часто выполняется методом активного эксперимента. При этом условия проведения каждого наблюдения целенаправленно изменяются в соответствии с заранее составленным планом эксперимента. Данные экспериментального плана и наблюдаемых при этом изменений выходной переменной объекта используются для построения модели и ее анализа статистическими методами. Понятно, что активное экспериментирование допускают только контролируемые и управляемые входные переменные исследуемого объекта. По этой причине в активном эксперименте неуправляемые, а также неконтро-

лируемые входные переменные групп w и z представляются в виде случайной ошибки , приложенной к выходу объекта. Схема объекта

9

менее, модели с успехом используются на практике. Обычно под "ис-

тинным" значением понимают условное математическое ожидание

зависимой переменной при заданных значениях факторов:

(x1,x2,…,xm)=Е{у/х1,х2,...,хm,}. (1)

Равенство (1) называется уравнением регрессии (регрессией) и показывает изменение среднего значения отклика объекта при изме-

нениях факторов.

Фактически измеряемая выходная характеристика есть

где – случайное возмущение. Чаще всего принимают, что действие на объект множества случайных возмущений эквивалентно действию од-

ного-единственного возмущения с нормальным распределением, ну-

левым математическим ожиданием и дисперсией 2. Это предполо-

жение выполняется достаточно хорошо для многих практических задач, в которых все случайные возмущения оказывают воздействия, соизмеримые одно с другим. Основанием этому служит центральная предельная теорема теории вероятностей.

Существует большое число различных регрессионных моделей, определяемых конкретным видом функции (x1,x2,…,xm), где всегда

присутствуют некоторые коэффициенты (параметры) 1, 2,…, k. Эти параметры надо определять по экспериментальным данным. В зависимости от того, как эти коэффициенты входят в уравнение регрессии, модели делятся на линейные и нелинейные по параметрам.

Например, модель

= 1e 2 – нелинейная, a = 1+ 2 x1 + 3x2 – линейная по параметрам.

Далее под линейной обычно будем понимать модель, линейную по параметрам. Например, модель = 1+ 2 x1 + 3x2+ 4 x1x2+ 5 x12

линейная по отношению к коэффициентам i, но нелинейная по отношению к факторам. Если интерес будет представлять нелинейность по факторам, это будет оговариваться особо.

Линейные модели можно записать в общем виде:

k

где fi (x1,x2,…,xm) — произвольные функции факторов, не включающие неизвестных коэффициентов 1, 2,…, k. Для упрощения записи

10

вместо fi(x1,x2,…,xm) пишется fi, и эти функции называются регрессо-

рами.

Наиболее часто регрессионные модели представляются полиномами по степеням факторов. Подобное представление опирается на тот факт, что отклики – обычно непрерывные функции от факторов и их можно разложить в ряд Тейлора.

Разложение (x) в ряд Тейлора имеет вид:

Здесь коэффициенты представляют собой частные производные исследуемой функции по соответствующим переменным.

Ясно, что все функции, допускающие разложение в ряд Тейлора, можно аппроксимировать полиномами. Это важно отметить, так как полиномами трудно описывать функции с разрывами, т.е. не имеющие производных. Полиномы не годятся для описания явлений со скачкообразными изменениями выходной характеристики при изменении факторов, функций с гистерезисом, релейных функций и т.п.

Уравнение (4) можно представить как (3), если перенумеровать

все коэффициенты от 1 до k и считать f1 = 1, f2 = x1,…, fm+1 = xm,…,

fm+2 = x1x2,…, fg = xm-1 xm ,fg+1 = x21,…,fk = x2m .

Кроме сказанного, заметим, что при построении регрессионных моделей часто используются кодированные или нормированные

значения факторов. В результате нормирования все факторы представляются в безразмерной форме. Диапазоны изменения нормированных факторов одинаковы и представлены интервалом от –1 до +1. Переход от значений факторов в натуральных единицах измерений к кодированным значениям выполняется по формуле:

ximax и ximin – соответственно верхняя (максимальная) и нижняя (минимальная ) границы изменения соответствующего фактора.